Trouver une

Fig. 138.

quatrième proportionnelle X à Irai* lignes données E,F,G (281). Sur deux droites OY, OZ, faisant entre elles un certain angle, on prend OA = E, AB — F, 0C=G; on joint AC, et menant 111) parallèle à AC, on a CD — X. En effet on a bien (609)

OA OC E G AB ~ Cl) °U F ~ X"

921. Trœrver une moyenne proportionnelle X a deux droites don-

Fig. 138.

nées E, F (283). Sur une droite xy, on prend AB — K et BC=rF; sur AC comme diamètre on décrit une demicirconférence , et la perpendiculaire KB = X. On a en effet (619)

ab:kb=kb:bc ou e:x=x:f, d’où x'-Exf.

En prenant AB’=E et AC'=F; puis décrivant une demi-circonféreuce sur A B' comme diamètre, et élevant la perpendiculaire C'K", on a encore A'K.' = X (619).

022. Diviser une droite AB en moyenne et extrême raison (608).

A l’une des extrémités A de la droite on élève Fig, no. ,UÎ

une perpendiculaire AO = — ; du point O

comme centre, avec OA pour rayon, on décrit une circonférence; on joint BO, et prenant BG — BG, le point G' satisfait à l’énoncé. En effet, on a (622)

bc;ab=ab:bg;

d’où (BC — AB): AB = (AB — BG); BG, (302)

c’est-à-dire BG'; AB-.- AG'; BG',

ou ab:bg’=bg';ag’. (298)

Ce qu’il fallait démoutrer.

PROBLÈMES

983. Sur une droite A'B', donnée comme côté homologue du côté AB du polygone ABCDE, construire un second polygone semblable au premier (611).

1" construction. On fait l’angle B' = B (90 U) ; on prend B'C' égal à une quatrième proportionnelle aux trois côtés AB, A'B', BC (920); on fait l’angle B’C'D'=.BCD ; on prend CD' égal à une quatrième proportionnelle aux côtés AB, A'B', CD, et on continue ainsi de suite.

Ces quatrièmes proportionnelles pourront s’obtenir très-rapidement au moyen du compas de réduction (901). Ayant disposé l’axe de ce compas de manière que l’une des ouvertures étant égale à AB, l’autre soit égale à A'B', suivant que l’on fera la première ouverture égale à BC, CD...., la seconde sera égale à B'C', CD'....

En disposant A'B' parallèlement à AB, les angles B1, C'.... égaux respectivement à B, C.... se construisent très-rapidement en menant avec l’équerre BC', CD'.... respectivement parallèles à BC, CD.... (911).

2* construction. On peut éviter la construction des angles égaux et des quatrièmes proportionnelles. Pour cela, après avoir décomposé le polygone ABCDE en triangles, on dispose A'B' parallèlement à AB ; on mène avec l’équerre B C' et A'C' parallèles respectivement à BC et AC; ce qui détermine le triangle A’B'C' semblable au triangle ABC. Menant ensuite C'D' et AD' parallèlement à CD et AD, on a le deuxième triangle A'CD' semblable à ACD. Continuant ainsi de suite, on obtient le polygone A'B'CD'E' qui est bien semblable à celui ABCDE (615).

y construction. Prenant sur AB, à partir de A, une longueur égale à A'B'; menant par le point que l’on obtient une parallèle à BC; puis par le point de rencontre de cette parallèle avec la diagonale AC, une parallèle à CD, et continuant ainsi de suite, on obtient, intérieurement au polygone donné, un polygone qui lui est semblable.

4* construction. Quelquefois, surtout quand l’on veut tracer sur le papier un polygone semblable à un polygone figuré par un terrain, on détermine les sommets C', D', E', en les considérant comme les sommets de triangles ayant tous A'B' pour base, et qui sont semblables aux triangles homologues du polygone donné.

924. Trouver la plus grande commune mesure de deux droites commensurables données AB et CD (206). On applique la règle du n” 99 pour déterminer le plus grand commun diviseur de deux nombres. Ainsi l’on porte la plus petite ligne CD sur la plus grande autant de fois que cela est possible; on trouve une fois plus un reste EBcCD; on porte ensuite EB sur CD, deux fois plus FD < EB ; puis lo reste FD sur EB, et comme il y est contenu trois fois exactement , c’est que FD est la plus grande commune mesure cherchée.

Fig. ui.

On a :

'~~r~Vn EB=3FD’