NOUVELLE DÉFINITION DES TENSEURS

Dans le plan ou dans l'espace, les théorèmes de la géométrie élémentaire ou de la ^ trigonométrie sphérique donnent immédiatement la longueur d'un vecteur quand on a choisi une unité de longueur et quand on connaît ses composantes dans un système de coordonnées. Au lieu de partir de ces notions familières, il nous paraît plus profitable de définir- la métrique d'une multiplicité linéaire de vecteurs à un nombre quelconque n de dimensions et d'appliquer ensuite les théorèmes généraux auxquels ces définitions conduisent aux deux cas particuliers que nous venons de rappeler. Nous aurons alors d'un coup d'œil, jKîiir ainsi dire, la signification intuitive de nos nouvelles notions.

L'algorithme fondamental pour l'introduction d'une métrique dans la géométrie linéaire est celui de forme Mlinémre de deux vecteurs et de forme quadratiqiue d'un vecteur.

Une forme bilinéaire de deux vecteurs est un tenseur deux fois cimarinnt :qm porte «or les deux séries de variables, représenftaiït chftcune tes composantes contravariantes des deux vecteurs ; ^e© d'autres termes, une forme bilinéaire de deux vecteurs est une fonne qui £st Ixnéahie par rapport à daacun d'eux, ani sens que ntous avons donné à ces termes dans le chapitre I.

Soient (Ç^..Ç*) et (^^...rf) les composantes contravariantes de deux vecteurs x et y ; le tenseur

Q(x,y) = ai;fcÇV

est une forme bilinéaire, dont les cuk sont dits les coefficients ; cette forme est non dégénérée si le déterminant la:»*! 7^0. La forme est symétrique f si l'on a toujours, quels que soient x et y :

dans ce cas :

quels que soient les 5 et les -n, donc : Oik = 0**. -

Faisons y = X, alors :

Q (X, X) = Q (X) = a,fcÇ^Î^

est dite une forme quadratique du vecteur x.

Par ce procédé d'identification des arguments, on fait correspondre à une forme bilinéaire, une et une seule forme quadratique. La réciproque de cette proposition n'a pas de sens précis. Soit ea effet, une forme quadratique :

hal'l\ ' (1)

on peut montrer aisément qu'elle peut provenir d'une infinité de formes bilinéaires par. identification des deux arguments ; on peut l'écrire :

où la deuxième sommation s'étend seulement aux combinaisons des indices i et k. La forme bilinéaire

OiklV (2)

engendre la forme quadratique (1) si

Oit == bu et Oik -H aki = bik -H b*» ;

or si on se donne les br«, ces équations ne déterminent pas univoquement les aik. Mais si l'on exige que la forme bilinéaire (2) soit symétrique, on voit qu'il y en a une et une seule qui engendre la forme (1), c'est celle doi)t les coefficients sont donnés par les équations :

bik -4- bki

aik = 7i

FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES 33

Nous nous arrangerons dorénavant, ce qui est toujours possible d'une seule manière, à écrire toute forme quadratique avec des coefficients symétriques (6tt= bki)- De cette manière, la forme bilinéaire :

engendre la même forme quadratique que celle qu'engendre I9 forme bilinéaire symétrique :

On démontre dans les traités d'algèbre les théorèmes suivants : Toute forme quadratique Q(x), non dégénérée (c'est-à-dire provenant d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée) est décomposable en une somme de carrés de formes linéaires du vecteur x ; ces formes linéaires sont au nombre de n et sont indépendantes.

Ces carrés peuvent être d'ailleurs précédés du signe moins ou du signe plus, mais Hermite a démontré que pour une forme quadratique donnée, les diverses décompositions possibles conduisent toujours au même nombre de carrés positifs et par conséquent au même nombre de carrés négatifs.

Une forme quadratique qui reste positive quel que soit l'argument x^^o, et qui ne s'annule que pour x = o est une forme définie positive. Si elle est toujours négative, sauf pour x = o, argument pour lequel elle s'annule, elle est dite définie négative.

Une forme définie est non dégénérée ; si elle est définie positive, elle est une somme de n carrés tous positifs.

Produit scalaire de deux vecteurs. — Deux vecteurs x et y déterminent un nombre x.y qu'on appelle leur produit scalaire et qui satisfait aux équations fonctionnelles suivantes :

si X = u + V

cette deuxième égalité entraîne

3) Xx.y = X(x.y)

si X est rationnel, nous posons que 3) est vraie quel que soit X.

Les égalités 2) et 3) montrent que le produit scalaire est une forme linéaire par rapport au premier facteur; l'égalité 1) montre,

Calcul tensoiiel. 3

à cause de la commutativité qu'elle exprime, que le produit scalaire est aussi linéaire par rapport au deuxième facteur, donc le produit est une forme bilinéaire des deux vecteurs ; toujours à cause de 1), on déduit que cette forme est symitrique :

x.y = Q(x,y) = sri*ÇS* ; (flfi* = Qhù

les l* et les t)*' étant les composantes contravariantes du vecteur dans le système de coordonnées choisi.

Le produit scalaire de x par lui-même est donné par la forme quadratique :