LIVRE n. — ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

ad'c" — ar'd" 4- ca'd" — da'c" + de' a" — edaf' y ~~ ab’c" — ae’b" + ca'b" — ba'd' -f- bc'a" — cb'af

Éliminant de même x et y , on obtient

ab'd" — ad’b" 4- da’b" — ba'd" + bda" — db'a"

2 ab'd' — ae'b" + ca’b" — ba'ç" + bc'a" — cb'a" *

4CO. Considérant les résultats obtenus aux n“ 448, 437 et 459, on volt :

1° (448) Que pour une équation du premier degré à une seule inconnue, les nombres de termes du numérateur et du dénominateur de la valeur de l’inconnue peuvent toujours être ramenés à i.

2° (457) Que pour deux équations à deux inconnues , ces nombres peuvent être ramenés à 2 ou 1 x 2.

3‘ (459) Que pour trois équations à trois Inconnues, ces nombres peuvent être ramenés à 6 ou 1 x 2 x 3.

Ces nombres seraient 24 oulx2x3x4 pour quatre équations à quatre inconnues ; de 120 ou Ix2x3x4x5 pour cinq équations à cinq inconnues, et ainsi de suite.

461. L’emploi des accents dans les notations des coefficients a donné lieu à l'observation d’une loi d’après laquelle on peut facilement former les numérateurs et les dénominateurs des valeurs des inconnues.

Considérant d'abord doux équations à deux inconnues (457) :

1° Pour obtenir te dénominateur commun aux. deux valeurs des inconnues, on forme avec les lettres a et b, qui désignent les coefficients de x et y dans la première équation ax + by = c, les deux permutations a& et ba; on sépare ces permutations par le signe — , ce qui donne ab — ba; et accentuant la dernière lettre de chacun des termes, on obtient le dénominateur commun

ab' — ba'.

2° Pour obtenir le numérateur relatif à chacune des inconnues, on remplace, dans le dénominateur, les lettres qui désignent les coefficients de l’Inconnue considérée par les lettres qui désignent les quantités toutes connues, en laissant les accents aux mêmes places. Ainsi, pour les inconnues x et y, le dénominateur ab' — ba‘ fournit respectivement les numérateurs cb' — bc' et ac’ — ca'.

Considérant le cas des trois équations à trois inconnues (459) :

1* Pour obtenir le dénominateur commun, on introduit successivement la lettre c b droite , au milieu et à gauche de chacune des permutations ab et ba; cela fournit six nouvelles permutations, que l’on interpose de signes alternativement négatifs et positifs , ce qui donne

abc — acb + cab — bac + bca — cba.

Plaçant dans chacun des six termes de ce polynôme un accent sur la