hk -^ — dXr

* Tout ce qui précède

î s'applique

à la dérivation

con

itravariante.

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN CONTINUUM RIEMANNIEN 93

et par suite, toutes réductions faites

c'est-à-dire :

anhk — diikh = th\kh ai-

Nous laissons au lecteur le soin de généraliser cette formule pour un champ quelconque ; nous nous contentons d'avoir montré par un exemple que les dérivées covariantes secondes ne sont pas symétriques par rapport aux indices de dérivation. C'est là un point auquel on devait s'attendre, étant donné la dépendance que le déplacement parallèle manifeste vis-à-vis du chemin de transport.

Tenseurs linéaires. — Il existe quelques combinaisons intéressantes et simples des dérivées covariantes de certains champs ; leurs expressions ne contiennent que des dérivées usuelles. Ces combinaisons caractérisent des tenseurs qu'on appelle linéaires ^t dont l'importance en physique est considérable.

Les dérivées partielles d'une fonction f{x^...Xn) sont les composantes d'un tenseur du premier ordre ; en effet, ces dérivées ne sont pas autre chose que les composantes de la dérivée covariante du scalaire / :

Le tenseur //» est un champ tensoriel linéaire du P'" ordre. Soit un champ du V ordre hi(Xj^...Xn) quelconque d'ailleurs; formons les deux tenseurs :

Hik = hi/k et H'ik = hk/i ; les fonctions :

hik = Hjk — H'ik

sont les composantes d'un tenseur symétrique gauche du second ordre ; c'est un tenseur linéaire du second ordre. L'on a :

. dhi . / dh,

hik = -^i I ik hr

dxk \ ôx

~~ dXk àxi

Ce tenseur est parfois appelé le curl du champ tensoriel hi, par analogie avec une dénomination du calcul vectoriel.

On démontre de même que tout tenseur du second ordre symétrique gauche fa (il n'est pas nécessaire qu'il soit linéaire) donne naissance à un nouveau tenseur linéaire du 3^ ordre, par les relations :

fikl = fik/l -h fklii -f- fli/k

qui se réduisent à cause de joc = — fu, à

~ ^ ^fik ^ àfki ôfn ^ dxi dxi ()Xk

Ce nouveau tenseur est symétrique gauche. On poursuit aisément pour des champs d'ordre supérieur*.

Nous avons terminé l'exposé des principes essentiels du calcul différentiel absolu. Le lecteur serait en droit d'exiger qu'on lui donnât ici quelques applications de la théorie développée dans ces deux derniers chapitres, mais comme les applications les plus intéressantes sont d'ordre physique, et que l'initiation aux théories physiques exigerait de longs développements, nous nous bornons à renvoyer le lecteur aux traités sur les théories d'Einstein ; notre but sera réalisé si notre petit livre l'aide à comprendre les calculs compliqués au moyen desquels ces théories sont établies.

* M. Weyl démontre le caractère tensoriel de ces expressions par une autre méthode plus suggestive pour les applications physiques. Voir Weyl, Temps Espace, Matière, p. 91 et suivantes.