V-hcH

avec dÇ* =~

- Tphf kP dxh

r\k -h dy\h

avec dr\t=^

\kh^ f\q dXh

avec d^ ==

^Ih'' Cr dxh

X«+(fo-

avec dx*"— —

' r^"» X* dxh*

De P en P , l'invariant A a augmenté de dA, et Ton a

dA == dapV»*/ Çp T^y Çr x'

ûi^'t -nq Ir x' d ?» 4- a/''* 5p îr x' drik

ap^h 6p >3g x' d ù -h ap3"-«?P7)ç!:rx'».

Par conséquent, puisque

Ton a :

dA

dxh

H- Fi/t»* a^^^ ' — ïtfj^ ap9rm hpriqlr'^i dXh.

Or dA étant la différence de deux invariants en P, est un invariant en P ; par conséquent puisque 5p, r^, Çr, x^, dar^ sont les composantes de 6 vecteurs en P, les fonctions :

ap^^'t/h =

ÔXh

représentent les composantes d'un champ de tenseurs d'ordre A:-hl [ici (4 + 1)].

Ce tenseur est appelé la dérivée covariante du champ donné, au point P.

Plus généralement, la dérivée covariante d'un champ tensoriel d'ordre p + g : a„\f''^' est un nouveau tenseur d'ordre (jp-hl) + q (p + 1 fois coyariant et q fois contravariant) :

« ilil'.'.\%f^ <piî se calcule grâce à la méthode précédente, par la formule :

aa***«

• • • Kq ^kf k^ . .. kq __ l'I 1*8 ... ip

Nous indiquerons les indices des dérivations covariantes au moyen d'un trait qui les séparent des indices du tenseur donné.

Appliquons ces considérations générales au cas d'un chaiop vectoriel. Soit d*abord un champ vectoriel covariant 5i(Xi...a?»); formons avec le vecteur dont les composantes en P(xj) sont tj*, l'invariant Im* et calculons sa variation lorsqu'on passe de P(Xi) h PXxi-i-dxi), le vecteur i)* se déplaçant parallèlement à lui-même, on a : '

or et

rfÇ. =-!l(^aîA.

Il vient donc

iV) = r*^ — ^•'*'^M 1'"^^^.

La dérivée covariante du champ 5» est donc définie par les composantes :

Îi/A = "3 — — TiV il .

dxh

On verrait encore de même que la dérivée covariante du champ vectoriel contra variant 5*(^i-^n) est définie par les formules :