EXPRESSIONS TRIGONOMÉTRIQUES. LEUR USAGE
du cosinus de 180 — 125 = 55° (1011), qui est aussi celle de sin 35" ; sa valeur algébrique est donc — 0,57358 (n“ 968). •
Règle générale. Quand on a à déterminer la valeur d'une expression trigonométrique d’un angle compris entre 90“ et 180°, on prend cette valeur pour le supplément de l’angle, et en lui donnant le signe qui convient à l’angle proposé (968) on a le résultat cherché. Dans la pratique on n’a guère à. considérer que des angles moindres que deux droits; du reste, pour les angles supérieurs à cette limite, il n’y aurait pas plus de difficultés.
973. Disposition des tables trigonométriques. Dans les applications on ne fait guère usage que des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes ; aussi les tables dressées ne contiennent-elles que les valeurs de ces expressions trigonométriques.
En donnant deux entrées à ces tables, comme dans celle du n" 1011, qui contient les valeurs de ces expressions trigonométriques de minute en minute, on obtient directement les expressions trigonométriques des angles et de leurs compléments jusqu’à 90°; au lieu qu’avec une seule entrée on ne les aurait eu directement que jusqu’à 45".
L’entrée par les premières lignes horizontales et verticales fournit les valeurs des expressions trigonométriques pour les angles de 0 à 45°, et l’entrée par les dernières ligues horizontales et verticales les donne pour les angles de 90“ à à 5".
Do cette double entrée, il résulte que chacun des nombres de la deuxième colonne verticale est à la fois le sinus de l’angle indiqué dans la première colonne verticale, et le cosinus de l’angle indiqué dans la dernière colonne verticale ; ce qui devait être, ces deux angles étant complémentaires (972). De même, un nombre quelconque 0,80902 de la troisième colonne verticale est à la fois le cosinus de l’angle de 36°, désigné à la première colonne verticale, et le sinus do l’angle complémentaire 53“ 60'= 54', désigné à la dernière colonne verticale. Les colonnes verticales 4 et 5 fournissent des résultats analogues pour les tangentes et cotangentes.
Les tables ordinaires, au lieu de contenir les valeurs naturelles des expressions trigonométriques, contiennent les logarithmes de ces grandeurs; de plus, afin d’éviter les logarithmes négatifs (377), on a pris leurs compléments (378), c’est-à-dire qu’on les a augmentés de 10 unités, ce qui équivaut à multiplier les valeurs des expressions trigonométriques par l’unité suivie de 10 zéros (375).
Pour faire usage de ces tables, on commence par diminuer la caractéristique du logarithme d’un nombre d’unités seulement suffisant pour que la nouvelle caractéristique se trouve dans la table de* logarithmes que l’on a à sa disposition ; le nombre correspondant au nouveau logarithme, divisé par l’unité suivie d’un nombre de zéros égal à 10 moins le nombre des unités retranchées de la caractéristique, est la valeur de
quatrième partir. — trigonométrie.
l’expression trigonométrlque cherchée (381). On trouverait ainsi que tsin 65“ = 0,90631 et que cos 55" = 0,57358.
074. Fixer la position d'une droite dans Pespace. Nous venons de voir comment, à l'aide des expressions trigonométriques, on fixe la direction et le sens, c’està-dire la position d'une droite dans un des plans coordonnés. Examinons maintenant le cas où la droite est située hors de ces plans.
Supposons toujours les plans rectangulaires entre eux, et ayant pour origine l’extrémité O de la droite Ou, dont le sens est Ou. La position de ia droite sera déterminée quand on connaîtra les valeurs algébriques des coordonnées x, y, z d’un point M situé à la distance quelconque + OM = r de l'origine (960). Cette position sera donc déterminée quand on connaîtra
* » Qui prennent les signes de x, y et z; car r étant
toujours positif, en lui donnant une valeur quelconque, on en déduira les valeurs algébriques correspondantes de x, y et z.
Désignons par «, p et y les angles que fait Ou avec les axes respectifs Ox, O y, Oz. M/j étant perpendiculaire à Ojt (68i), O/j est l’abscisse x du point M, et, dans le plan uOx, on a
les rapports
Op
OM
cos *.
On a de même dans les plans uOy et uOz
— =r cos 3 et - = cos r.
Ce qui fait voir que connaissant les cosinus des angles que fait la droite avec les axes, on connaît les rapports algébriques^, | , *,et par suite la direction et le sens de la droite.
