PREMIERE DEFINITION DES TENSEURS. AX.6EBBE TENSORIELLE
portant sur des séries différççtes de variables. Le produit de ces deux formes, effectué comme on effectue ordinairement le produit de deux polynômes, c'est-à-dire en multipliant tous les termes de Tune des formes par chacun des termes de l'autre et en additionnant les résultats, est un nouveau tenseur H.
H = FG ^ ]Ra<Aλïi^' • Zj^i"\'^m
ifc Im
ou
n = ^^ikri'yi'^h,
t/ttm *
en posant :
Par conséquent, le produit d'un tenseur d'ordre Pi + q^ ^p, fois covariant et q^ fois contra variant) par un tenseur d'ordre Pa "^ 9ai est un tenseur d'ordre (Pi 4- P2) + (^i + ^2) [(Pi + Pa) fois covariant, (P2 + ga) fois contra variant]. Les composantes du tenseur produit sont égales respectivement aux produits des composantes du premier tenseur par, les composantes du second. Remarquons en passant que, d'après cette règle, on obtient un tenseur auquel il ne manque aucun terme, si les tenseurs facteurs n'ont pas de lacunes, c'est-à-dire s'ils possèdent les termes correspondant à tous les arrangements complets des indices. En effet, le premier tenseur contient n^*"'"^' termes, le deuxième n^i^^*) le tenseur produit en contient d'après la manière d'effectuer la multiplication :
c'est-à-dire :
qui est bien le nombre des arrangements avec répétition de n lettres prises (pi H- P2 + Qfi + ga) à (Pi -4- P2 + 9i -f- ^2)-
Contraction, — Considérons le tenseur mixte du second ordre dont les composantes sont a^. Je dis que ^a»* est un invariant,
c'est-à-dire que c'est un nombre indépendant du système de coordonnées; en d'autres termes :
oii les Oi^ désignent les composantes du tenseur donné dans le sys-
lème de coordonnées (ûi,...{î»). D'après les formules de transformation (I) et (II) et d'après la règle de transformation des composantes d'un tenseur, on a en effet :
«i* = 2îarK«/
donc :
par suite :
2]«.* = 2 «îPi".' = 21«r'S«ïPi
rst r. M
Mais au chapitre I, nous avons vu que :
Par conséquent :
rê
puisque les seuls termes de la somme du deuxième membre qui ne sont pas nuls sont ceux pour lesquels r=s. De plus puisqu'une somme ne dépend pas du nom de l'indice par rapport auquel oa somme, on a bien :
A partir d'un tenseur mixte d'un second ordre, nous avons obtenu un ijivariant grâce à une opération extrêmement simple : la sommation de certaines composantes bien déterminées de ce tenseur mixte, celles dont l'indice inférieur est égal à l'indice supérieur. Cette règle se généralise aisément ; celle qui vient d'être obtenue forme d'ailleurs l'élément essentiel de la démonstration. Soit un tenseur d'ordre (p-hg) (p fois covariant et q fois contra variant) ; considérons parmi ses composantes, celles dont un indice supérieur situé à une place bien déterminée est égal à un indice înférietir situé à une place déterminée aussi ; sommons toutes ces composantes là, suivant l'indice commun sur lequel nous portons notre attention ; le résultat de cette somme est la composante générale d'un tenseur nouveau d'ordre p + g — 2 [(p — 1) fois covariant (g — I) fois contra variant]. Pour fixer les idées, considérons le
PREMIERE DÉFINITION DES TENSEURS. ALGÈBRE* TENSORIELLE 29
tenseur dont les composantes sont (k/'^r^P ^=^^* 9 = 2); prenons toutes les composantes pour lesquelles j = m, o»/^^ et sommons par rapport à Tindice j commun,
J je dis que les &/r sont les composantes d'un tenseur du 3® ordre <p-hg — 2). En effet, le tenseur VJ aV/^'r^T^/ï/'Cm^'' pçut s'écrire :
ijlmr jm \ ilr ) ^
ce qui prouve que
ilr
représente la composante (y"*) d'un tenseur mixte du second ordre Mais yjcj* est un invariant, donc :
tir 7*.
•est im invariant, ou encore en effectuant la somme intérieure :
^b/r^KiV == invariant ;
tir
ce qui prouve que les Wr sont les composantes d'un tenseur d'ordre 3.
L'opération qui permet ainsi d'obtenir à partir d'un tenseur d'ordre p-hg, un nouveau tenseur d'ordre p + g — 2 est la contracUon *.
On peut continuel :
est une composante d'un nouveau tenseur covariant du P'^ ordre, or :
* Les . géomètres allemands appeUent cette opération Fer/ângung, (rajeunissement) ; c'est M. Langevin^ dans son cours au GoUège de France qui a introduit Je terme heureux de contraction, \
