HÉLICE

CM : EN = arc B’C' : arc BU'.

B'C' étant l’unité d’arc, représentant par a la quantité constante CM qui lui correspond, on a, en désignant par x l’arc variable B'E' et par y la valeur correspondante EN,

a‘.y=. 1 : x, d’où y—ax.

Équation qui est celle d’une ligne droite (1034), et qui indique que si l’on développe la surface du cylindre, chaque spire de l’hélice se développera suivant une droite qui aura pour équation y = ax, dans laquelle, à une ordonnée quelconque y = CM, ou DO, ou EN, etc., correspond l’abscisse x — développement de B'C', ou de B’D', ou de B'E', etc.

De là il résulte que les diverses spires se développeront suivant des droites égales et parallèles.

1 171. Tracé de l'hélice ffig. 246). BK étant le pas de l’hélice, on le divise ainsi que la circonférence de la base du cylindre en un môme nombre de partieségales.huit par exemple. Menant alors les génératrices . KB, IM, HO... qui passent par les points de division B', C', D’... de la circonférence de la base du cylindre, et prenant sur ces génératrices

successives, à partir de la base, des longueurs 0 , - BK, -BK, -, BK, etc.,

les points B, C, D, etc. que l'on obtiendra appartiendront à l’hélice. On conçoit que pouvant diviser la circonférence de la base du cylindre en autant de parties égales que l’on veut, on peut obtenir autant de points que l’on désire de l’hélice, et que la courbe qui raccordera ces points sur le cylindre pourra être prise pour l'hélice.

Lorsque, au lieu de tracer l’hélice sur le cylindre, on en trace les projections, comme l’indique la figure 246, les perpendiculaires menées à t’axe AO du cylindre par les points de division du pas BK rencontrent les projections LM, 110, etc., des génératrices menées par les points de division de la circonférence de la base du cylindre, en des points C, D, etc., qui appartiennent à la projection verticale de l’hélice, qu’alors on peut tracer d'une manière approchée. Il est évident que la circonférence de la base du cylindre est là projection horizontale de l’hélice.

1172. Mener une tangente à l'hélice en un point P (fig. 246). On trace la génératrice passant par le point P ; au pied P’ de cette génératrice on mène une tangente PT que l’on prend égale au développement de l’arc B'P’, et joignant le point T' au point P, la droite T'P qui en résulte est la tangente demandée. En effet, d’après le principe du n° 1141, la tangente au point P étant la diagonale du parallélogramme, qui est ici rectangle, ayant la hauteur du point P au-dessus de la base et PT' pour côtés, elle se confond bien avec T'P.

P'T' est la projection horizontale de la tangente . et prenant la pro-

jection verticale T du point T', la droite TP est la projection verticale de cette tangente.

La projection verticale TP est tangente au point P à la projection verticale BCPF de l’hélice.

Il est à remarquer qu’une tangente quelconque à l’hélice se confond avec la courbe quand on développe le cylindre.

1 1 73. La normale en un point P de l’hélice est la perpendiculaire abaissée du point P sur l’axe du cylindre. Elle se projette horizontalement suivant le rayon O'P', et verticalement suivant PU perpendiculaire à l’axe OA.

1174. La longueur <T un arc BP d’hélice est égale à l'hypoténuse d’un triangle rectangle qui a pour côtés de l’angle droit la distance du point P à la base du cylindre et le développement PT de l’arc PB-. En effet, quand on développe le cylindre, ces trois lignes deviennent les trois côtés d’un triangle rectangle. On a alors (647)

BP = y/ pp1’ + TP'1.

117.5. Ce même triangle rectangle étant la surface S comprise entre l’arc BCP de l’hélice, la génératrice à laquelle se termine cet arc, et l’arc de cercle BT. on a (636)