X.X = x^ = Q(x) ^ gnX'lK
Dès que Ton a choisi un vecteur unité u, pour lequel u'=l, comme unité de mesure de longueur, le nombre x^ mesure le carré de la longueur du vecteur x.
En géométrie élémentaire, et en général dans presque toutes les considérations d'ordre géométrique, la forme quadratique Q est définie positive, la longueur d'un vecteur est donc toujours un nombre réel ; mais dans la théorie de la relativité la forme Q, qui mesure le carré de la longueur des « vecteurs d* univers », n'est pas définie. Dans les considérations qui suivent — à moins de mention expresse — nous supposerons que Q est une forme quadratique non dégénérée quelconque.
Si une transformation linéaire (voir page 18) est telle qu'au vecteur X, elle fasse correspondre le vecteur x' et que l'on ait, pour tous les couples de vecteurs correspondants :
on dît qu'elle est une transformation congruente et que les demx vecteurs x et x' sont congruents. Une transformation congruente n'altère pas le produit scalaire de deux vecteurs, car si à X correspond x' et à y correspond y', à x-hy correspond x' H- y' ; on a:
Q(x'+y', x' + y') = Ç(x -^ y, x-+-y) mais puisque
on en déduit :
FORMES BILINÉAIRES £T QUADRATIQUES 35
Ces deux vecteurs déterminent une grandeur que nous appellerons r angle 6 des deux vecteurs ; supposons que leurs longueurs soient égales à l'unité, nous poserons^
cos ô = Q(x,y).
Le vecteur Xx a pour longueur X = /\/Q(Xx),
le vecteur [ly a pour longueur p. = \/Q([JLy) l'angle des deux vecteurs Xx et p.y sera par définition le même que celui des deux vecteurs X et y, donc :
C>(^x, uy) cos e = ^> / ^^^ f
on a donc pour tous les vecteurs a et b :
cos e = ' „■ =r (A)
Les deux vecteurs a et b sont orthogonaux si leur angle est droit, c'est-à-dire si cos ô = o ; dans ce cas
Remarquons que si Q est une forme indéfinie, [cos 6| peut être plus grand que l'unité. Ce* n'est que si la forme Q est définie positive que l'on a toujours
[cos e| <1.
En effet, de
Oax+ fxy) = X^QCx) + 2X|xQ(x,y) -î- fJi*Ç(y) ^ o
on déduit que le discriminant :
est inférieur à zéro, donc :
OCx.y)
Composantes covariantes d'an vecteur. — Le tenseur symétrique dont les composantes sont les nombres ga appliqué aux deux vecteurs x(|*) et yCV) détermine le produit scalaire de ces deux vecteurs :
x.y = galW- (3)
Ce produit peut s'écrire autrement ; en effet, considérons le tenseur covariant du premier ordre dont les composantes sont les nombres gijcV' ; nne fois que le tenseur métrique est donné — et cela est fait une fois pour toutes — ce nouveau tenseur du premier ordre ne dépend que du vecteur x ; il en dépend linéairement même et par suite, ses différentes composantes sont des formes linéaires du vecteur x. Posons ; ,
Sfiib$* = 5* (fc = l, 2, ...n) (4)
les \tc sont appelés les composantes covariantes du vecteur x. Je dis que le vecteur est bien déterminé quand on connaît ses composantes covariantes. Il suffît, en effet, de faire voir que les n équations précédentes admettent une solution et une seule pour les l* quand les seconds membres sont donnés ; or cela est évident puisque le déterminant du système n'est pas autre chose que le déterminant \gik\ des coefficients de la forme bilinéaire (3), cette forme, par hypothèse, n'étant pas dégénérée, on a bien 1^»*! 7^0. On peut donc
écrire :
xy = Sfcii*.
Remarquons que, puisque Çijc = gu, on a :
gikV' = guV' = ïfc.