9715. On a a* + y* 4- z* = OM *= r* ; (960)
par suite £ + ÿl + £ = l.
c’est-à-di re cos * a + cos ' p cos * y = 1. (a)
Ce qui fait voir la propriété remarquable, que la somme des carrés des cosinus des angles que fait une droite avec trois axes rectangulaires est égale à l'unité.
NOTIONS SUR LES PROJECTIONS D’UNE LIGNE
Remarque 1. Cette relation montre que l’on ne peut pas choisir arbitrairement les cosinus des angles, et par suite les angles que doit faire une droite avec trois axes rectangulaires ; mais qu’en se donnant, avec leurs signes, les cosinus des angles que doit faire la droite avec deux des axes, et le signe du cosinus de l’angle qu’elie doit faire avec le troisième, on peut de l’équation (a) déduire ce troisième cosinus, et par suite fixer la position de la droite.
Remarque 2. Donner le cosinus de l’angle que fait la droite avec un axe, revient à faire connaître une nappe conique de révolution ayant pour axe l’axe donné, et sur laquelle se trouve la droite. Donnant deux cosinus, c’est que la droite est l’une des deux génératrices intersections de deux nappes coniques ; comme l’une de ces génératrices fait un angle aigu avec le troisième axe, tandis que l’autre fait un angle obtus, donner le signe du cosinus de l’angle que fait la droite avec le troisième axe, c’est désigner celle des deux génératrices qui satisfait à l’énoncé.
Remarque 3. Si la droite était dans le plan de deux axes, la formule (a) deviendrait
cos * * + cos 1 (3 = 1 (959)
NOTIONS SUR LES PROJECTIONS D’UNE LIGNE
979. Une droite ayant deux sens (503), la longueur d’une droite finie prendra le signe + ou le signe — , suivant qu’il s’agira de l’un ou de l'autre sens de la droite.
Lorsque l’on considère une droite indépendamment d’aucun axe, on peut indifféremment adopter comme positif l’un quelconque de ses sens , l’autre sens est négatif. Mais lorsque la droite est considérée par rapport à un système d’axes , le signe à donner à chaque sens de la droite est indiqué par les signes des sens correspondants des axes.
Le sens de la projection d'une droite sur un axe est , comme pour la droite, indiqué par l’ordre des lettres de deux de ses points , et le signe de chacun des sens de cette projection est indiqué par ceux des mêmes sens de l’axe (957).
Pour fixer les idées , la longueur absolue de la droite M'M’' ou M"M' étant de 30” , la valeur algébrique de M'M" est + 30”, et celle de M 'M' est — 30n. De même, la valeur absolue de la projection p'p" ou p"p' de M'M" sur l’axe Ox étant de 22", la valeur algébrique de p'p" est +22”, et celle de p"p' est — 22”.
977. Expression algébrique de la projection d'une droite sur un axe. Ayant O p" = x", abscisse du point M", et Op' = x', abscisse du point M', il en résulte que l’on a
Fig. 171.
osie
p'p" = + (!" — X1), et p"p' = — (x" — lO.
On aurait des expressions analogues pour les projections sur chacun des autres axes O y et Oz.
Ces expressions s'appliquent aux cas où les valeurs de x' et de x" sont de signes contraires , comme à ceux où elles ont même signe ; seulement , il faut affecter x' et x" des signes qui leur conviennent : ainsi les valeurs de x' et de x" étant négatives, ce qui a lieu quand M' et M" sont à gauche du plan des y, z, on a
p'p" = + [— x» - (- x')] = + (— x" + af) ,
a x' est négatif et x" positif, les formules établies comme précédemment donnent
P"P‘ = - [+ x"- (— xO] = — (x" + x').
978. Relation entre une droite et ses projections (980). Si par le point M' ( fig . 171) on menait des axes parallèles aux premiers, les projections de M'M" sur ces nouveaux axes seraient respectivement égales aux projections sur les premiers; de plus , ces projections seraient les coordonnées du point M". Alors, les axes étant rectangulaires, appelant u la longueur de M'M", on pourra appliquer la formule du n° 960, et poser
u* =(x"-xr + ( y" - y')‘ + (z" - z)«.
Dans le cas où l’une des projections est nulle , ce qui arrive quand la droite est située dans l’un des plans coordonnés ou parallèle à ce plan , la formule précédente devient , en supposant que c’est par rapport au plan desx, y que la droite jouit de ces propriétés.
Formule identique à celle du n° 959, et que l’on peut établir comme la formule générale précédente , en supposant la droite située dans le plan de deux axes déterminés.
