DÉTERMINATION D’UNE LIGNE

1014. Nous avons vu que la position d’un point dans un plan ou dans l’espace est fixée quand on connaît ses coordonnées (959, 960). Pour qu’une ligne soit déterminée, il suffit que ses divers points soient fixés, et que par conséquent on connaisse les coordonnées de ces points.

Lorsqu’une même relation existe entre les coordonnées de chacun des points d’une ligne, il est de la plus grande facilité de déterminer autant de points que l’on veut de la ligne, et, par suite, de tracer cette ligne en raccordant, aussi exactement que possible, les points obtenus. S’il s’agit, par exemple, d’une courbe plane, donnant une valeur à l’une des coordonnées, la relation sert à déterminer l’autre coordonnée du point correspondant de la courbe (550).

Supposant, pour fixer les idées, que les coordonnées de chacun des points d’une ligne sont liées par la relation y — 3z + 2“, si l’on fait z= 5", par exemple, le point de la ligne qui correspondra à cette valeur de z aura pour ordonnée y— -3x5 + 2 = 15”. Donnant à z une

CINQUIÈME l'ARTIE. — GÉOMÉTRIE DES COURBES.

Fig. 190.

Fig. 191

nouvelle valeur, on aurait une autre valeur correspondante de y, et par suite un second point de la ligne.

Lorsque la courbe n’est pas plane, comme on ne peut prendre arbitrairement qu’une de ses coordonnées, les deux autres, qui en dépendent, restent inconnues et ne peuvent être déterminées que par deux relations ou équations (é52).

lOliî. Coordonnées polaires. Un point M est aussi déterminé dans un plan MOx, quand on connaît l’angle MOx=a, que fait avec l’axe Or la droite OM qui joint le pôle O et le point M, et la distance OM = p, qui prend le nom de rayon vecteur.

Les deux quantités a et p sont appelées coordonnées polaires.

Lorsqu’une même relation existe entre les coordonnées polaires de chacun des points d’une ligne, on peut, comme dans le cas précédent, déterminer autant de points que l’on veut et, par suite, tracer la ligne.

1010. Coordonnées focales. La position d’un point M est aussi fixée dans un plan, quand on connaît ses distances MF~p, MF’=p' à deux points fixes F, F', pris dans ce plan .et appelés foyers; seulement, les longueurs p et p', que l’on nomme rayons vecteurs ou coordonnées focales, déterminent un second point M’, symétrique deM par rapport à FF'; et une équation entre les rayons vecteurs p et p', considérés comme variables , déterminera une ligne formée de deux parties symétriques par rapport à l’axe FF' (4ZiO).

Un point M est encore déterminé dans un plan par ses distances MF = p et MP=p', aussi appelées rayons vecteurs, à un point fixe F et à une droite fixe O y, que l’on nomme respectivement foyer et directrice. Comme dans le cas précédent, deux longueurs absolues des rayons vecteurs déterminent deux points M et M' symétriques par rapport à l'axe Ox mené perpendiculairement à O y par le foyer F. Ainsi , une équation entre les deux rayons vecteurs p et p', considérés comme variables, déterminera une ligue symétrique par rapport à Ox.

1017. Les courbes se définissent ou par la relation de leurs coordonnées rapportées à des axes (101â), ou par celle de leurs coordonnées polaires (1015), ou encore par celle de leurs coordonnées focales (1016). C’est ce que fera voir l’étude des courbes les plus usitées dans la pratique.

1018. L'équation exprimant la relation qui existe entre les coordonnées d'une courbe est appelée l 'équation de la courbe.

miMO(iÊ>ÊITÊ.

H0M0GÉHÉITÉ.

toi». Un polynôme est dit homogène, quand tous ses termes sont du même degré. Le degré m de chaque terme est le degré d’homogénéité du polynôme (396). Si l’on multiplie chaque lettre d’un polynôme homogène par un même facteur k, le polynôme est multiplié par A™ (404, 407).

1020. On dit en général qu’une fonction (440) est homogène et du degré m, quand chacune des lettres qui y entrent étant multipliée par k elle se trouve multipliée par A*. Telles sont les fonctions

a -t- \'ab a+c ’

dont le degré est respectivement 2, 1, 0, — 2.

Un monome est toujours une fonction homogène d’un degré égal 4 celui du monome.

Si dans une fonction il entre des lettres qui représentent des coefficients numériques, ces lettres se négligent dans la formation du degré de l’homogénéité de la fonction. Ainsi, « étant un coefficient numérique, la fonction suivante est homogène et du degré 1

a* + (y + nxf )/ab~—(ny+jiÿ

Oa considère également comme des coefficients numériques les fonctions transcendantes rin , co.v... , log de fonctions homogènes du degré 0, ainsi qu’une quantité telle que e\ dans laquelle a est aussi une fonction homogène du degré 0. Telles sont :