Par conséquent, on peut poser sans contradiction :
îli = g%krf'
et le produit scalaire des deux vecteurs peut encore s'écrire :
x.y = Wtc,
Le produit scalaire de deux vecteurs est une forme hilinéaire de
deux facteurs; les coefficients de cette forme bilinéaire sont : ou
bien les nombres gik si les vecteurs sont donnés par leurs compo-
' / = ( si i^k' santés contravariantes, ou bien les nombres ^i ( ]
\= 1 ( si i = /c.
si l'un des vecteurs est donné par ses composantes covariantes et l'autre par ses composantes contravariantes. Qu'arrive-t-il si les deux vecteurs sont donnés par leurs composantes covariantes ? Résolvons les équations (4) ; les î* doivent s'exprimer linéairemenl en fonction des $* et les coefficients de ces formes linéaires doivent être les composantes d'un tenseur contra variant du second ordre :
FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES 37
or d'après la règle de Cramer g^ est égal au facteur de rélément guc dans le développement du déterminant | Çik |f divisé par ce déterminant lui-même. Par conséquent, on peut encore écrire :
x.y = 1% = g^lkr\i == g^lmk
car les nombres g** sont évidemment tels, que g** = p**,
Le produit scalaire est donc encore un tenseur contravariant du second ordre dont les composantes sont les nombres y*. Il semble donc que la notion de tenseur métrique devienne ambiguë ; nous allons voir que si dans la géométrie affine, il est possible de définir un tenseur d'une manière tel)e que sa nature (p fois covariant et g fois contravariant) le caractérise en tout et partout, il en est tout autrement en géométrie métrique ; la nature d'un tenseur* n'est plus univoque, seul son ordre k le caractérise parfaitement.
Modifions tout d'abord légèrement la définition donnée au chapitre I. Un tenseur d'ordre (p-\-q) y était défini comme une fonction (p 4- g) - linéaire de p séries de variables contra variantes et de g séries de variables covariantes. Cette fonction est un invariant pour les transformations linéaires de coordonnées. Cet invariant reste un invariant lorsqu'on remplace chaque série de variables contra variantes par les composantes contra variantes d'un certain vecteur et chaque série de variables covariantes par les composantes covariantes d'un certain vecteur. Le tenseur devient une forme multilinéaire invariante de (p-Hg) vecteurs; il est bien entendu que p de ces vecteurs sont donnés par leurs composantes contravariantes et g par leurs composantes covariantes.
Je dis qu'il est possible de lever cette dernière restriction et de définir le tenseur d'ordre k comme une forme fe-linéaire de k vecteurs.
Pour le faire voir effectivement, prenons un. cas particulier qui laisse entrevoir toutes les possibilités et qui permette de fixer nos idées tout en nous dispensant d'un flot d'explications.
Le tenseur A d'ordre (3-1-1), dont les com]X)santes sont Oik^m est une forme quadrilinéaire des quatre vecteurs x, y, z, t, donnés respectivement par leurs composantes l\ t]*, %i, t "* :
38 INTRODUCTION AU CALCUL TENSORfEL
mais, on peut introduire au lieu des Ç*, par exemple, les 5,. au moyen des relations :
alors :
mais les nombres :
sont les composante^ d'un tenseur deux fois covariant et deux foi& ^ontravariant. Le tenseur A change donc de nature ; il reste une forme quadrilinéaire des vecteurs X, y, z, t ; nous dirons que les b^'i^m sont les composantes deux fois covariantes et deux fois contrayariantes du tenseur A et puisqu 'aucune confusion n'est possible, nous poserons ô'**'^ = à'it^^ . On peut continuer ; puisque
on aura, en posant :
On poursuit aisément et on généralise de même. Un tenseur d'ordre k peut s'exprimer au moyen de ses composantes k fois covariantes, ou de ses composantes (k — 1) fois covariantes et une fois contravariante, ou encore de ,ses composantes {k — 2) fois covariantes et deux fois contra variantes, etc.. Ces différentes composantes sont caractérisées par la position et l'ordre des indices ; mais on passe des unes aux autres, grâce au tenseur métrique, de la manière suivante. Soient / et K deux groupes d'indices, on a po\ir (( abaisser » un indice, la formule suivante :
OlrM = gr»ai'}i
et pour « élever » un indice, la formule suivante :
flI^\I = g^'auM,
Nous croyons avoir ainsi parfaitement éclairci la notion de tenseur ; la deuxième définition que nous venons d'en donner est plus souple que la première et plus riche d'applications variées. L'ensemble des composantes d'un tenseur est, avons-nous vu, un opérateur qui appliqué à un certain nombre de vecteurs donne une forme Bfiulti linéaire de ces vecteurs ; c'est cette forme qui est le tenseur ; mais par une ellipse commode, il nous arrivera souvent de parler
FORMES BELJNÉAIRfiS ET OUADRATIQUES 39
du tenseur ga, du tenseur Oi^imi etc... au lieu de dire le tenseur dont les composantes deux fois covariantes sont les nombres gik.
