PREFACE

Nous venions à peine de renaître à la vie scientifique — que la guerre, sans l'interrompre complètement, avait notablement ralentie — lorsque feus le très grand plaisir de faire la connaissance de M. Juvet.

Il avait fallu attendre que nos jeunes gens, pas tous, hélas! nous fussent rendus, pour reprendre nos réunions du Collège de France où nous essayions de suivre et d'analyser le mouvement mathématique contemporain. A ces réunions, nous vîmes ce jeune géomètre prendre une part de plus en plus active et de plus en plus heureuse. Son départ de France et son retour dans sa patrie n'ont pas fait cesser cette utile collaboration. Avec son collègue M. Rolin Wavre, M. fuvet a donné l'exemple à ces jeunes mathématiciens suisses qui tiennent à ne pas perdre le contact avec la Science française. De son séjour à Paris, tout en portant son attention sur plusieurs des sujets que la littérature mathématique contemporaine désignait à notre étude, il s'était plus spécialement adonné au Calcul différentiel absolu et aux autres problèmes que soulève aujourd'hui la relativité généralisée.

Une telle préoccupation arrivait à son heure.

On sait comment, sous la puissante impulsion de M. Langevin, les jeunes physiciens français se sont associés au mouvement d'idées créé par les découvertes de M. Einstein. Mais la coopération à ce mouvement n'importait pas moins aux mathématiciens, dont la nouvelle théorie fait intervenir les doctrines à un plus haut degré que ne l'avait peut-être fait aucune conception physique antérieure. C'est ce qu'avaient d'ailleurs compris dès l'abord des géomètres tels que M. Borel. Mais le champ est vaste et de nombreux travailleurs n'y sont pas inutiles. Nous sommes heureux de l'aide que M. Juvet nous a apportée et nous apporte aujourd'hui pour son défrichement.

Il était temps d'ailleurs pour la Science mathématique que de telles questions fussent posées et un tel champ de recherches ouvert. Une fois de plus s'est manifestée V importance de l'application physique pour la direction de la pensée mathématique et se sont vérifiées les paroles aujourd'hui classiques que Poincaré prononçait au Congrès mathématique de Zurich :

(( Le physicien nous pose des problèmes dont il attend de nous la solution. (( Mais en nous les proposant, il nous a payé largement d'avance le service que « nous pourrons lui rendre, si nous parvenons à les résoudre.

« Les combinaisons que peuvent jormcr les nombres et les symboles sont « une multitude infinie. Dans cette multitude, comment choisirons-nous celles qui « sont dignes d'attirer notre attention? Nous laisserons-nous uniquement guider « par notre caprice? Ce caprice, qui lui-même d'ailleurs ne tarderait pas à se (( lasser, nous entraînerait sans doute bien loin les uns des autres et nous cesserions « promptement de nous entendre entre nous.

« Mais ce n'est là que le petit côté de la question.

« La physique nous empêchera sans doute de nous égarer, mais elle nous « préservera d'un danger bien plus redoutable; elle nous empêchera de tourner (( sans cesse dans le même cercle »

La Géométrie infinitésimale n avait-elle pas par trop perdu de Vue ces paroles, depuis la grande œuvre par laquelle Darboux avait rhis au point et porté à un remarquable degré de perfection l'étude de tous les problèmes géométriques qui se posaient de son temps? Il est permis de se le demander, à la lecture de ces innombrables travaux publiés pendant ces dernières années et où les notions classiques de Gauss, d'Ossian Bonnet et de Darboux reviennent inlassablement dans tous les ordres possibles, un peu comme les figurants du cirque ou, si l'on veut, comme ces bouts de papier rouges, verts et bleus que la méthode Froebel fait assembler aux enfants de nos écoles. On peut se demander si le caprice qui préside à ces combinaisons n'aurait pas gagné à trouver un fil conducteur, et si le danger dont parle Poincaré de tourner toujours dans le même cercle a été évité: de fait, en présence de ces pénibles efforts Vers la variété, on garde l'impression d'un fonds de monotonie et même souvent celle de l'inutilité, non pas, bien entendu au sens de cet intérêt direct auquel la Science doit se garder de s'asservir, mais même au seul qui doive nous intéresser, celui de l'ascension et de l'ennoblissement de la pensée humaine.

