Zj -^ dxh

h àxh

La différence de ces deux vecteurs en P' mesure donc la variation du champ, puisqu'elle porte précisément sur deux vecteurs attachés au même point, dont l'un est le vecteur en P transporté en P' et l'autre le vecteur en P' . Cette différence est :

par conséquent, le taux de la variation du champ \i{x^...x,^ suivant la ligne de coordonnées qui passe par P et sur laquelle seule xa varie, est mesurée pai* la dérivée covariante U/h-

Ce sont ces considérations applicables à tout champ tensoriel qui justifient la dénomination de dérivée covariante.

Ainsi donc, la dérivation covariante d'un champ tensoriel d'ordre k, est une opération qui permet d'obtenir à partir du champ donné, un nouveau champ d'ordre fc+ 1, le nouvel indice étant un indice de covariance.

Dérivée contravariante. — Une notion peu utilisée dans les applications, mais que nous définirons quand même pour la symétrie de l'exposition est celle de dérivée contravariante a-^'" -^'^ d'un champ tensoriel a-^ '" '-'y, c'est tout simplement un ensemble de fonctions qui définissent le même champ que celui que définit la dérivée covariante, seulement on l'écrit avec le nouvel indice en haut :

tl ... ijj -> Il ... ip /h

Calcul des dérivées covariantes pour une somme ou. pour un produit de tenseurs. — La dérivée covariante d'une somme de plusieurs tenseurs de même ordre et de même espèce, est égale à la somme des dérivées covariantes des tenseurs donnés. Cette proposition est évidente.

La dérivée covariante d'un produit de deux tenseurs s'obtient par la même règle que celle qui donne la dérivée ordinaire d'un produit de deux fonctions dans le calcul différentiel ordinaire. Ainsi de

on tire :

Cik^/h = aiic/hb^-h aikb^/k..

En effet :

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN CONTINUUM RTEMANNIEN 9 l

= 6'(-^ - fn-'a^A— r/cr'a,-A + ai/c( ^ + rr/^6A=6'aiA-A -*- a.A6'/^.

Nous jugeons inutile de donner une démonstration pour le cas général ; le cas particulier que nous venons de développer étant suffisamment expressif.

Si l'un des facteurs est le tenseur métrique, la règle se simplifie puisque le tenseur métrique a sa dérivée covariante nulle ; si, par

exemple :

/ijfci'" = Qikar on a :

fiki"/h = gikCii"/h.

Remarques. — /. — La contraction d'un champ tensoriel et sa dérivation covariante sont deux opérations permutables.

Montrons-le avec un cas particulier ; la démonstration générale s'en déduisant aisément.

Soit an/"" un champ tensoriel ; on a :

aik'"\h = — 1 H Tr/,' aik'-'" -h ïrh"" aik^'- — r,„'* a^k^^ - [kh'' air^^.

Contractons le tenseur donné, et posons par exemple :

b,' = oij}' ; je dis que

W/h = Oik^'/k.

En effet :

^'^'- Ox,

mais

Oxh

le 3* et le 4^ termes s'entre-détruisent puisque leurs formes ne diffèrent que par les désignations du nom de l'indice de sommation ; il reste alors :

aïk^'/U = — T^-^ h fr/,' a:*'"' — Ta-/,'" ûir'',

ce qui est bien le résultat annoncé.

II. — La dérivation covariante d'un tenseur et l'abaissement (ou l'élévation) d'un indice dans les composantes de ce tenseur sont deux opérations permutables. Prenons le tenseur a.ik^"\ abaissons l'indice l :

CtiA^r = 9jl <^ilc^"' ;

formons «i^'^/A et abaissons l'indice Z,

Je dis aue la dérivée covariante de gjiaïk^'^est précisément aiic/"/h'> en effet, dans les dérivations covariantes le tenseur métrique joue le même rôle qu'une constante dans le calcul différentiel classiqre.

Ce sont les deux remarques qui précèdent qui justifient complètement la notation que nous avons adoptée pour la dérivée covariante *.

Dérivées successives. — D'un champ tensoriel d'ordre k, on obtient par dérivation covariante un champ d'ordre fc-f- 1 ; en dérivant celui-ci de la même manière, on obtient un champ tensoiiel d'ordre /c4- 2, etc..

Soit û ,*■■■/ ^ la dérivée covariante du tenseur a , ' ' " * ; dé-

'1 ••• tj>/h II . . . if) '

rivons-la une seconde fois et soient «f/.'.f*^^. les composantes du nouveau champ. Je dis que l'on n'a pas en général :

H • • • ^p/hj 11 . . ipijh

Montrons-le sur un exemple simple ; soit ai(x^...Xn) un ch'^mp du V^ ordre, on a :

ai/h

àxu

Uhar

ai/hk

~ àx,

■ r,/ arih -

- ^hkO,ilr

dXkdXk

OXk OXk

aXh

^Uk^Un^