Symétrie des tenseurs. — Un tenseur d'ordre k est symétrique s'il conserve la même valeur quand on échange entre eux les vecteurs dont il dépend, d'aune manière quelconque. Soit, par exemple, le tenseur (UkiVnK^ ; s'il ne change pas de valeur quand on échange entre eux les trois vecteurs x, y, z, c'est que l'on a :
nnais le tenseur donné peut encore s'écrire ctijb'ï*T|*ti ; si Ton échange de nouveau les vecteurs entre eux, c'est que Ton a :
a^ = Oi'jfc = dik = a«' = diti = o'iM = Q^'aikr
on a de même
enfin :
On peut donc écrire sans ambiguité f^je o*' au lieu d'écrire respectivement Oik^, etc. et Oi^, etc. C'est ce que nous ferons dorénavant pour presque tous les tenseurs symétriques *.
En particulier, si Tik = Tki sont les composantes deux fois covariantes du tenseur du second ordre T, celui-ci admettra les composantes mixtes :
Nous avons déjà reconnu ces particularités sur le tenseur métrique ; en effet :
g,rg ^gng -fif, -.Sf,-5,--| ^ ^^. .^^^
Un tenseur d'ordre k est symétrique gcaiche s'il conserve sa valeur quand on y échange les vecteurs dont il dépend, d'une manière telle que la permutation nouvelle des k vecteurs reste de la même classe, et s'il prend une valeur opposée (égale en valeur absolue, mais de signe contraire) quand la permutation nouvelle est de l'autre classe.
*) Les remarques précédentes sont générales et ne dépendent pas de l'ordre du tenseur symétrique considéré.
Prenons encore pour flxer les idées un tenseur du 3" ordre : bihilW%^- S'il est symétrique gauche, Ton doit évidemment avoir :
biki = bjai = hiQs = — bkii = — buk = — b»».
Les trois permutations ikl, kli, lik sont d'une classe, et les trois permutations kily iîk, Iki sont de l'autre classe. On en déduit que
b*w = bêk =r b«* = — 5*tt = — bkh *= — bit*
€1>C* evCy**>
On peut ioiaginer d'autres symétries. Nous allons étudier rapidément deux cas ; nous les retrouverons plus tard ; le premier se rapporte à certains tenseurs du troisième ordre symétriques par rapport à deux vecteurs bien déterminés parmi les trois dont ils dépendent. Soient Cik,r les composantes covariantes de ce tenseur C symétrique par rapport aux deux premiers vecteurs, c'est-à-dire tel que :
On a donc : .
Cik,r ^^ Cki,r \
par suite :
Cik'' = CkC" ; c»*»»* = c^> et c^K = c*V-
Nous nous arrangerons toujours à écrire les deux premiers vecteurs avec des composantes de même nature, les deux groupes covariants ou les deux groupes contrâvariants. Les différentes manières d'écrire les composantes de ce tenseur partiellement symétrique sont donc- les suivantes Cik.rt cj^» ^i-^* <^**'*' > étant donnée la convention précédente, il n'y a donc aucune ambiguité à craindre.
