TROISIÈME PARTIE. — GÉOMÉTRIE PLANE

884. Une droite BC est inscrite dans un cercle (fi'j. 35) lorsqu’elle a ses extrémités sur la circonférence.

888. L’angle CBD formé par deux cordes qui se rencontrent sur la circonférence s'appelle angle inscrit [fig. 35).

880. Un angle est inscrit dans un segment lorsqu'il a pour côtés les droites menées d’un point de l’arc du segment à ses extrémités.

887. Un segment est capable d'un certain angle lorsque tout angle inscrit dans le segment est égal à l’angle proposé (601).

888. Un polygone inscrit est celui dont tous les côtés sont inscrits dans le cercle. On dit alors que le cercle est circonscrit au polygone.

889. Lorsqu'une droite coupe une circonférence en deux points, elle prend le nom de sécante.

1590. Une ligne droite AB et une circonférence O sont tangentes lorsqu'elles ont un seul point commun m. On peut considérer la tangente comme la position limite d’une sécante dont les deux points d’intersection se sont rapprochés de plus en plus jusqu’à se confondre.

La perpendiculaire AB menée à l’extrémité du rayon O est tangente à la circonférence.

Fig. 40.

Deux circonférences O et O' sont tangentes lorsqu'elles ont un

seul point commun m. Elles

Fig. 41.

Fig. lî.

sont tangentes extérieurement ou intérieurement, selon qu'elles sont extérieures ouintérieuresruuc à l’autre.

Deux circonférences tangentes en un môme point à une même droite sont tangentes entre elles.

Le point commun à une tangente et à la circonférence (/iy.UO), ou à deux circonférencestangentcs {fig. il et 42), s’appelle point décontact. 892. Deux parallèles interceptent sur la circonférence des arcs égaux ; cela est vrai quand les parallèles sont deux cordes AB, CD, ou deux tangentes EF, GH, ou encore une corde et une tangente Ail, EF.

néciproquemcnt, deux cordes, deux tangentes, ou une corde et une tangente qui interceptent dos arcs égaux sont parallèles.

898. Un polygone est circonscrit à un cercle lorsque chacun de ses côtés est tangent à la circonférence en un point situé entre ses extrémités. On dit alors que le cercle est inscrit dans le polygone.

Fig. 43.

uvm: Iri. — ik r.mroxffinExcE et le cei«ci.e.

nO-î. Une droite est normale ou oblique à une circonférence ou à un arc qu’elle rencontre en un point , selon qn’elfeest perpendiculaire ou oblique à la tangente menée en ce point à la circonférence ou à Parc.

iîOo. Deux cercles cm deux circonférences sont concentriques lorsqu'ils ont même centre.

1590. Lorsque deux cercles non concentriques sont dans un mémo plan, la droite Indéfinie menée par les centres dès deux cercles se nomme ligne des centres.

i»97. On peut toujours trouver un point également distant de trois autres non en ligne droite , et situé dans le plan do ces derniers. Ce point est le centre de la circonférence qui passe par les trois points donnés (Voir Problèmes).

Par trois points non en ligne droite on peut toujours fairo passer une circonférence; mais on n'en peut fairo passer qu’une.

Deux circonférences ne peuvent se couper en plus de deux points, «nn. Lorsque deux circonférences sont tangentes extérieurement (fi g. il), la distance des centres est égale à la somme des rayons. Si les circonférences sont tangentes intérieurement {Jig. û2), la distance des centres est égale à la différence des rayons.

La ligne des centres passe par le point de contact.

t>09. Lorsque deux circonférences n'ont aucun point commun, la

distance des centres est plus

Fig. 44.

Fig. 45.

Fig. 46.

grande que la somme des rayons ou moindre que leur différence, selon que les circonférences sont extérieures ou intérieures l’une à l’autre.

600. Lorsque deux circonférences se coupent, c’est-à-dire sont sécantes, la ligne des centres est perpendiculaire sur le milieu de la droite mp qui joint les points communs, et la distance des centres est plus petite que la somme des rayons et est plus grande que leur différence. On a 00' < 0 m + O'm et 00' > Ont— 0'/n(549).

Réciproquement, quand la distance des centres est moindre que la somme des rayons et plus grande que leur différence, les circonférences se coupent. ,

Lorsque deux circonférences ont un point commun m hors de la ligne des centres, elles se coupent en un second point p situé de l’autre côté de la ligne des centres, sur la perpendiculaire à cette ligne et à la même distance que le premier.

ISO

TROISIEME RARTIE. — GÉOMÉTRIE l’LAISK.

Fig. 47.

Fig. 4R.

001. Tout angle inscrit BCD est la moitié de l’angle au centre Bon correspondant à l'arc nn compris entre ses côtés.

Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux.

Tout angle CBD inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

L» circonférence décrite sur une droite comme diamètre est le lieu géométrique des sommets de V -y tous les atiglos droits dont les côtés passent aux ex-

trémités de la droite.

Tout angle ACB formé par une tangente AC et une corde CB est moitié de l'angle au centre COB correspondant à l’arc BC compris entre ses côtés ; il est par conséquent égal à tout angle inscrit dans le segment CDB qui a la corde CB pour base.

«OU. Dans tout quadrilatère inscrit les angles opposés sont supplémentaires, et réciproquement.

605. Dans tout quadrilatère circonscrit la somme AB + DC de deux côtés opposés est égale à la somme AD +13C des deux autres, et réciproquement.

«04. Les trois bissectrices des angles d’un triangle se coupent en un même point O, qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle (Jig. U9 ).

Les trois bissectrices des angles extérieurs du triangle se rencontrent deux à deux sur chacune des bissectrices des angles intérieurs, et cos points de concours sont les centras de trois cercles tangents chacun à un côté du triangle et aux prolongements des deux autres. Ces cercles sont dits a conscrits au triangle.

«Oii. Las trois perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d’un triangle se coupent en un môme point 0, qui est le centre du cercle circonscrit ( fig. 50 ).

«00. Les trois médianes, c’est-à-dire les trois droites qui joignent les sommets d’un triangle aux milieux des côtés opposés se rencontrent eu un môme point, qui est le centre de gravité du triangle (Voir Mécanique).

Fig. 49.

UVRB IV.— I.F8 POLVGONES 6R1IBLABLES fiT l.A «ESt'ItS bES ANGLES. 1 B1

<>07. Deux longueur* sont dites proportionnelles à deux mitres longueurs lorsque ieur rapport est égal à celui des deux autres (379}.

Les longueurs ayant été mesurées au moyen de la même unité, on pent substituer, dans les rapports, aux lignes elles-mêmes les nombres qui les mesurent, et effectuer sur ces nombres les opérations de l’arithmétique.

008. Diviser une droite en moyenne et extrême raison, c’est la diviser en deux parties, dont la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et l’autre partie (288, 297 et Problèmes).

000. Des parallèles AA', BB', CC'... interceptent sur deux sécantes

cante sont égaux entte eux, AD = BC^ CD..., ceux de l’autre sécante sont aussi égaux entre eux, A'B' = B'C' = CD'...

CIO. Toutes les lignes OA, OB, OC... Concourant au même point O