HOMOGÉNÉITÉ

rapporte ces longueurs à une même unité, le plus souvent arbitraire (1026), et ce sont les rapports qui en résultent que l’on écrit dans les équations, d'après les règles de l’algèbre.

UHiiS. Toutes les équations auxquelles conduisent les recherches géométriques (mise en équations, transformations et résultats), sont homogènes lorsque l’unité est indéterminée. Cette considération est de la plus haute importance en géométrie analytique; elle sert de moyen de vérification pendanttout le cours des calculs ; elle sert de moyen mnémonique pour retenir les formules; elle établit de l’analogie entre les expressions, et elle peut suggérer des méthodes de calcul plus simples et plus élégantes.

Remarque 1. Lorsqu’on combine par voie d’addition ou de soustraction plusieurs équations homogènes de degrés différents, on obtient une équation exacte, mais qui n'est pas homogène. On doit rejeter avec soin une telle combinaison dans toute analyse bien conduite.

Remarque 2. Le théorème de l’homogénéité s'applique à toutes les équations de géométrie; mais en se rappelant que les aires sont représentées par le produit de deux longueurs, et les volumes par le produit de trois longueurs ou celui d'une surface par une longueur, et que , par suite , suivant qu’une lettre A ou V représentera une aire ou un volume , il faudra la considérer comme étant du deuxième ou du troisième degré. Ainsi, A, A', (>, b' exprimant des longueurs, A, A' des aires, et V, V' des volumes, les deux formules suivantes sont homogènes :

A-A'=i(A-A')(6 + 6'), V — V'= | {h— h1) (A + A'+S Æv).

En général , selon que l’inconnue d’un problème est une aire A ou un volume V, l’expression que l’on obtient est homogène et du second ou du troisième degré. Ainsi on a :

\—ab ou V = abc.

1020. Dans tout ce qui précède, l’unité est supposée arbitraire. C’est dans cette hypothèse qu’il faut soumettre au calcul toutes les questions de géométrie; car s’il en était autrement, si, par exemple, l’on prenait pour unité l’une des longueurs considérées ou toute autre unité contenue un nombre déterminé de fois dans cette longueur, on pourrait arriver à des équations homogènes au fond, mais qui n’en auraient pas l’apparence; aussi faut-il éviter ce cas particulier. Du reste, à une équation de cette espèce, ou peut toujours rendre l’aspect de l’homogénéité; pour cela, il suffit de rendre l’unité arbitraire, en rapportant chaque longueur à cette unité; ce qui se fait en rapportant la longueur prise pour unité à l’unité arbitraire, en multipliant chaque lettre par le rapport ou nombre abstrait qui on résulte élevé à la même

puissance que la lettre, et en exprimant chaque produit partiel par une nouvelle lettre élevée à la même puissance que la première.

Kn prenant une unité de longueur arbitraire, on a pour l’aire du cercle

A = tt'. (668)

Si, au contraire, on prend lu rayon pour unité, on a A' = exl‘ = -.

Équation dont le premier membre est du degré 2, et le second du degré apparent 0 , car r. est un nombre abstrait. Pour donner à l’équation son aspect homogène habituel, on exprime le rayon pris pour unité en unités arbitraires; ce qui donne r pour rapport; alors 1* du second membre de l’équation devient r’, et on a

A' r1 ou A = -r’.

En prenant le rayon pour unité, le volume de la sphère est

• Rapportant le rayon pris pour unité à une unité arbitraire, ce qui donne r au lieu de i, l’équation précédente devient

V'r1 ou V = 5 sr’.

Le demi-grand axe a tie l’ellipse étant pris pour unité, l’aire de l’ellipse est

Rapportant le demi-grand axe 1 à une unité arbitraire, il devient a, et rapportant toutes les longueurs à cette môme unité arbitraire, il vient

ou

A' x a* = 2a x a x ab’ A = 1r.ab.