Le second exemple se rapporte à un tenseur du 4* ordre, dont les composantes jouissent des propriétés suivantes :
^ikilm ^^^ ^~ ^kiilm ^^^ ^**> mit .
ce qui signifie que le tenseur R (x, y, z, t) est tel que les quatre vecteurs dont il dépend peuvent se grouper par paires : X, y et z, t. Le tenseur est symétrique par rapport à chacune d'elles, il est symétrique gauche par rapport aux deux vecteurs de chaque paire.
On en déduit : ri*,im = r*iytm = o *.
De plus :
•) On a évidemment aussi r^, im = r^j^i u = 0.
FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES 41
«st un tenseur du second ordre ; je dis qu'il est syinétri(5[ue. Il suffit de démontrer que :
mais cette équation s'écrit aussi :
or d'après les symétries supposées, le second membro s'écrit 9^^ikyjm^ mais puisque g^ = g^^ on peut échanger i et / qui sont deux indices muets, par suite ce second membre devient g^^rjk,im» On a bien :
"km ^^ "mk*
D'après ce que nous avons dit plus haut, il n'y a pas d'ambi- ^it^ à parler des composantes mixtes /?* . En contractant encore une fois, on obtient un invariant R =z Ri.
Remarques sur les multiplicités ponctuelles linéaires, — Soil une multiplicité ponctuelle linéaire décrite à l'aide de certaines
coordonnées (a?j...Xn), l'origine étant le point (0,0. ..o) et OAj^,
OAs-^OAn étant les vecteurs de base d'un système de coordonnées, par rapport auquel nous repérons la multiplicité vectorielle linéaire que nous avons appris à adjoindre à la multiplicité ponctuelle. Les coordonnées des points Ar sont nulles sauf la t*^*"® qui vaut Ui. La métrique de la multiplicité vectorielle étant donnée par le tenseur dont les composantes sont les nombres Çik, nous nous arrangerons
encore pour choisir les Ui de manière que les vecteurs OAi aient une longueur égale à l'unité. Soient alors P(xi) et Qiyi) deux points
de la multiplicité, le vecteur PQ a pour composantes conlravariantes les nombres Ç* = y» — xu le nombre l qui mesure sa longueur est dit encore la distance des deux points P et Q ; on a
I^ = gikl%^= ^ gïkiji — ari) (y* — ^Jfc) . Si l'on change de coor-
xk
données au moyen d'une transformation linéaire, la distance de deux points reste une forme quadratique des différences des coordonnées de même rang de ces deux points.
Applications' au plan. — Il est temps de faire quelques applications des notions abstraites que nous venons de développer. Le
INTRODUCTION AU CALCUL TENSOïŒL
cas le plus simple et de beaucoup le plus familier est celui du plan. Soient dans le plan deux vecteurs Uj, Uj issus d'un même point O
(flg. 5) : Oy4i = Ui', 0^3 = Ua et supposons-les de longueur égale à
1 ; désignons par 6 l'angle qu'ils forment. Le vecteur OR = x a pour composantes contra variantes les nombres Ç^ et Ç^ qui mesurent les segments OR^ et R^R. La géométrie éléjnentaire nous-
Fig. 5
montre tout de suite que le carré de la longueur du vecteur x es» donné par la formule :
x* = Ur' = ivr + (?*)* + 2Vl' cos e,
c'est-à-dire que la forme métrique fondamentale est :
çiçi ^ çiçi.cos 6 + VV cos e -H i*^ les Çik sont donc :
9i% = 9ti = cos 6,
Les composantes covariantes du vecteur x sont donc :
ï, = SfifcS* = 9iA' + STiaS" = E^ + 5^ cos 6 ; I2 = S'.*?* = 92il' -f- P«S' = 5' cos Ô H- Ç^
Géométriquement, il est visible que les composantes contra variantes du vecteur OR sont égales aux nombres qui mesurent lesprojections orthogonales de ce vecteur sur les vecteurs de base t
FORCES BILINBAIRE8 ET OUADRATIQUES
£j=OB,, {, =5= Ofi,, Résolvons les équations précédentes par rapport aux Ç*, il vient :
sin' e L
oos 0.îi-+-€a
et par suite
sin* e
cos e
sin'O
sin^e
Ce sont bien les mineurs respectifs des éléments g^, gTia, fifai, g^^ du déterminant : ^
i cos 6
cos 6 \
I 9ik I =
= sin* e
divisés par ce déterminant lui-même. On vérifie aisément les formules
kr >fc ( 1 si 1*7^ A;, f SI i = fc.
