CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE DES PORMCLES ALGÉBRIQUES
1027. D’après la loi de l’homogénéité, toute expression algébrique homogène du premier degré, dans laquelle les diverses lettres représentent des longueurs, est l’expression d’une longueur x (1025, Remarque 2), et cette longueur peut toujours être déterminée géométriquement , c’est-à-dire à l’aide de la règle et du compas : 1° quand l’expression est rationnelle (388) ; 2“ quand, étant irrationnelle, elle ne renferme que des radicaux dont l’indice est 2 ou une puissance de 2.
CONSThl'CTtÔN OStmÊTRiQtK DES FORMULES ALGÉBRIQUES. 3H
1088. Construction des expressions rationnelles.
Pour avoir
Fi*. i»a.
Si .l’on a
ab
il suffit, à partir du point O, d’une droite indéfinie, de prendre OA = a, AB =b, BC = d,CE = — c et KF= — La distance — OF est la valeur de x.
11 suffit de construire Une fi* proportionnelle aux trois lignes a, b. m (920).
al>cd
Pour
mnp
Fig. 194.
on construit une h' proportionnelle x’ = OX' = — ' aux trois lignes a = OA, è = OB, m=OM; puis Une û* proportionnelle x" = OX" = — — — n mn ’
aux 3 lignes x1— OX', c=OC, n = ON .
et enfin une 4* proportionnelle
I = Oï:
x"rf
abcd
mnp
aux 3 lignes x" = OX", d=OD, p=OP.
Si l'expression de x était une fraction à termes polynômes, ou ramènerait la construction à celle du cas précédent en opérant comme il suit :
asb + Uaibc
Soit
5 ab* — b*c ‘
k étant une longueur arbitraire, on peut mettre la valeur de x sous la forme
a*b ha,bc\
L'exposant de k étant d’une unité moins élevé que le degré des termes qu’il divise, on peut construire chaque fraction munome qui en
CINQUIEME PARUE. — GÉOMÉTRIE DES COl'RRES.
résulte d’après la règle précédente, et A, B, M, N étant les longueurs trouvées , on a
Déterminant A + B = a et M — N = m, on a en définitive
ka
Et x étant une û* proportionnelle aux longueurs k, a, m, on la construira comme ci-dessus.
1029. Construction des expressions irrationnelles. Le degré d’homogénéité devant être 1 (1027) , si le radical est du second degré, la quantité placée dessous devra être homogène et du second degré; ainsi, quand cette quantité sera fractionnaire, le degré du numérateur sera de 2 unités plus fort que celui du dénominateur.
x — sfâb est une moyenne proportionnelle entre les lignes a et b (921);
x = s] a' + b' est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont a et b (9/il) ;
x — V®’ — b' est un des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle ayant b pour autre côté de l’angle droit et a pour hypoténuse (940).
C’est aussi une moyenne proportionnelle entre les deux lignes
a = a + b et 1 3 = a — 6. (921)
Si la quantité placée sous le radical est fractionnaire, comme
a5 4- ah1 — 5 ô*c* as — b'c ’
faisant, comme au n” 1028, choix d’une longueur arbitraire A-, on écrit
La quantité placée entre parenthèses se réduit alors à une ligne a, et le dénominateur à une ligne m ; de sorte qu’on a
o* aô* ôtéc’X
JP + TF ~
a5 __féc A» A*
