partie de AB

Cela établi , supposons qu’un objet appliqué contre la règle AB, à partir du 0 de cette règle, fasse avancer le vernier jusqu’au point e; la Fig 26î longueur de cet objet sera

égale à 15 parties de AB,

plus ce ou | d’une partie

de AB.

Le vernier du graphomètre s’étend sur 29 divisions du limbe, de chacune un demi-degré, et il est divisé en 30 parties égales; il en résulte que la différence entre une division du limbe et une du vernier est

2^ de un demi-degré; ainsi ce vernier permet de lire la valeur des angles & une minute près.

1203. Vérification du graphomètre. En mesurant les trois angles d’un triangle , la somme des valeurs trouvées est égale à 180“ si le limbe est bien divisé. De même, en mesurant tous les angles successifs formés autour d’un même point par plusieurs directions, la somme des valeurs trouvées doit être égale à 360".

1204. La base de chaque pinnule occupant sur le limbe un arc d’environ 12 ’, on ne peut mesurer directement que des angles supérieurs à 6” et inférieurs à 17A". Quand, par exception bien rare, on a à mesurer des angles hors de ces limites, on mesure deux angles dont la différence ou la somme est égale à l’angle cherché.

1203. Équerre-graphomètre. Cet instrument peut servir à la fois d’équerre et de graphomètre. Il est composé d’un cylindre fixe a, percé d’un seul plan de visée déterminé d’un côté par une simple fente et de l’autre par une fenêtre avec fil (1197), et d’un cylindre supérieur 6, percé de deux plans de visée à angle droit et déterminés comme celui du cylindre a par une fente d’un côté et une fenêtre do l’autre. Le cylindre b est mobile sur celui a, et on lui imprime son mouvement à l’aide d’une crémaillère intérieure qui s’engrène avec un pignon monté sur un axe portant une tète d. Cette disposition permet de faire mouvoir le cylindre b sans secousse. Le cylindre a est surmonté d’un cercle argenté divisé en 360*, le 0 correspondant à la fente du plan de visée, et le cylindre 6 se termine inférieurement par une couronne portant un vernier dont le 0 correspond à la fente de l’un des plans de visée. Enfin le cylindre 6 porte une boussole c sur son fond supérieur.

LEVÉ DES PLANS

On peut se servir du cylindre supérieur, abstraction faite du cylindre

a, comme d’une simple équerre pour mener des perpendiculaires (1199). Par l’emploi simultané des deux cylindres , on peut mesurer un angle comme avec le graphomètre (1200). Ainsi, disposant l’instrument sur un pied à trois branches au sommet A de l’angle (Jig. 260), on dirige le plan de visée du cylindre a vers le point B; puis on fait tourner le cylindre b jusqu’à ce que son plan de visée correspondant au 0 du vernier passe par le point C, et la valeur de l’angle BAC se lit sur le cercle qui surmonte le cylindre a, au moyen du vemier que porte le cylindre

b. La boussole c sert à orienter l’angle BAC.

1200. Boussole[ 1190). L’aiguille aimantée reposant librement par son centre sur un pivot, elle prend, sur une certaine étendue de terrain, une direction qui fait un angle à peu près constant avec la direction nord-sud du méridien terrestre. Cet angle, appelé la déclinaison de l’aiguille, est en ce moment à Paris de 20° 6 , mesurés du nord vers l’ouest, c'est-à-dire de droite à gauche pour l’observateur qui regarde vers le nord. Un plan s’oriente en y figurant par une flèche la direction du méridien magnétique qui est donnée par l'aiguille.

Vazimuth magnétique d’une droite est l’angle que forme sa projection sur uu plan horizontal avec la direction do l’aiguille aimantée, cet angle se mesurant en partant du nord de l’aiguille et allant à gauche jusqu’à la rencontre de la droite. Comme il y a deux rencontres, il y a deux azimuths magnétiques, un pour chacun des sens CA et CB de la droite ; l’un varie de 0* à 180° pendant que l’autre varie de 180“ à 360°, et leur différence est toujours égale à 180°.