Fig. 6
Cherchons Tangle des deux vecteurs OR et OQ dont les composantes sont les nombres (5*) et (ti*). Abaissons les perpendiculaires
des points R et Q sur Tun des axes OA^, par exemple (fîg. 5) soient DR et EQ. On a en grandeur et en signe :
EQ = Ti* sin 6, DR = 5* sin 6
Or, d'après une des formules les plus simples de la géométrie analytique, on a *:
__ OD,OE + EQ,DR ÇiT]i + ? V sin^ ô
COS Ot ^^ —————— ^—-——— — — ' ■' I I I I i •
Remplaçons \^ et r\^ par leurs valeurs en fonction des Ç* et vf ; il vient :
(E* -4- Ç* ces OVij» H- Tj* cos e) -+- 5'ïî" sin« 6
COS a = -^^ ^
5»;* -4- {'7i* cos 6 4- iW COS 6 -t- 5*7^»
ou
cos a =
I^flfifc5*5*.g«;ll*il'
C'est bien la formule que nous avons donnée plus haut pour Tangle de deux vecteurs.
Considérons le tenseur symétrique gauche T* = \^rf — V^ dont les seules composantes non nulles sont :
Formons l'invariant
i TikT^' = i 9ir9,.r''Ti' = 9irg^Tr»T'' = (T''n9ii9n-92i9i2.) La racine carrée de cet invariant :
(XW —Vri")^ 911922 — 92i9i% qui s'écrit ici :
sin e (Ç V — IW)
est Vaire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs OR
et OQ ; on s'en rend compte très facilement en utilisant la remarque* faite tout à l'heure.
*) n suffit dHmaginer un système d'axes rectangulaires dont Tun est le support de Uii pour écrire immédiatement cette fornlule.
FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES 45
Applications à Vespace. — Dans Tespace, on obtient des résul-
tats analogues ; on prend trois vecteurs de base OAj^, OA^, OA^ de longueur égale à Tunité, soient X, (i, v les angles {OA^, OA^),
(04 8, 0^4 1), (0-4 1, 0.4a). Le carré de la longueur d'un vecteur OP dont les composantes contravariante^ sont les nombres :
î^ = OB„ $^ = B,Q, 5^ = QP
est donné par la formule :
UP" == (Ç*)2 -h (Ça)» -+. ($3^2 ^ 2 5*Î2 cos V -H 2 H' cos X -h 2 ÎH* cos fi,
on a :
9i2 = 0^21 = cos V ; ^23 = ^32 = cos X, gfsi = gfi3 = cos [i..
Abaissons de P des perpendiculaires PC^, PCzy PC^ sur les trois axes. Les mesures des segments OCi, OC2 et OC3 sont précisément encore les composantes covariantes du vecteur OP, En effet, les deux contours polygonaux OB^QP et OC^P sont équivalents ; projetons-les sur 0^4 j. On a :
OCi = $1 + 52 cos V + i'cOS [X
car Tangle de QP avec Oi4i est précisément fi.
46 IPrrRODUCTION au calcul. TEN80RIEL
On peut transformer l'égalité précédente :
On voit de même que :
