LIVRE V

Mesure des polyèdres.

857. La mesure du volume ou simplement le volume d’un corps est le rapport de son étendue à celle du corps pris pour unité (209). Ainsi, en supposant qu’on prenne pour unité d’espace le cube dont le côté est un mètre, lorsqu'un solide, de forme quelconque, contient douze fois la dixième partie du mètre cube, le volume de ce solide est égal au nombre 1,2 mètres cubes.

858. Le produit d'une surface par une ligne est le produit de l’aire de la surface par la longueur de la ligne.

850. Les trois dimensions dun parallélipipède rectangle sont les deux dimensions de sa base et de sa hauteur (748).

840. Le volume d'un parallélipipède rectangle quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur ou au produit de ses trois dimensions. Supposant, par exemple, que les deux dimensions de la base d’un parallélipipède rectangle soient 2“,04 et 2 mètres, c’est à-dire que cette base contienne 2,04 x 2 = 4m c-,08 (634), et que la hauteur du parallélipipède soit 7 mètres 6 décimètres; si l'on prend le mètre cube pour unité d'espace, le volume du parallélipipède proposé sera

2,04 >1:2 x 7,6 = 31,008 ou 4.08x 7,6 = 31,008;

c'esl-à-dire qu’il contiendra 31 mètres cubes plus 8 millièmes de mètre cube, ou, ce qui revient au même, 31 mètres cubes plus 8 décimètres cubes.

Nous venons de supposer que le décimètre cube était la millième

LITRE V. — MESl'RE DES POLYÈDRES.

partie du mètre cube. Cela est vrai en effet ; car si l’on conçoit la base du mètre cube divisée en 100 décimètres carrés, et qu’on mène par les lignes de division des plans parallèles à la hauteur, on décomposera ainsi le solide en 100 parallélipipèdes rectangles d'un décimètre carré de base et d’un mètre de hauteur. Ensuite, si l’on divise une arête latérale en dix parties égales, et qu’on mène par tous les points de division des plans parallèles à la base, on décomposera chacun des 100 parallélîpipèdes partiels en 10 autres parallélipipèdes rectangles ayant un décimètre carré de base et un décimètre de hauteur ; donc le mètre cube sera divisé en 100x10 ou en 1000 décimètres cubes; ce qui montre qu’un décimètre cube est bien la millième partie d’un mètre cube. On verrait de même qu’un centimètre cube est la millième partie d’un décimètre cube, et par conséquent la millionième partie d’un mètre cube, et qu’un millimètre cube en est la billionième partie. Ainsi lorsqu'on prend le mètre cube pour unité, un solide, dont le volume est 1,43256983, contient un mètre cube, 432 décimètres cubes, 569 centimètres cubes, 830 millimètres cubes. En prenant le décimètre cube pour unité, le volume du corps serait 1432,56983; en prenant le centimètre cube, il serait 1432569,83 ; et en prenant le millimètre cube, 1432569830 (n* 212).

Le volume d’un cube est égal au cube de son arête.

841 . Deux parallélipipèdes rectangles sont entre eux comme les produits de leurs trois dimensions, ou comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs. S’ils ont une même dimension, c’est-à-dire même hauteur, ils sont entre eux comme les produits des deux autres dimensions ou comme leurs bases. S'ils ont deux mêmes dimensions, c’est-àdire même base, ils sont entre eux comme leurs troisièmes dimensions ou comme leurs hauteurs (635).

Deux cubes sont entre eux comme les cubes de leurs arêtes.

842. Un prisme quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur (139). Lorsque le prisme est droit, cette hauteur est égale aux arêtes latérales.

On peut prendre aussi pour mesure du prisme le produit de sa section droite par son arête latérale (745).

843. La surface latérale d'un prisme quelconque a pour mesure le produit du périmètre de sa base par sa hauteur, ou encore le produit du périmètre de sa section droite par son arête latérale (745).

844. Toute pyramide a pour mesure le tiers du produit B x H de sa base par sa hauteur. C’est le tiers du volume d’un prisme de base équivalente et de même hauteur (842).

Pour B = 2"-*-,4 et H = 1,2, le volume V = om' “-,960.

848. La surface latérale d’une pyramide régulière a pour mesure 1»