VA

dxh

Uh'V.

Reprenons les équations qui définissent le déplacement parallèle .

d'un tenseur of'f** •^*; elles s'écrivent :

t| t2 • • • ip

• • Al

dxk

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN COISTINUUM RIEMANNIEN 89

On peut les transformer aisément en : .

car

d dxh

dxh ds

Cela montre que la déûnition du déplacement parallèle est une définition invariante. On voit encore par là que si la dérivée covariante d'un champ tensoriel est nulle au point P, ce champ da^ns le voisinage de P s'obtient tout simpleinent, en déplaçant parallèlement à lui-mêm« le tenseur attaché en P. Un tel champ est dit stationnaire en P.

e long d'une courbe L en déplaçant parallèlement à lui-même un tenseur attaché en un point de cette courbe est un chcanp stationnaire en tout point de L, On conçoit que par suite de la dépendance que manifeste lé déplacement parallèle envers le chemin de transport, un champ tensoriel ne peut être en général stationnaire en tous les points de C». Pourtant un théorème dit théorème de Ricci, nous apprend que le tenseur métrique g ik est pTéchément stationnaire en tous les points de Cn* En effet :

àçtk - ; -, àgije

Çikfh = ^ — IiA' Çkl — IaA* gu = --r " r— \ih,k — \kh,i = 0.

De même g**/ji = o.

Nous allons poursuivre cette étude en donnant une signification plus intuitive encore 'de la dérivée covariante. Pour ne pas compliquer les notations, nous nous bornerons au cas d'un champ vectoriel covariant.

Soit donc un champ vectoriel li{Xi...Xn) ; transportons de P(xi). en P' {xi + dxi) le vecteur 5», parallèlement à lui-même, le long de

PP\ Il devient en P' :

Mais en P', le champ a pour valeur :

h àxh

W INTKODUCTION AU CALCUL TENSORIEL

La différence de ces deyx vecteurs en P' mesure donc ia variation du champ, puisqu'elle porte précisément sur deux vecteurs attachés au même point, dont l'un est le vecteur .en P transporté en P' et Tautre le vecteur en P' , Cette différence est :

■ ïrfi'indxh = ii/hdxh ;

doùh )

par conséquent, le taux de la variation du champ \é^x-^,,,Xr^ suivant la ligne de coordonnées qui passe par P et sur laquelle seule xa varie, est mesurée par la dérivée covariimte U/h.

Ce sont ces considérations applicables à toyt champ tensoriel qui justifient la dénomination de dérivée covariante.

Ainsi donc, la dérivation covariante d'un champ tensoriel d'ordre ic, est une opération qui permet d'obtenir à partir du champ donné, un nouveau champ d'ordre k+l, le nouvel indice étant un indice de covariance.

Dérivée contravariante. — Une notion peu utilisée <ians les applications, mais que nous définirons quand même pour la symétrie de

l'exposition est celle de dérivée contravariante Q,**.'.' i'^' d'un champ

tensoriel a^^ '" ^ ; c'est tout simplement un ensemble de fonctions

qui définissent le même champ que celui que définît la dérivée covariante, seulement on l'écrit avec le nouvel indice en haut :

}| ... 1^ «^ ti . . . ip/k

Calcul des dérivées covariantcs pour une somme ou pour un produit de tenseurs. — La dérivée covariante d'une somme de plusieurs tenseurs de même ordre et de même espèce, est égale à la somme des dérivées covariantes des tenseurs donnés. Cette proposition est évidente.

La dérivée covariante d*un produit de deux tenseurs s'obtient par la même règle que celle qui donne la dérivée ofdinaire.d'uji produit de deux fonctions dans le calcul différentiel ordinaire. Ainsi de

Cik^ = aikh^ on tire :

Cik^/h = aib;hl^*haikb^/K, En effet :

ANALYSE TENSORIELLB DANÔ UN C0NTINUUM BïEMANNIEN 9l

<^ik^/K = <^ -^ lrt\aik h^) — ^ir\atk ^0 — ^ kr\anb^

âXh

Nous jugeons inutile de donner une démonstration pour le cas général ; le cas particulier que nous venons de développer étant sufflsamment expressif.

Si l'un des fi^^cteurs est le tenseur métrique, la règle se simplifie puisque le tenseur métrique a sa dérivée covariante nulle ; pi, par exemple : '

on a :

fikr/h = Oikai"^/ h'

Remarques. — /. — La contraction d'un champ tensoriel et sa -dérivation covariante sont deux opérations permutables.

Montrons-le avec un cas particulier ; la démonstration génénle s'en déduisant aisément.

Soit OiJb'*" un champ tensoriel ; on a :

dUik^^^ OXh

Contractons le tenseur donné, et posons par exemple :

je dis que En effet :

dXf, mais :

âXk

le 3® et le 4® termes s 'entre-détruisent puisque leurs formes ne diffèrent que par les désignations du nom de l'indice de sommation ; Il reste alors :

,. àuik^* dik^'/h = -^ f- Trh^ aik"-' - XkhT air^\

■ce qui est bien le résultat annoncé.

