POLYGONES RÉGULIERS
920. Inscrire un carré dans un cercle donné . On mène deux diamètres AC, BD perpendiculaires entre eux, et joignant les extrémités de ces diamètres, on obtient le carré inscrit ABCD (657).
L’usage de l’équerre à 65" (903) permet de résoudre très-rapidement ce problème. En effet , plaçant une équerre au-dessous de la circonférence, une équerre à 65* appuyée par un côté de l’angle droit contre la première permettra de tracer avec son hypoténuse les diamètres AC, BD (il suffit, après avoir tracé l’un de ces diamètres, de retourner l’équerre pour pouvoir tracer l’autre) ; avec le second côté de l’angle droit on mènera AD et BC ; puis, appuyant
Fig. 143.
Fig. 142.
l’HOBLÈMKS.
l'équerre à 45° eu dessous de la première, ou fera monter celle-ci pour tracer AB et DC.
i»27. Construire un carré dont le côté est donné. Avec une première équerre on trace une droite AB égale au côté donné; on fait, pour la facilité de la construction, descendre un peu cette équerre parallèlement àelle-môme, en la faisant glisser contre une équerre placée dessous ; puis, avec l’équerre à A 5% on termine la figure en opérant comme ci-dessus. Gomme vérification, la circonférence décrite du point O comme centre, avec OA pour rayon, doit passer par les trois autres sommets B, C, D.
028. Inscrire un octogone régulier dans un cercle donné. Ayant inscrit un carré ABCD dans le cercle (926). on divise en deux parties égales chacun des arcs sous-tendus par ses côtés (912), et joignant les points de division aux sommets voisins , on obtient l’octogone AEBFCGDH.
Si l’on avait eu l’octogone régulier inscrit, en joignant ses sommets do deux en deux, on aurait obtenu le carré.
Remarque. La marche précédente, par laquelle on inscrit un octogone régulier ayant un carré inscrit, permet, en général, étant donné un polygone régulier inscrit dans un cercle , d inscrire un polygone régulier de deux fois plus de côtés.
La marche par laquelleon a passé deloctogoneau carré permet aussi de passer dunpolygonerégulier inscrit dunnombrepair décotes plus grand que quatre, à un polygone régulier inscrit de deux fois moins de côtés.
Ainsi du carré inscrit on passera successivement aux polygones réguliers inscrits de 8, 16, 32... côtés, et réciproquement.
On peut inscrire un octogone régulier sans passer par le carré. Pour cela, avec une première équerre, on trace un diamètre H K ; on fait descendre cette équerre parallèlement à elle-même jusqu’au bas de la figure ; avec l’hypoténuse de l’équerre à h 5° on mène les diamètres AC, BL), et avec le côté de l’angle droit de cette môme équerre on trace EG ; puis, joignant les extrémités des quatre diamètres obtenus, on a l’octogone demandé.
Tracer un octogone régulier dont le côté soit égal à une droite donnée. On décrit une circonférence d’un rayon quelconque OA ; dans cette circonférence on inscrit un octogone régulier (928), ou simplement un côté AB de cet octogone; par un point I, pris sur l’un des rayons OA,OB ou sur son prolongement, on mène IL parallèle à AB; on prend IL = A; on mène La parallèle à OB; du point O comme centre, avec Oa pour rayon, on décrit une circonférence, et l’octogono abed... inscrit dans cette circonférence satisfait à l’énoncé.
Fig. IM.
IS
Cette construction est applicable & tous les polygones réguliers que l’on peut géométriquement inscrire dans un cercle donné; mais elle se simplifie pourbeaucoup de polygones. Ainsi, pourl’octogone, après avoir mené les droites OA, OB inclinés à 45% on prendra OA— OU; par un point i on mènera 1b parallèle à AB, et on terminera la construction comme ci-dessus.
1)50. Inscrire un hexagone régulier dans un cercle donné. Le rayon étant égal au côté de l'hexagone régulier inscrit (672), en portant comme corde sur la circonférence une ouverture de compas égale an rayon, et joignant les 6 points de division, on obtiendra l'hexagone demandé ABCDEF, c En faisant usage de l’équerre à hexagones (903), on peut inscrire un hexagone en opérant comme pour inscrire un octogone avec l'équerre à 45° (928). Ainsi, avec une équerre, on mène le diamètre FC ; on fait glisser cette équerre parallèlement à elle-même jusqu’au bas de la figure; avec l’équerre à hexagones, dont on applique, le petit côté de l’angle droit contre la première équerre, on trace deux diamètres AD, BE. On peut alors joindre les extrémités des trois diamètres pour avoir l’hexagone; mais, remarquant que chaque diamètre est parallèle à deux côtés de l’hexagone, on trace ces côtés en faisant glisser d’une quantité convenable l’équerre qui a servi à tracer le diamètre. C’est par ce moyen très- expéditif que l’on trace les écrous dans les dessins de machines.
