RELATIONS ENTRE LES EXPRESSIONS TRIGONOMÉTRIE LES
composée d’une infinité de lignes droites (505), cette dernière expression lui est encore applicable.
Remarque 2. a' étant l’angle que forme AC avec une parallèle à Or menée par l’extrémité A, et non par C, dans le cas de la figure 172, il est compris entre 270* et 36G“ ; a" étant l’angle qui forme CD avec une parallèle à Or menée par l’extrémité C , il est compris entre 90" et 180” ; a'" est compris entre 0° et 90".
FORMULES EXPRIMANT LES RELATIONS ENTRE LES EXPRESSIONS TRIGONOMÉTRIQUES.
081. Relations entre les expressions trigonométriques d’un même angle ou d'un même arc a.
On a (964) :
1” sin* — '~, d’où y = rsinz ;
et cos a = - , d’où x — rcosa..
Substituant ces valeurs de y et de x dans l’équation
11 vient r* «n’«+ r1 cof’a = r’ ,
ou jtn*a + «m5» = 1 ;
d’où l’on tire
jin a = ± v^l — COI* a et coî« = ±v'l-m,«i
y rrin* sin a
2" lang
d’où
et
tang a = tang « =
sin a
± yl — sin* «
± y'1 — cos *x cos a
OU
ou
tanq a
sin a = - —
± y'i + long* a
cos a — . i, . . j- »
±yl + tang*<x
x rcosu cos a.
3” colanga=-=77^ = 7l—-
Ainsi cotang a = ou tang « = c0Jn?a î
dt \li — sin* a 1 ...... .
d’où cotang « = ^ ou ± ^ + cotang, a .
stnoL
cosol
et cotang a
OU cos a =
cotang a
± V 1 + cotang ! a ’
» ;• sec oc — -
= OU cos oc == —j — .
rca? a co$ a $eca
seca =
ou
sina =
— y^vt'c* a — i
a = * - = it + tan#* a ou tan <7 a = rt y'f ec* a — 1 1
co^ a
— = ±y/l cota"'^ ou cotanga= ~ L — ; COJ a cotanga ±ysec*a — 1
, r r 5 casec a = - =
cojéc a —
y r «na jtn a
OU sin a :
OU cosa =
cosec a
dz^coséc' a — 1 cof éc a ’
± \1 — COJ* a
COJCC a = -4— = ~ ^ . * OU ian9 * — — -v — ■ ,
sin a Cany a zfc y coj^c* a — 1
coiéca = -; — — ±^l + cotang,a ou colang a — ±\/cosécia — 1,
coseca =
s ma
Sin a y'.vt'c1 a — 1
OU sec a —
± \Jcosi:c'a — i
982. Relations entre les expressions trigonométriques de deux angles onde deux arcs égaux et de signes contraires a et — a.
Pour une même valeur de r, les droites faisant avec Ox les angles a et — a donneront (963) :
1” Pour y, deux valeurs y et — y égales et de signes contraires; par conséquent les sinus ^ et — ^ (966) seront égaux et de signes contraires ; donc
sin ( — a) = — sin a.
Ainsi, deux angles égaux et de signes contraires ont des sinus égaux, mais de signes contraires;
2° Pour x, les deux valeurs seront de même signe ; par conséquent
les deux cosinus seront ensemble ou + - ou — - ; donc cos[ — a) =. cof a.
Ainsi , deux angles égaux et de signes contraires ont même cosinus, 3» Do ce que les valeurs de x sont égales et de même signe , tandis que celles de y sont égales et de signes contraires , il en résulte que les
tangentes ^ et — - sont toujours égales et de signes contraires; donc X x
tang ( — a ) = — tang a>
RELATIONS ENTRE LES EXPRESSIONS TK1GONOMÊTRIQUES. 357
Ainsi, deux angles égaux et de signes contraires ont des tangentes égales , mais de signes contraires.
Des raisonnements analogues font voir que l’on a :
4* cosêc ( — a) = — cosèc a ;
6° sèc( — a)=séc a;
6” cotang( — «)= — cotanga.
5)83. Relations entre les expressions trigonométrùjues de deux angles ou de deux arcs complémentaires, c’est-à-dire dont la somme a + a' = 90“.
