RÉSOLUTION DES TRIANGLES RECTILIGNES

Égalant ces deux valeurs de CD, on a

bsink — asin B,

sin A : sin B = a : 6. (293)

2” Dans le cas où la perpendiculaire CD tombe sur le prolongement de c, on a encore dans le triangle ADC,

CD = 6 sin CAD,

ou, puisque les angles CAD et A, qui sont supplémentaires, ont même sinus (969),

CD = b sin A,

Le triangle BDC donne aussi CD=a sin B.

De ces deux valeurs de CD on conclut encore

sin A : sin B = a : b.

3” Dans le cas où le point D tomberait en A , le triangle serait rectangle , et on aurait directement (1°)

CD ou 6 = a 4i7i B;

ou bien, en remarquant que sin A =1,

b sin A —a sin B;

d’où, encore,

sin A : sin ü—a\b.

Si au lieu de prendre le sommet C pour abaisser la perpendiculaire, on avait choisi l’un des deux autres A et B, on aurait eu respectivement

sin B : sinC—b’.c et sin G‘. sin \=c la.

Ces trois proportions, qui prouvent ce qu’il fallait démontrer, »e résument dans la suite de rapports égaux

sin A sin B sin C

997. Théorème 3. Dans tout triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, moins le double rectangle de ces deux côtés multiplié par le cosinus de f angle compris entre ces côtés.

Ainsi on a , par exemple (Jg. 181),

a,* — b* + c’ — 2ÔCC04A (1)

d’où

Fig. <S1.

On démontre en géométrie (652) que, dans tout triangle, le carré d'un côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux au très côtés, moins le double rectangle compris sous l’un de ces côtés et la projection de l’autre sur le premier. On démontre que ce double rectangle, au lieu de se retrancher, s’ajoute quand l'angle opposé au côté considéré est obtus (651). Ainsi les figures 180 et 181 donnent respectivement :

a’=6’ + c* — 2cx AD, (2)

a'=6*+c* + 2cxAD. (3)

Dans le triangle rectangle ADC on a, pour la figure 180, AD = b cos A, et pour la figure 181, AD=6co.f DAC ou AD= — beos A, puisque A est le supplément de DAC (969). Ces deux valeurs de AD, substituées dans les formules (2) (3), les ramènent toutes deux 5 la formule générale (1).

Quand l’angle A est droit, son cosinus est nul, et cette formule générale donne le résultat bien connu (657)

008. TnÉORÈME 5. La somme algébrique des projections (le deux- côtés ( T un triangle sur le troisième est égale à ce troisième côté (980). Ainsi on a Jig. 180 et 181

c—a cos B + 6 cos A.