Si la droite était à la fois dans deux plans coordonnés, x, y et x, z par exemple, ou parallèle à ces plans, elle se confondrait avec l’axe des x ou lui serait parallèle. Alors elle se projetterait en véritable grandeur sur cet axe , tandis que ses projections sur yy' et zz' seraient nulles , et la formule précédente deviendrait
= 'x" — x')1 ou u = x" — x'.
Formule qui n’est autre que celle du n° 977.
NOTIONS SUR LES PROJECTIONS D’UNE LIGNE
979. La somme algébrique des projections des diverses portions droites d'une ligne brisée ACDE sur un axe quelconque , c'est-à-dire la projection de cette ligne brisée sur taxe, est égale à la projection sur le même axe de la droite AE qui joint les extrémités de la ligne (980).
xi étant l’abscisse du point A, x" celle des points B et D, xi' celle du point C , et x” celle du point E , on a successivement (977) :
Projection de AB=x" — x',
Id. de BC=x"' — x",
Id. de CD = x" — x'"
ld. de DE = x" — x".
Faisant la somme de toutes ces projections , on a , en réduisant (399) :
Projection de ACDE-=x'* — x'.
Ce qui n’est autre chose que la projection de la droite AE qui joint les extrémités de la ligne brisée.
Remarque. Considérant une ligne courbe comme étant une ligne brisée dont les éléments sont infiniment petits (505), il en résulte que ce qui précède s'applique à une ligne quelconque.
980. Projection d'une droite et en général d'une ligne quelconque sur un axe, en fonction des expressions trigonométriques (977).
1* Soit une droite M'M" située dans le pian x, y m- et ayant son extrémité M' située à l’origine des
axes. On a (96û) , en représentant par u la longueur de M'M", par P, et P, les projections M'p et M'y de la droite sur les axes, et en remarquant
que ces projections ne sont autre chose que les
\p T coordonnées du point M" :
< COS a ,
et
*sm o;
d’où
P« = u cos a , et
Py — usin u.
2° Ces expressions s'appliquent également au cas où la droite M'M" étant dans le plan x\ y\ l'extrémité M' n’est pas à l’origine.
En effet , les angles a et p que fait M’M" avec ces axes étant les mêmes qu’avec les axes parallèles M'x et M'y, comme de plus les projections x" — x' et y"— y’ sont respectivement égales à P* et Pv, on peut donc encore poser
x? — x’’=UC0sa, et y" — y' = usin*.
3” U reste encore à considérer le cas où M'M" n’est pas dans an même plan avec l’axe Ox.
Fig. 174. D’abord l’angle a que fait M’M" avec Oxest
égal à l’angle M"M'x' que fait cette droite avec l'axe Mx’ parallèle à Ox ; comme de plus la projection M'N de M'M" sur M'x' est égale à la projection p'p" = P, de cette même droite sur Ox, on peut donc encore poser
P i = urasa.
Ainsi, quelle que soit la position d’une droite par rapport à un axe, la valeur algébrique de sa projection sur cet axe est égale à la longueur absolue de la droite multipliée par le cosinus de l’angle positif que fout entre eux les sens positifs de la droite et de l’axe (957, 962).
Remarque. Nous avons dit (3*) que les projections M'N et p'p" étaient égales entre elles. En effet, les pespendiculaires M"N, M p' et M"p" menées aux axes étant dans les plans que l’on peut conduire par M' et M" perpendiculairement à la fois aux axes parallèles, comme ces plans couperaient les axes en M’, N, />' et p", et que des parallèles comprises entre plans parallèles sont égales, on a donc bien M'N —p'p". h’ Pour une ligne brisée ACDE ( fig. 172) , on a, en faisant AC = u'
CD = u" et en désignant para', a" les angles positifs que font
AC, CD..... avec Ox (3°) ,
Projection de AB = AB cos a' Id. de BC = BC cos a‘
, | dont la somme, c’est-à-dire
Projection de «' —u' cos a' Id. de lit' — u" cos a!'
Id. de u'" = u” cos a”'.
Faisant la somme de toutes ces projections, on a
x" — P — u' cos a' + m" cos a" + vT cos a”’.
x"—x' étant la projection du chemin direct AE (2°), on voit donc que la somme algébrique des produits de chacun des côtés d’un chemin polygonal , par le cosinus de l’angle que fait le côté avec un axe , est égale à la projection du chemin direct sur le même axe (979).
Représentant cette somme de produits par Eu cos a, par li la longueur du chemin direct, et par a l’angle que fait ce chemin direct avec l’axe , l’équation précédente devient
U «w a = Eu COJ a.
Remarque 1. Une ligne courbe pouvant être considérée comme étant
