livre h. — Equations du premier degrE
signes contraires ou le même signe dans les deux équations , on obtient une nouvelle équation qui ne renferme que l'autre inconnue, et de laquelle on peut en tirer la valeur. On détermine ensuite la valeur de la première inconnue en opérant comme pour la précédente.
1 "exemple. J CJ
Considérant l’inconnue y, on voit qu’elle a le môme coefficient dans les deux équations; comme elle a des signes contraires dans ces équations, on ia fait disparaître en ajoutant membre à membre les deux équations, ce qui donne
2x=c + c’, d’où i =
Considérant de même l’inconnue x, on voit qu’elle a aussi le même coefficient dans les deux équations; et, comme elle a le même signe, on la fait disparaître en retranchant membre à membre les deux équations, ce qui donne
2y=c— c", d’où y = C-y~-
exemple . |
ax+ y =c,
Considérant l’inconnue y, on voit que pour lui donner le même coefficient dans les deux équations, il faut multiplier les termes de l’équation (1) par le coefficient b‘ de y dans la seconde équation , ce qui donne
ab'x + b'y=cb‘. (3)
Ajoutant (2) et (3), on a
(a' + ab1) x=cb'+ d, d’où x = -*>' + c'
a +ab
Considérant de même l’inconnue x, on voit que pour lui donner le même coefficient dans les deux équations proposées, il faut multiplier les termes de la première équation par le coefficient a' de x dans la seconde, et ceux de la deuxième par le coefficient a de x dans la première , ce qui donne
aa'x + a'y = ca', (4)
aa'x — ab'y—ac'. (5)
Retranchant (5) de (4), on a
ytfl' + aè^ca'-ac', d’où y=
a + ab
437. Ce qui précède fait voir que tout système de deux équations du
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Mil XlÊME l’ARTIK. — ALGÈBRE.
premier degré & une seule inconnue peut se ramener à ls forme générale (448).
ax + by = c, a'x + b'y=c'.
d’où l'on tire
cV — bc' „ ad — ca'
ab' — ba'
et
ab' — ba'
438. Problème conduisant à un système de deux équations du premier degré à une seule inconnue ,
On a des pièces de 2 francs et de 5 francs; il s’agit de payer 26 francs avec 1 0 de ces pièces ; quels sont les nombres x et y que l’on doit donner de chacune de ces pièces 1
1‘ en équation (449) j 2^+5xyt?G
francs.
3* La vérification donne bien
2* Résolvant par l’une quelconque des trois méthodes du n* 458 , on trouve
x=8 et y=2.
x + y ou 8 + 2 = 10 pièces.
2r+5y ou 16 + 10 =26 francs.
489. Pour résoudre trois équations du premier degré à trois inconnues, les suivantes, par exemple, auxquelles on peut toujours ramener an système quelconque de trois équations du premier degré à trois inconnues,
ax + by + cz — d, (1)
à l’aide de l’une des trois méthodes du n* 466 on élimine une des inconnues, z par exemple,
1° Entre les équations (1) et (2), ce qui donne
( ac * — ca’]x + (bc’ — cb')y = dc' — ci' i (4)
2* Entre les équations (2) et (8), ce qui donne
(a'c" — da")x + (b'd' — c’b")y — d'd’ — c'd". (5)
On obtient ainsi les deux équations du premier degré à deux inconnues (4) et (5), entre lesquelles, éliminant y, on obtient
- db'c"— dc'b" + rd'h" ~ b,Vc" + Md" ~ cb'A"
X ~ abc" — ad b" + ca'b " — ba'd' + bc'a" — cb’a"’
Effectuant des calcule analogues pour éliminer x et z, on trouve