La boussole d'arpenteur (Jig . 265) est une boite en bois carrée à l’extérieur et cylindrique à l’intérieur. Elle peut tourner à frottement autour d’un axe vertical pris dans un genou à coquilles semblable à celui du graphomètre (1200), et on la pose sur un pied à trois branches pour opérer. Le dessus do la boite est fermé par un verre, qui permet de voir à l’intérieur.

L’aiguille aimantée est azurée du côté qui se dirige vers lenord N; elle porte en son milieu une chape en agate, par laquelle elle repose sur un pivot en acier qui s’élève au centre de la boîte perpendiculairement à son fond. Les extrémités de l’aiguille se meuvent sur un cercle divisé en 360°, subdivisés en demi-degrés. La graduation va de 0° à 360° en allant de gauche à droite pour l’observateur placé au centre, et la ligne de foi, qui va de 0° à 180“, est parallèle à deux côtés de la boîte. Latéralement à celui de ces côtés situé près de la division 90°, est fixé un coffre en bois mobile autour d’un axe situé dans le prolongement du diamètre 270°, 90°. Ce coffre fait fonction d’alidade, et à cet effet chacune de ses extrémités est fermée par une plaque métallique percée

Fig. 264.

d'un petit trou circulaire servant d’œilleton et d’une fenêtre à fil (1197). L’œilleton de chaque pinnule correspond à la fenêtre de l’autre, ce qui permet de viser dans les deux sens. Du reste, les deux plans de visée coïncident et sont parallèles au diamètre 0", 180’.

Sur le côté de la boite parallèle à l’alidade, et sur l’un des côtés perpendiculaires, on dispose quelquefois deux petits niveaux à bulle, qui guident pour placer l’appareil bien horizontal. A défaut de ces niveaux, la propriété qu'a l’aiguille de se placer horizontalement, quand elle est tout à fait libre, guide pour amener l’appareil dans cette position, puisqu 'alors l’aiguille affleure le limbe par ses deux extrémités.

La boussole est recouverte d'un verre transparent, et on peut la fermer complètement, quand on n’opère pas, à l’aide d'une planchette en bois qui s'adapte dans une coulisse. Une petite tige, que l’on fait monter ou descendre en poussant à droite ou à gauche un bouton saillant sur la boite, permet de rendre l’aiguille libre, ou de l’appliquer contre le verre après l’opération pour éviter que le pivot ne s’émousse.

Le coffre alidade porte quelquefois une lunette qui permet d’opérer à de plus grandes distances.

La mobilité du coffre et par suite de la lunette autour de l’axe situé dans le prolongement du diamètre 270*, 90» permet de viser des points situés à des niveaux très-différents.

Pour détewnlner l'azimuth du sens AB d’un alignement AB (1193), on place la boussole horizontalement sur son pied , en faisant en sorte que le plan de visée de l’alidade coïncide aussi exactement que possible avec AB, et l’angle NCB’ que fait le pôle nord de l’aiguille avec le rayon CO* est l’azimuth cherché.

Pour déterminer l’angle de deux alignements, plaçant le point D de la boussole au sommet de l’angle, on détermine comme ci-dessus les angles formés par les deux côtés do l’angle avec la direction CN de l’aiguille, et selon que CN sera dans l’angle cherché ou en dehors, celui-ci sera égal à la somme ou A la différence des deux angles trouvés.

Il est impossible que le point D de la boussole reste au sommet de l'angle sans changer l’instrument de place ; mais l’erreur que l’on commet en ne prenant pas cette précaution est si faible, qu’on se dispense d’y avoir égard.