Soit a — uOx et a =uOy.
y et x étant les coordonnées du point M, et r étant le rayon OM,
On a pour l’angle a (981)
O q ou y=rsina, et Op OU x=rcosa.
Au contraire, pour l’angle positif les mômes valeurs de y et x donnent
y = rcosa' et x=rsina.
Égalant ces deux valeurs de y et ces deux valeurs de x, on a, en supprimant r, commun aux deux membres de chaque équation,
sin a = cos a' et cosa — sina'.
Divisant membre à membre ces deux équations, on a
Fig. 175.
OJ-lT
sin a cos a'
cos a ««a'*.
c’est-à-dire (2°, 981)
tanga
tanga'
ou tang a tang a' = 1.
Ou a aussi (3°, 981)
tang a = cotang a'.
Ainsi, les angles a et a' étant complémentaires , les sinus, cosinus et tangente de l'un sont respectivement égaux aux cosinus, sinus et cotangente de l'autre. C’est ce que l’on vérifie facilement sur la figure 175 (972).
984. Relations entre les expressions trigonométriques de deux angles ou de deux arcs dont la différence a — a' Fig. 178. =90“.
Admettant la définition que deux angles sont complémentaires lorsque leur somme algébrique est égale à un droit, ce cas rentre dans le précédent, en considérant a' comme négatif.
Soit M'Ox=«' le plus petit des deux angles et MOx=a le plus grand. Ces angles étant comptés dans le sens positif et à partir de la même direction Or, l’angle MOM'=a— a'.
D’après la relation qui existe entre a et a', quelles que soient du reste les valeurs de ces angles, MOM' est toujours droit; d'où il résulte que les triangles rectangles MOp, M'Op' sont égaux, et on a, en valeurs absolues, M p ou y = Op' ou x1, et O p ou x=M’p' ou y'.
Remarquant maintenant que y et sont toujours de môme signe et x et y' de signes contraires, quelles que soient les valeurs de a et a', c’est-à-dire quelle que soit la position de l’angle droit MOM' autour du point O, ce que l’on peut vérifier sur la figure pour les positions MOM', M,OM', , M,OM's, qui renferment toutes les autres, il en résulte
que l’on a
y — x' et x= — y'.
Remplaçant, comme au n* précédent, y, x, y' et x' par leurs valeurs posées au n° 98i, on conclut
sin a = eos a' et cos a. — — s in a'.
Ainsi, pour deux angles dont la différence mut un droit, le sinus (lu plus grand est égal au cosinus du plus petit, et a le même signe, et son cosinus est égal au sinus de ce dernier, mais de signe contraire. Divisant membre à membre ces deux équations on a
sin a cos u'
cos si sin a'*
d’où on déduit, d’après les mêmes équations qu’au n° précédent,
tang a =
iany a' ’
tangstangJ — — 1 et tangu= — cotang a'.
■Application. Quels sont le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle de 165°?
La relation a — a' =90° devient 165“ — a' =90°, d’où a' = 165“ — 90“ =75”.
RELATIONS ENTRE LES EXPRESSIONS TR ÎGONOSÉTR IQl'ES . 259
La table du n" 1011 donnant cos 76* = 0,25882, sin 75" = 0,96593 et rotang 75°=0, 26795, on adonc sin 165“=0, 25882, cos 165“ =—0,96593 et tang 165° = — 0,26795.
903. Relations entre les express ions trigonomélrigues de deux angles ou de deux arcs arfbet celles de lew somme [a + 6).
Soit ?nOA — fi, MO m—a et par suite MOA = (a+ fi).
Cherchons d’abord les relations qui existent entre les coordonnées MQ=Y, OQ=X, et celles OP=x' et MP=y' du même point M par rapport aux deux systèmes d’axes rectangulaires x, y et ■x', y'.
Y étant la projection sur O y du chemin OPM, et X étant celle du même chemin sur Or, on a (980) :
Fig. 177.
Y =x' cos PO y + y' cos P60, X = x“ cos b + y' cos Mcx.
L’angle Mez = yVx, dont l’excès sur un droit est égal à x'Ox ou fi; donc
cos Mcj= — sin fi.