051. Construire un hexagone régulier ayant pour côté une droite donnée. On décrit un cercle avec cette droite pour rayon, et l’hexagone inscrit dans ce cercle satisfait à l’énoncé.
052. Inscrire un triangle équilatéral dans un cercle donné. On inscrit d’abord un hexagone, et joignant les sommets de deux en deux, on obtient le triangle demandé ACE [fig. 145).
055. Construire un triangle équilatéral dont le côté est égal à une droite donnée. On opère comme au n" 908, en faisant chaque côté égal à la droite donnée.
On peut aussi faire usage de l’équerre à iiexagones pour tracer le triangle équilatéral , l’angle de ce triangle étant égal au plus grand angle aigu de cette équerre.
Ayant inscrit un hexagone ou un triangle équilatéral, on pourra inscrire successivement des polygones réguliers de 12, 24, 48... côtés, et réciproquement, eu opérant comme il a été indiqué au n" 928.
rRORI.fiMKH,
934, Inscrire dans un cercle donné : 1" un décagone régulier ; 2" un pentagone régulier ; 3" un penlédécagone régulier ; U" un polygone, régulier de 30 côtés (544'. ? . 1” AB étant le côté du décagone, l’angle au
\ / \ / centre O = — = 36°. Menant la bissectrice AU
V V ’ÿ de l’angle A, on a (617)
oa:og=ab;gb.
Comme OA=OB et*AB = AG = OG, on a donc
ob:og=og:gb.
• Ce qui montre que le côté AB est égal au grand segment OG du rayon OB divisé en moyenne et extrême raison (922).
Pour déterminer le côté du décagone, on mène deux rayons OA, OB perpendiculaires entre eux; sur OB comme dia- Kis- <«• mètre on décrit une circonférence, on joint
AO', et AD=AC est le côté du décagone. En portant AD comme corde sur la circonférence, et joignant les points que l’on obtiendra, on aura le décagone demandé.
T F.n joignant de deux en deux les sommes du décagone régulier inscrit, on aura le pentagone régulier.
3” La différence des arcs sous-tendus par les côtés de l’hexagone et du décagone réguliers
étant - — — = -r de la circonférence, la corde 6 10 15
qui sous-teud cette, différence est le côté du pentédéeagone. Ayaut le oôté, en le portant comme corde sur la circonléreuce, on construira le polygone.
û° Ayant - — 5 , l’on voit que le côté du polygone régulier
inscrit de 30 côtés est la corde qui sous-tend l’arc qui est la différence des arcs sous-tendus par les côtés du pentagone et de l’hexagone réguliers inscrits.
93i{. Pour inscrire dans un cercle un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés, on divise la circonférence en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés (019), et joignant les points de division ou a le polygone demandé.
Remarque. Pour construire un polygone régulier quelconque dont
le côté est donné, on suit une marche analogue à celle indiquée au n° 929 pour l’octogone régulier.
95(5. Circonscrire un polygone régulier à un cercle donné. On inscrit dans le cercle un polygone régulier ABC... d’un môme nombre de côtés, et par les milieux des arcs sous-tendus menant des tangentes, elles formeront le polygone demandé AUC'... Remarquant que les tangentes sont parallèles aux côtés du polygone inscrit, on voit qu’en faisant usage de l’équerre la construction devient très-simple.
957. Coicvrir une surface plane avec des polygones réguliers. La somme des angles que l’on peut former autour du même point dans, un pian étant égale à U droits ou 360" (528; , tout polygone régulier dont l’angle sera contenu un nombre entier de fois dans li droits peut être employé pour couvrir une surface plane (565).
On peut donc à cet effet faire usage :
1" Du triangle équilatéral , dont l’angle
= ij = ^ de droit {fig. 150);
2” Du carré, dont l’angle de droit (fig. 151);
3" De l’hexagone régulier, dont l’angle
= ~-=l de droit (Jig. 152).
L’angle de l’octogone régulier étant égal à 2x6 3
—5— de droit, il n’est pas contenu un
nombre entier de fois dans U droits, et par suite on ne peut employer l’octogone; mais en combinant ce polygone avec le carré, de manière que deux angles de l’octogone et un angle du carré aient le même sommet, ce qui donne ^ x 2 + 1 =U droits, on parvient à couvrir la surface {fig. 153).
Ces dispositions sont employées journellement par les carreleurs.
