CHAPITRE PREMIER

VECTEURS. — TRANSFORMATIONS LINEAIRES

Considérons dans un plan ou dans l'espace deux points /i et B; nous dirons que le segment de droite AB supposé parcouru de A

vers B détermine le vecteur AB ; A est l'origine et B l'extrémité de ce vecteur. La droite indéfinie AB est dite le support du vecteur. Le

segment BA, parcouru de B vers A détermine le vecteur BA ; ce dernier vecteur est dit opposé au premier.

Déplaçons le segment AB parallèlement à lui-même jusqu'à ce que A coïncide avec un point C, B coïncidant avec un point D ;

le vecteur CD est dit égal au vecteur AB (on dit parfois équipollent lorsqu'on veut insister sur le fait que les deux vecteurs ne sont pas identiques).

Considérons trois points A, B, C; ils déterminent 6 vecteurs,

deux à deux opposés ; portons notre attention sur AB, BC, AC. Le

vecteur AC est dit la somme ou la résultante des deux vecteurs AB

et BC. Plus généralement, soient deux vecteurs ^B et DE, déplaçons

le second vecteur DE parallèlement à lui-même de manière que D vienne coïncider avec B, alors E arrivera en un certain point C, le

vecteur AC est la somma des vecteurs AB et BC, mais puisque BC

est égal à DE, on dira encore que le vecteur AC est la somme de

AB et DE. L'addition, ainsi définie par construction, est commu-

tative, c'est-à-dire que

AB + DE = DE H- AB La figure 1 le montre immédiatement.

Fig. 1

Pour faire la somme de 3, de 4... de n vecteurs, on fait d'abord la somme de 2 d'entre eux, puis on ajoute au vecteur résultant un des vecteurs restants, puis au nouveau vecteur résultant, on

ajoute un quatrième vecteur choisi parmi ceux qui restent encore, etc., jusqu'à épuisement du nombre des vecteurs donnés. Il est aisé de montrer que le vecteur qui résulte de ces (m — 1) opérations est indépendant de l'ordre dans lequel on choisit les vecteurs pour faire les sommes partielles. Démontrons cette proposition pour

VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINEAIRES O

:i vecteurs. La figure 2 donne immédiatement cette démonstration, moyennant que l'on invoque les propriétés les plus simples du parallélisme.

La commutativité de l'addition jointe à la propriété que l'on vient d'établir prouve encore que l'addition est associative; c'està-dire que si a, b, c sont trois vecteurs, on a :

(aH-b) + c=:a-|-(b + c).

La proposition annoncée étant démontrée pour trois vecteurs, oii l'étend aisément par induction complète, et en utilisant Jes deux propriétés fondamentales de l'addition, au cas de n vecteurs.

Le vecteur b, différence des deux vecteurs c et a, est un vecteur tel que, ajouté à a, il donne une somme égale à c. Symboliquement, on écrit :

La soustraction est toujours possible.

Enfin, pour achever l'énumération des propriétés de l'addition, disons qu'il existe un vecteur zéro : c'est le vecteur qui, ajouté à un vecteur quelconque a, donne un vecteur égal à a lui-même :

Le vecteur zéro est un vecteur dont l'extrémité se confond avec l'origine.

Si b est le vecteur opposé à a, on a :

a + b = o. d'où a = — b. *) La définition de la multiplication d'un vecteur par un nombre se déduit immédiatement des règles précédentes : soit a un vecteur AB, les vecteurs 2 a, 3 a, ...n a, (n entier) s'obtiennent en ajoutant a à lui-même un nombre convenable de fois, ce que l'on fait en portant bout à bout ce vecteur sur la droite qui le porte.

Le vecteur — (q entier) est le vecteur qui multiplié par q redonne

a ; c'est donc le vecteur AC tel que q.AC = AB. Le sens du symbole

- a est donc parfaitement clair, p et q étant entiers. Par suite,

si X est un nombre rationnel, la multiplication qu'on vient de définir jouit des propriétés que manifestent les égalités suivantes :

*) Nous appellerons pour abréger rcrisembic de ces lois : les lois (A).

(X -|- a) a = (Xà) + (pi-a) [disiributivité de 1" csjièce, par rapport à l'addition.] X (fxa) = (X(jl) a [associativité.]

