ANALYSE TEN80RIELLE

Considérons une multiplicité ponctuelle linéaire M». Un point P

<ie Mn est caractérisé par n coordonnées Xj^...Xni le vecteur PQ, où Q est le point (yi...y«) a pour composantes contra variantes les nombres 5* = y* — Xi, Nous avons vu plus haut que nos définitions sont invariantes pour toute transformation linéaire de coordonnées. Supposons que le point Q ait pour coordonnées des nombres très peu différents des coordonnées de P ; disons même que les y» sont infiniment peu différents des Xi * ;

yi = Xi-h dxi.

Les nombres dxi sont alors les composantes contravariantes ** du vecteur PQ dont la longueur l est donnée par Téquation :

/» = ^ gikdxidxjc.

Cette longueur étant infiniment petite, nous dirons que le vec-

teur PQ est infiniment petit.

Supposons qu'à chaque point P de la multiplicité Mn, nous fassions correspondre un tenseur ; c'est dire que ce tenseur est une fonction du point P, ses composantes sont donc des fonctions des

*) Oq sait quelles conventions implique cette manière de parler, nous n'y insistons pas.

**) Nous continuons à écrire dxi plutôt que (dc)i ou dxi malgré que les différentielles fussent eontravariantes.

coordonnées (Xj^..,Xn) et Tensemble de tous ces tenseurs attachés h chaque point de M» est un champ de tenseurs. L'objet de l'analyse* tensorielle est l'étude des champs de tenseurs.

Considérons tout d'abord une fonction du point P indépendantedu système linéaire de coordonnées choisi ; cette fonction définit unn champ d'invariants ou, comme on dit, im champ scalaire :

changeons de coordonnées au moyen des formules

Xi = ^g| xjc + tti ; la fonction f(x) devient une fonction /(Xi,...a?») =f(x) ; on a :

Les coordonnées du point P sont devenues Xi et celles du point infiniment voisin Q(x -f- dx) sont maintenant Ici •+• dx^ les dxi sont liés aux dXi par les relations :

dxi = ^oLÎdxk.

Or la différentielle de /, c'est-à-dire sa variation quand on considère cette fonction, en P et en Q est :

^f ^ àf ^ àf '

df = -r dVi -t- -T — rfxa-l h- -T^—dXn

OXi OXi OXn

la variation df de /(a?) est de même :

df = —3 dxi H — ^ rfïa'H 1 zr dxn

âxi dx2 dx'n

cependant df= df puisque / est un invariant, de plus les différen-tielles étant des variables contravariantes, l'égalité :

7j -t^ dxi = ^ —£- dxi

fS. ^^i t=l dXi

qui montre que les deux séries de variables ("x" ) ^* W^tO sont

ANALYSE TENSORIELLE 49

df contragrédienteSy prouve du même coup que les nombres --r — = fi

(JXx

sont les composantes ccxKariantes d'un tenseur du premier ordre, ou si Ton veut, sont les composantes covariantes d'un vecteur , qu'on appelle quelquefois le gradient du scalaire /. On a donc :