9à INTRODUCTION AU CALCUL TENSORIEL

11.^ — La dérivation covariante d'un tenseur et rabaissement (ou Télévation) d'un indice dans le» composantes de ce tenseur sont deux opérations permutables. Prencwis le tenseur an}'" y abaissons Tindice l ;

formons on^'^/ii et abaissons l'indice Z,

Je dis aue la dérivée covariante de gjiaik^"^est précisénaent ctik/^/h t eh effet, dans les dérivations covariantes le tenseur métrique joue^ le même rôle qu'une constante dans le calcul différentiel classiqi^e.

Ce sont les deux remarques qui précèdent qui justifient compl?*tement la notation que nous avons adoptée pour la dérivée covariante *.

Dérivées successives. — D'un champ tensoriel d'ordre fc, on obtient par dérivation covariante un champ d'ordre fc H- 1 ; en dérivant celui-ci de la même manière, on obtient un champ tensoiiel d'ordre fe-|-2, etc..

Soit a f * • • ^\ la dérivée covariante du tenseur a f* ' ' /"« ; dérivc«is-la une seconde fois et soient û^^* •*^^^. les composantes du nouveau champ. Je dis que l'on n'a pas en général :

.^ «1 ... KO ^^ ^ fC\ ... Kq

Il , . . tp/hj 11 . . */fijh

Montrons-le sur un exemple simple; soit ai(a?i...a?n) un chc«nip du 1®' ordre, on a :

Cli/h = -3 lih dr

àai/h ^ ^

di/hk = -^- lik"^ a^lh — Ihk O'ilr

d^ai dW -. i àai

dxhdxk dxk dxk

ÔXh ÔXr

* Tout ce qui précède s'applique à la dérivation contravariante.

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN CONTINUUM RIEMANNIEN 93

et par suite, toutes réductions faites

r d[ik' ar,v ^r /. , r r zl

a x'est-à-dife :

Ûi/U — fli/fcV = iti^,kh û/.

Nous laissons au lecteur le soin de généraliser cette fônnule pour un. champ quelconque; nous nous contentons d'avoir montré par un exemple que tes dérivées covariantes secondes ne sont pas symétriques par rapport aux indices de dérivation. C'est là un point auquel on devait s'attendre, étant donné la dépendance que le' déplacement parallèle manifeste vis-à-vis du chemin de transport.

Tenseurs linéaires, — Il existe quelques combinaisons intéres- •santes et simples des dérivées covariantes de certains champs ; leurs expressions ne contiennent que des dérivées usuelles. Ces combinaisons caractérisent des tenseurs qu'on appelle linéaires H dont l'importance en physique est considérable.

Les dérivées partielles d'une fonction f(Xj^,..Xn) sont les composantes d'un tenseur du premier ordre ; en e£fet, ces dérivées ne ■sont pas autre chose que les composantes de la dérivée covariante du scalaire /':

dxi

= fli-

Le tenseur //♦ est un champ tensoriel linéaire du 1*"* ordre. Soit un champ du l*' ordre hi(a?i...a?«) quelconque d'ailleurs; formons les deux tenseurs :

Hik = hi/k et H'ik = hjc/i ; les fonctions :

hik = Huc — H ik

«ont les composantes d'un tenseur symétrique gauche du second ordre ; c'est un tenseur linéaire du second ordre. L'on a :

, ' dhi ^ , l dhy

dhi dhk

^ dxic àxi

r.rA.-(2-r,..-^.)

94 INTRODUCTION AU CALCUL TfililSOBiEL

Ce tenseur est parfois, appelé le curl du champ tensorier ft», par analogie avec une dénomination du calcul vectoriel.

On démontre de jnême que tout tenseur du second ordre symétrique gauche /«* (il n'est pas nécessaire qu'il soit linéaire) donne naissance à un nouveau tenseur linéaire du 3® ordre, par les relations :

fikl = fik/l H- fklii -f- fli/k

fjui se réduisent à cause de juc = — /*», à

. dfik . dfki . dfii '

dxi dxi dXk

Ce nouveau tenseur est symétrique gauche. On poursuit ais'5meRt pour des champs d'ordre supérieur*.

-Nous a^ohs terminé l'exposé des principes essentiels du calcul 'différentiel absolu. Le lecteur serait en droit d'epger qu'on lui 4^onnât ici quelques applications de la théorie développée dans ces deux derniers chapitres, mais comme les applications les plus intéressantes sont d'ordre^ physique, et que l'initiation aux théories physiques exigerait de longs développements, nous nous bornons à renvoyer le lecteur aux traités sur les théories d'Einstein ; notre but sera réalisé si notre petit livre l'aide à comprendre les calcul compliqués au moyen desquels ces théories sont étacblies.

• M. Weyl démontre le caractère ^nsorîel de ces expressions par une autre méthode plus suggestive pour les applicattions physiques. Voir Weyl, Temps Espace, Matière, p. 91 et suivantes.