CALCUL DES TABLES TRIGONOMÊTRIQUES

Fig. 178.

Supposant OM ou r=t, on a (966) Mp=«'na, Op = cosa, AT = tang a; soit de plus a la longueur de l’arc AM.

On a

a > sin a et a < tang a.

En effet sin a ou M p étant la moitié de la corde soutendant un arc double de l’arc a, on a bien

a > sma.

De plus, la surface du secteur OAM étant moindre que celle du triangle OAT, on a

^ OA x a< ^ OA X tang a;

d’où

a < tanga, ou (n°981)a<

co s a

Des inégalités (1) et (2), on tire respectivement

- — >1 et — < .

un a . sm a cos a

Ce qui fait voir que le rapport de la longueur de Parc au sinus est compris entre 1 et la quantité toujours plus grande que Vanité .

Or, comme à mesure que l’angle a diminue — décroît et s'approche de plus en plus de l’unité, dont il peut différer d’aussi peu que l’on veut, il en résulte que qui est plus petit que ^ ^ , en diffère encore moins et peut être considéré comme ayant l'unité pour limite.

T Des Inégalités

a < tang a et a > sin a ou a > tang a cos a, (981) on conclut

tanga

< t et

tang a

> cos a ;

ce qui fait voir que le rapport

tang a

, toujours plus grand que cos a ,

est compris entre 1 et cos a et a par conséquent Vunité pour limite.

3' Démontrons maintenant que la différence entre la longueur a de Parc et le sinus est moindre que le quart du cube de a.

266 QUAfRtfeM* PARTI*. — TRIGOROMÉTRI*.

sm 2 »

De l’inégalité (1°) ^ a < — — , on conclut

cos - a

.11 1 sin ^ a > 2 a cos § a*

Multipliant membre à membre cette inégalité par l’équation

sin a — 2 sin - a cos ^a, (988)

on a, en remarquant que le facteur commun sin - a disparaît,

sin a > a cos* - a f

ou

sin a > a ^1 — sin * ^ a^ ,

ou encore

sin «t > a — . tt«n* ^ a ,

d’où

a — Sin a < a sin* ^ a.

Multipliant membre à membre Cette jnègallté par celle sin ^ « < 2 a élevée au cabré t c’esb-ânllre par

on a bien, en supprimant le facteur commun sin* - a ,

- sm a <

Calculons quelle est cette limite d’erreur pour un angle de 10", qui est le plus petit des tables de Callet.

Le rayon étant 1, l’arc correspondant à 180° est

rr=K= 3,1415926 (666)

ét la longueur a de l’arc correspondant à 10" est (670)

d’où

CALCUL DBS TABLES TRIGOSOSIÉTBIQIES.

Ainsi, pour un angle de 10", en prenant l’arc pour le sinus, l’erreur est moindre que les trois dixièmes environ d’une unité décimale du treizième ordre. On peut donc poser, avec une erreur moindre qu’une unité décimale du treizième ordre, que l’on a

Avec le même degré d'exactitude, on peut tirer de la formule

cos 10"= rin*10", (981 )

cos 10"= 0,999 999 998 82 4 8.

4“ A l’aide des valeurs de sin 10", de cos lo" et des formules

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b 1

cos(a + b)—cosa cos b — sin a sin b j '

on peut calculer les sinus et cosinus de tous les angles de 10" en 10" jusqu’à 45".

On aurait la tangente et la cotangente de chacunde ces angles 4 l’aide des formules

. sin a . . cos a

tanna— et rotang a=— — . (981)

cos a ' sin a

5“ Les expressions trigonométriques des angles de 0° à 45” donnent , d’après ce qui a été dit n” 972 et 983, celles des angles de 45° à 90°. Enfin, ayant les expressions trigonométriques jusqu’à cette limite, celles des angles supérieurs s’obtiendront d’après ce qui a été dit n" 969.

On conçoit que cette manière de calculer les expressions trigonométriques est très-longue et pénible; on l’a simplifiée, en employant une autre marche, qu’il importe peu d’exposer ici, notre but n’étant pas de mettre à même de calculer des tables qui sont déjà établies aussi complètes que peuvent l’exiger les besoins de la pratique.

Comme, dans la pratique de l’ingénieur, on a ordinairement des degrés d’approximation suffisants, en supposant qu’un angle compris entre deux autres qui ne diffèrent entre eux d’une minute est égal à celui de ces derniers qui en approche le plus, nous n’avons donné dans notre table que les expressions trigonométriques des angles de minute en minute (1011). Dans le cas où on ne se contenterait pas de cette approximation, on déterminerait ce qu’il faut ajouter à l’expression trigonométrique do la table, en opérant d’une manière analogue au 2“ du n“ 380. En opérant comme au 3° du n“ 381, on déterminerait l’angle correspondant à une expression trigonométrique donnée qui ne se trouve pas dans la table.

PRINCIPES SUR LESQUELS S’APPUIE LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES RECTILIGNES.

904. Remarque. Pour abréger, nous désignerons, dans tout ce qui va suivre, les angles des triangles par les lettres A, B, C, placées à leurs sommets, et les côtés respectivement opposés à ces angles par les lettres a, b, c, que l’on écrit vers le milieu de ces côtés. Dans le cas où le triangle est rectangle, la lettre A désigne l’angle droit, et a l’hypoténuse.

9915. Théorème I. Dans foui triangle rectangle, chaque côlé de Cangle droit est égal à l'hypoténuse multipliée par le cosinus de Vangle adjacent.

b et c pouvant être considérés comme les projections de a sur leurs directions, on a

b=acos C et c=acos B (980)

De ce que les angles B et C sont complémentaires, on a cos C=sin B et cosB=sin C (983), et, par suite,

b = asin B et c = asin C.

Ainsi, dans tout triangle rectangle, chaque côté de Vangle droit est égal à l'hypoténuse multipliée par le cosinus de l'angle adjacent ou par le sinus de l'angle opposé.

Corollaire. I.es deux équations b=:asin B et c=a cos B donnent

b sin B , .... .

- = - = tan g B, (981)

c cos B * 1

d’où 6 = c tang B.

On a de même c=b tang C.

Comme on ztangB = cotQ. et tang C=cot B (983), on a donc aussi

b=c cote et c = b cot B.

Ainsi, dans tout triangle rectangle, chaque côté de rangle droit est égal à Vautre multiplié par la tangente de Vangle cqrposé au premier ou par la cotangente de l'angle adjacent.

99G. Théorème 2. Dans tout triangle rectiligne les sinus des angles sont entre eux comme les côtés opposés.

Du sommet C abaissant la perpendiculaire CD sur le côté c :

1" Dans le cas où cette perpendiculaire tombe sur le côté c , on a respectivement dans les triangles rectangles ADC et BDC,