Relation qui existe quelle que soit la position du point M, c’est-à-dire quelles que soient les valeurs de a et 6. C’est ce que l’on peut vérifier en faisant la figure.
L’angle POy a pour complément l’angle fi; donc
cos PO y = sin fi. (983)
Cette relation est vraie quelle que soit la valeur de fi; car quand cet angle est obtus, son excès sur un droit est égal à TOy, et on a bien encore
cos PO y = sin fi. (985)
L’angle P60= 6 (551); donc
cos P60= cos fi.
Substituant ces valeurs de cos Mcx, cos POy et cor P 60 dans colles de X et Y, on a
Y=z' «n b+y' cos b X= cos b — y' sin fi.
Comme on a(981)
Y z=r sin (o + fi), X—r cos (a + fi), y'= r sin a, x' — r cos a,
les équations précédentes reviennent donc à
rsin(a + b) = r cos a sin b + r sin a cos b, rcos(a+b ) = r cosacosb — rsinasinb.
ou, en supprimant r,
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb, (1)
cos (a + b) — cos a cos b — sin a sinb. (2)
iang (a + b) =
sin (a -f 6) sinacosb + cosasinb
cos(a + b ) cosacosb — sinasinb
Divisant les deux termes de cette valeur par cosacosb, on a, en remarquant encore que le sinus divisé par le cosinus donne la tangente :
lang (a + b)
tang a + iang b 1 — tanga tang b’
986. Expressions trigonométriques de la différence (a — 6) de deux angles a et b en fonction de celles de ces angles. En conservant à b la même valeur, si dans les formules (1) et (2) du n” précédent on fait (a + 6) = o et par suite a=(a—b), elles deviennent
sina = sin (a — b)cosb + «w(a — b) sinb, (1)
cosa=cos(a — b)cosb — sin (a — b)sinb. (2)
De l’équation (2) on tire (4Z i7)
. cosa ... sinb ...
cos la — b)— r + sm (a — b) T. (3)
4 ‘ cos b ' ' cos b
Substituant cette valeur dans l’équation (1), il vient, en isolant sin (a — b),
. , ,, ( , , sin,b\ . cosasinb ...
stn[a — b) C0i6+ r ) = sm a r — . (4)
\ cos b J cos b
Comme on a (4% n* 445)
cos b
sin' b cos* b + sin* b
cosb~ cosb cos b' substituant cette valeur dans l’éqnation (4), il vient sin (a — b) sin a cos b — cos a sin b
c’est-à-dire
cosb
cosb
sin(a — b) = sinacosb — cosasinb.
Substituant cette valeur de sin [a— b) dans l’équation (3), on en conclut
RELATIONS ENTRE LES EXPRESSIONS TRIGONOMÉTRIQCES. cor(a — b) = cosacosb + sinasinb.
Comme au n° précédent, on peut poser
tang (a — b)
sin (a — b) sin a cos b — cosasinb
cos{a — b) ~ cos acos b 4- sinasinb'
d’où , en divisant les deux termes de cette valeur par cos a cos b ,
. . tanga — tang b
tang (a — b) = — — ^ , 3 ..
1 + tang a tang b
087. Relations entre les expressions trigonométriques d'un angle a et celles dun angle double 2a.
Faisant b — a dans les valeurs de sin (a + b) , cos {a + b) et tang (a + b) (985) , on a:
1* sin (a + b) = sini a ~sin a cos a + cos asina,
c’est-à-dire
sin2a — 2sinarosa; (a)
2* cos (a + b)= cos 2 a = cos*a — si/Pa (1)
comme on a (981) , cos*a = 1 — sin* a
Substituant cette valeur dans l’équation (1), elle donne
cojr2a = l — 2 sin* a. (6)
Si , au lieu d’éliminer cos'a de l’équation (1), on avait éliminé sin'a, on aurait obtenu
cos2az=2cos*a — l;j (br)
3” tang (a + 6) = tang 2 a = M
980. Relations entre les expressions trigonométriques dun angle a et celle dun angle moitié ^ a.
Remplaçant 2a par a, et par suite a par ^ a dans les formules du n° précédent :
1° La formule (a) donne
sma = 2sm - acos ^ a;
et la formule (6),
cos a = 1 — 2 sin * | a,
d’où (à87) sin ^ a = ± y/ ;
2° La formule (6) donne
cosa = 2 roj1 - a — > 1 ,
d’où
co*|a = ±y/ï
+ cos a.