X (a + 1>) = ,(Xa) + (^b) [distrlbutlvité de 2« espèce, par rapport à i'adJition.l

Nous admettrons que ces lois*) sont valables pour des nombres X. réels quelconques. Le lecteur familiarisé avec les raisonnements les plus élémentaires de la théorie des ensembles linéaires, singulièrement avec les raisonnements fondés sur la notion de coupure, établira en toute généralité, pour tous les nombres. réels, les règles précédentes que nous n'avons démontrées que pour des nombres X rationnels.

Jusqu'à maintenant, nous n'avons fait intervenir aucune considération métrique, c'est-à-dire que nous n'avons pas comparé deux vecteurs a et b sous le rapport de leur longueur (au moins tant que ces vecteurs ne sont pas portés par des droites parallèles ou coïncidentes). Le calcul vectoriel tel qu'on le développe ordinairement, introduit à ce point précis les notions de produit scalaire et de produit vectoriel de deux vecteurs, soit par des cansidéraiions élémentaires de géométrie, soit par des considérations axiomatiques. Or pour le but que nous poursuivons, qui est de préparer l'établissement de la théorie du calcul tensoriel de telle manière qu'on puisse l'appliquer immédiatement, tant à l'étude des multiplicités à plusieurs dimensions, qu'à la physique einsteinienne, il est préférable de renvoyer à plus tard l'explicitation de ces notions. En effet, ce qui caractérise le calcul vectoriel au sens où l'on entend ce terme dans la mécanique rationnelle classique ou dans Ja théorie de Maxwell par exemple **, c'est que cet algorithme attire l'attention sur le vecteur considéré comme un être matliématique donné en soi. Or, ce qui nous sera utile plus tard, c'est ;de connaître précisément les relations des vecteurs avec certains d'entre eux choisis comme vecteurs fondamentaux ou de base, ceux-ci déterminant un système de coordonnées. Oh peut donc dire que l'on renonce •maintenant à ce qui faisait l'originalité du calcul vectoriel pour reprendre les méthodes cartésiennes ; cela ne veut pas dire d'ailleurs que les tentatives, très heureuses souvent, faites dans beaucoup de domaines avec l'aide de ce calcul, aient été inutiles; mais

*) Nous appellerons ces lois, les lois (M).

**) Voir p. ex. Coffin : Calcul vectoriel, trad. par Véronnet, Paris 1914.

VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINEAIRES (

dans certains cas, le désir de concrétiser les expressions analytiques pour leur trouver un sens physique a masqué la vraie nature des choses *.

Considérons n vecteurs a^, a,, ..., a„ ; on dit qu'ils sont linéairement indépendants s'il est impossible de trouver n nombres Xj, Xj, ..., X„, non tous nuls tels que la combinaison linéaire :

X^ai H- X^Ha -f- ...H-X„a„ soit nulle.

Si l'on peut trouver n nombres Xj non tous nuls, tels que l'expression précédente soit nulle, alors un des vecteurs a; est une combinaison linéaire des (n — 1) autres.

Soient dans un plan, deux vecteurs u^ et Uo, auxquels nous supposerons une origine commune ; nous admettrons encore qu'ils sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas portés par la même droite indéfinie ; en d'autres termes encore,

Ua n'est pas égal à un multiple de u^. Je dis que tout vecteur a du plan (Ui, U2) est une combinaison linéaire des vecteurs u^ = 0/1, et Uo = OB. En effet (fîg. 3), déplaçons a de manière que son origine coïncide , avec l'origine commune 0 de u^ et Uj : a= OC.

*) Voir Weyl : T. E. M., page 38. Nous abrégerons de cette manière l'ouvrage w Temps, Espace, Matière ».

Menons CA^ parallèle à BO ; on a :

OC = OA, + A,C mais :

OA, = X,Ui

où Xj est un nombre réel, et :

A,C = OB, = X.Ua par suite :

a = X^Uj H- XjUj.

On peut donc choisir dans un plan, deux vecteurs quelconques, mais linéairement indépendants : tout autre vecteur du plan est une combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

En d'autres termes, il est impossible de choisir dans un plan trois vecteurs linéairement indépendants ; étant donnés dans ce plan trois vecteurs quelconques, a, b, C, on peut toujours trouver trois nombres non nuls tous trois, a, p, v, tels que :

aa + pbH-YC = 0.