Il y avait donc, à notre avis, une crise de la Géométrie infinitésimale, et c'est cette crise que l'intervention de la Relativité vient dénouer. Elle a dès l'abord jeté un jour inattendu sur l'œuvre géométrique antérieure en montrant V importance fondamentale de ce Calcul différentiel absolu de Ricci et Levi Cività, resté presque sans écho lors de son apparition. Quelque opinion que l'on soutienne sur le bien fondé des nouvelles hypothèses, elles assignent à la Géométrie un rôle nouveau et ouvrent pour elle une période nouvelle, non point de cette nouveauté au souffle court que peut trop souvent seul atteindre le mathématicien livré à ses propres forces, mais de cette nouveauté indéfiniment féconde qui ressort de la nature des choses.

Rendons grâce encore une fois à M. Juvet d'avoir retracé pour nous l'aspect mathématique de ces nouvelles idées et ne doutons pas que son ouvrage n'en facilite et n'en accélère non seulement la diffusion, mais le développement.

Le calcul difjérentiel absolu et le calcul tensoriel sont deux algorithmes — très voisins d'ailleurs — qui forment l'essentiel de la structure mathématique des théories einsteiniennes. Ce petit livre est un exposé des méthodes qui se rattachent à ces algorithmes et qui sont dues à Gauss, Ricci, Riemann, Levi-Civita et Darboiix ; elles peimettent l'analyse approfondie des variétés géométriques quelconques. On sait (jue lu cdractérifiUque de ces méthodes provient de ce qu'elles permellerd de faire l'étude d'un être géoméirique à un point de vue purement intrinsèque. Les Grecs ne faisaient pas de géométrie autrement ; lorsqu'ils cherchaient les propriétés d'une figure, c'était toujours en scrutant la figure ellemême, considérée en soi et prise indépendamment de tout système de référence. La géométrie cartésienne, on le sait, a de tous autres soucis; l'objet à étudier est rattaché à un système de coordonnées souvent fort étranger aux choses qu'il sert à décrire. Pourtant ceux qui contribuaient par leurs recherches au. développement de la géométrie analytique n'ont pas été sans voir l'importance de certaines expressions constt'uites avec les coordonnées choisies, mais dont la valeur en est indépendante. L'étude approfondie de ces « invariants » est la base de la théorie gaussienne des surfaces et de la théorie riemannienne des multiplicités quelconques. C'est elle qui a permis de revenir au point de vue des Grecs, mais ce retour n'est pas un abandon des méthodes cartésiennes. Les^ systèmes de coordonnées ne sont pas rejetés, mais au lieu d'être étrangers aux êtres étudiés, ils en forment la charpente même. La transformation des méthodes géométriques n'est pas un bouleversement, pas plus que la dynamique einsteinienne n'est le résultat d'une révolution qui aurait détruit la mécanique de Neivtcn .

Calcul tensoriel. 1

*l AVANT-PROPOS

Quelques vieilles idées qu'on croyait mortes, ont repris une vie nouvelle, et la science bénéficiant de tous les acquêts antérieurs perfectionne ses méthodes; seul celui qui ignorait l'état antérieur des doctrines scientifiques croit que l'état actuel résulte d'un bouleversement. '

Les premiers linéaments du calcul tensoriel ont leurs racines ilans le calcul vectoriel. Nous avons rappelé les principes de celui-ci dans la mesure où ils reparaissent dans celui-là. Nous avons suivi peur ce but, la méthode axiomaticjue d'exposition, telle qu'elle est développée par M. Weyl dans son livre (( Temps, Espace, Matière » mais nous avons atténué le caractère abstrait d'un tel exposé ed faisant appel à l'intuition géométrique, pour le cas de deux ou trois dimensions.

Pour les développements des théories suivantes, nous nous sommes inspirés toujours des mémoires originaux et si nous avons défini le déplacement parallèle en ayant recours à un espace linéaire euclidien dans lequel la variété donnée est immergée, plutôt qu'en partant des axiomes de M. Weyl et en conservant toujours le point de vue intrinsèque, c'est tout d'abord pour faire connaître un très beffu mémoire de M. Lein-Civita, et ensuite pour rendre les moyens et les caractères de cette théorie plus clairs et plus intuitifs.

Notre but aura été atteint si le lecteur, après avoir étudié cette initiation aux méthodes mathématiques de la relativité, est capable •de lire ensuite avec profit les mémoires et les traités dont l'objet est la physique einsteinienne.

Mon ami, M. W. Grossma.nn a bien voulu se charger de faire les figures, qu'il en soit ici affectueusement remercié. J'adresse aussi mes remerciements à mon collègue, M. A. Reymond qui a bien VGulii relire les épreuves et me faire part de ses observations.

IS'euGhâtel, mai 1922 .

G. JtrVTT.