3° La formule (c) devient
tang a =
2 tang ^ a 1— tan g* |a
ce qui revient à l'équation du second degré
,an9'\a+ iàratan9ïa=u
d’où on tire (488)
tan9 \a = -tïk~a ±\/iJ^l + 1 = tunga{~1^ + ^
On au aussi (981)
sxn - a
fang-a:
cos g a
Jn » / 1 — cos a
i~ V 1 +coj a'
989. Pour avoir les expressions irigonométriques de 3a en fonction de celles de a, il suffit de faire b = 2a dans les formules (1) (2) (3) n" 985, ce qui donne
sin 3 a = sin a cos ‘la -f cos asinla, cos 3 a = cos a cos 2 a — sin a sin 2a.
Remplaçant sin 2 a et cos la par leurs valeurs (a) et (b) n° 987, et simplifiant à l’aide de la relation sin* a -f- cos' a — 1 , ces formules deviennent
sin Sa ^=3 sin a — b sin* a. (1)
cos 3a = beos* a — 3 rasa. (2)
999. En faisant de même b = 3a, puis b = Ua, et ainsi de suite, dans les formules du n° 985 , on arriverait aux relations qui existent entre les expressions irigonométriques d'un multiple quelconque de a et celles de a.
RELATIONS ENTRE LES EXPRESSIONS TRtGONORtTHIQUES. 263
991. En changeant a en - a, les formules (1) et (2) du n° 989 donnent
sina — 3sin J a — U sin1 ^ a, u 3
cosa= kcos* | a — 3 cos * a;
formules exprimant les relations qui existent entre Les sinus et cosinus d'un angle triple d'un autre et les sinus et cosinus de ce dernier.
992. Autres relations entre les exjmessions f rigonomêlriques , fréquemment employées dans les applications.
1" En combinant par addition et soustraction les valeurs des sinus et cosinus de (a + b) et (a — b) (985 et 986), on obtient
2sinacosb=sin[a + b) +sin(a — b),
2 cos a sin b — sin (a + b) — sin (a — b), ücosacos b=cos(a — b) + cos (a + b),
2xinasinb=cos (a — b) — Cos(a -f 6);
formules servant à transformer le jrroduit de deux erpressions trigonométriques en une somme ou une différence.
2° Faisant dans les formules précédentes (a -f b) —p et (a — b) = q, 1 1
d'où (456) a = = (p + q) et b + ÿ — elles deviennent
sinp+sinq — isin ^ (p+q)cos ^ (p—q ),
sin p — sin q=2 cos ÿ ( p+q)sin ^ (p—q),
cosp + cosq=2cos ^ ( p + q)cos (p — q), cos q — cosp = 2 sin ^ ( p + q)sin ^ (p — q),
formules d'un fréquent usage , surtout dans le calcul logarithmique , pour changer une somme ou une différence en un produit.
3° Enfin, ces dernières formules donnent par division, et en remar-
quant que Si = la,,,J {981)
sinp + sin q fin p — sinq
«« 2 (p + q)cos - (p—q) tang ^(]>+q)
cos^(p + q)sin ^(p—q) tang -(p—q)
fin p + fin q cos p + co s q
*in 2 (P +?) 4
1 = tang ^ (p + q),
cos j (P + 9)
sinp +sinq cosq — cosp
cos -(p—q) l
{ = cot | (p—q),
fin ^ (P — q)
sinp — sinq cosp+ cosq
sinp — sinq cosq — cosp
| CP — 9) COS^(p-q)
COS | (p + q) sin | (p + q)
tang- [p—q).
cd^(p + q).
cos p+ cosq cosq — cosp
cos -(p+q) cos -(p—q)
j — — j = cot-(p + q ) cot -(p—q).
sin - (p+q) sin - (p—q)
La première de ces formules fait voir le résultat remarquable , que la somme, des sinrn de deux angles est à leur différence comme la tangente de la demi-somme de ces angles est à la tangente de leur demidfférence.