Nous dirons que les deux vecteurs Uj et u, forment un système de coordonnées, par rapport auquel le secteur quelconque -a du plan (Ui, Uj) est caractérisé par deux nombres X^ et Xj, tels que :

a = XiUi + X2U2.

Ce couple est unique, car si l'on avait encore :

a = X'jUi -f- a'm-j, on en déduirait :

(Xj — X'j) u, + (X. — X'J U2 = 0,

mais puisque u^ et U2 sont linéairement indépendants :

Les deux nombres Xj^ et a„ sont les comjK-.sanfes du vecteur a.

Si, au lieu des vecteurs Uj et Ug, nous utilisons deux autres vecteurs u\ et u'2, pour former un nouveau système de coordonnées dans le plan, par rapport auquel le vecteur a a les composantes X', et X'2, nous pouvons nous demander quelles relations existent entre ces nouvelles composantes et les anciennes X.^ et Xj. Pour les trouver, il est nécessaire de connaître les composantes des nouveaux vecteurs de base u'^ et u'2 dans l'ancieh système de coordonnées et

VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINEAIRES »

vice-versa. Soient alors t.^^, a,, les composantes de u\ et a.^^, 0.^2, celles de u'j :

(1) U'2 = 3^21 Ui + a^a Uj.

Soient de plus p^, ^12 les composantes de u^ dans le système [u\, u'n), et ^21. ^22 celles de u^ dans ce même système, on a : "i = PiiU'i + SijU'a

Les formules (1) définissent une transformation linéaire qui fait correspondre aux deux vecteurs U,, Ug les deux vecteurs u\, u'j.

Les formules (2) définissent une transformation, linéaire aussi, qui n'est pas indépendante de la première ; en effet, si l'on résout les équations (1) par rapport à u^ et u,, on doit obtenir les équations (2). Les équations (1) sont bien résolubles, car le déterminant :

est différent de zéro ; si cela n'était pas, en effet, il existerait une même relation linéaire entre les éléments d'une colonne:

fXi a^-l-ix^a,! =0,

ce qui entraînerait l'égalité :

!^-i U\ + [I2 u', =0, qui est impossible puisque nous avons supposé que u'j et u'2 sont linéairement indépendants, comme vecteurs fondamentaux d'un système de coordonnées. Si l'on porte dans les équations (1) les valeurs des Ui données par (2), on doit obtenir des identités; il faut donc que les ouk et les ^ ,., satisfassent aux équations :

°^1X Pli + =^12 ?2, = 1 ; 0^21 Pn -f- ^22 P21 = 0

«11 Pu + a,2 P22 = 0 ; aji ^12 + =^22 ^2 = 1

qu'on peut écrire plus abréviativement :

2)a.>?w<=Sa, a, k = l, 2) (3)

en désignant par le symbole Sit, le nombre zéro, si i 7^ k, et le nombre 1, si i = k. De même, en portant dans (2) les valeurs des u' j données par (1), l'on trouve :

^a,,-,,, =5ifc (i, fe=l, 2) (4>

Les relations (.3) définissent les <^i]c en fonction des a j,^ ; la théorie élémentaire des déterminants nous eût permis d'écrire immédiatement les équations (3) et (4) ; ces dernières, d'ailleurs, ne sont qu'une conséquence des relations (3), comme on le démontre aisément.

On dit que les formules (2) définissent la transformation inverse de la transformation donnée par les équations (1).

Reprenons alors le vecteur :

a = ÀjUj + X2U2, qui s'écrit dans le deuxième système de coordonnées : a = X\u'iH-X'3u'2.

On a donc l'équation :

XiUi H- I2U2 — X'jU'i + X'aU'a

qui doit se transformer en une identité par rapport à Ui et à U, si l'on remplace les u'i par leurs valeurs (1).; le calcul donne :

En remplaçant les Ui par leurs valeurs (2), on obtient :

D'une façon plus précise et plus synthétique, on dit que les deux séries de variables Xi et Ui sont contragrédientes, si après transformation, l'expression

X,Uj -\- À3U2 prend la forme

X'jU'i + X'oU',.

On voit donc que si les variables Ui se transforment par les équations (1), les variables contragrédientes Xi se transforment par les^