IÏ07. Planchette (1186). Cet instrument n'est autre chose qu’une planche à dessiner munie à son centre d’une tige à boule maintenue par une coquille, comme le graphomètre (1200), et que l’on place sur un pied b trois branches pour opérer. On remplace quelquefois le genou à coquille par un

LEVÉ DES ELANS

genou dit à la Ou>/not, qui est formé de deux axes rectangulaires horizontaux placés l’un au-dessus de l’autre, et autour do chacun desquels la planchette peut s’incliner. Avec cette disposition, plus solide que la précédente, la planchette peut également être inclinée dans tous les sens quand les axes sont desserrés. Afin de pouvoir tourner la planchette sans lui faire perdre l'horizontalité qu’on lui a donnée en la mettant en station, on la rend quelquefois mobile autour de son axe vertical, celui-ci restant fixe comme la partie inférieure de l’équerre-graphomètre (1205). Cette disposition est aussi employée pour la boussole d’arpenteur (1206).

Sur la face supérieure de la planchette on colle la feuille de papier à dessiner. Il y a des planchettes munies de rouleaux en bois placées longitudinalement à deux de leurs arêtes parallèles ; ces rouleaux servent à fixer la feuille de papier quand elle a des proportions qui ne permettent pas de la coller sur la planchette.

L’emploi de la planchette exige que l'on fasse usage de l’ alidade,

qui n’est autre chose qu’une règle en cuivre garnie à chaque extrémité d’une pinnule semblable à celles du graphomètre.

Le plan de visée ou de collimation contient une arête de la règle, de sorte que l’alidade étant placée sur la planchette disposée horizontalement, une ligne tracée le long de cette arête est la projection horizontale sur le papier de l’alignement déterminé par le plan de visée de l’alidade.

Pour vérifier une alidade, on trace sur la feuille de papier collée sur la planchette la projection horizontale d’un alignement; retournant l'alidade, on fait coïncider son arête avec la projection que l’on vient do tracer, et si dans cette position son plan de visée est encore dans la direction du même alignement , c’est que l’alidade est exacte.

Pour relever avec la planchette l’angle formé par deux alignements AB, AC, on place l’instrument au sommet A, de manière que la verticale contenant le point A rencontre la planchette en un point a qui permette de donner aux côtés ab et ac une longueur convenable.

On amène la planchette dans

Fig. 2ûti.

57 f» SIXIÈME PARTIE. — LEVÉ DES PLANS. ARPENTAGE. NIVELLEMENT.

Fig. 268.

une position horizontale, en se guidant avec un petit niveau à bulle d’air (1268). Alors on détermine le point a aussi exactement que possible; la tringle recourbée représentée fig. 268 est très-convenable pour cette opération. On lui fait embrasser la planchette, et en amenant le petit fil à plomb qu’elle porte au-dessus du point A du sol, l’extrémité supérieure de la tringle indique la position du point a sur la feuille de papier. 11 est à remarquer qu'un petit écart du point a autour de la verticale passant par A n’influe pas d'une manière sensible sur la valeur de l’angle.

La planchette étant disposée, on place l’alidade de manière que son arête passe par le point a et que son plan de visée contienne le point B, et la droite ab que l’on trace le long de l’arête de l’alidade est la projection de l’alignement AB sur la feuille de papier. On trace de même la projection ac de l’alignement AC, et l’angle bar est l’angle cherché. On aurait sa valeur en degrés au moyen du rapporteur (902).

1208. Déclinatoire. C’est une petite boussole sans alidade, dont la boite est rectangulaire. Les grands côtés de cette boite sont parallèles à la direction 0°, 0° du limbe, et ils servent de règles pour tracer la ligne d’orientation d’un angle ou d’un plan qu’on lève à la planchette. A chaque extrémité de la boîte il y a seulement une portion de limbe. Chacune de ces portions porte les mêmes divisions, de 0° à 35° seulement, à droite et à gauche de 0“; d’où il résulte qu’aux deux extrémités de l’aiguille on lit le même angle sur le limbe.

L’angle BAC étant relevé et la planchette étant encore en station (Jig. 267), on place le déclinatoire sur la feuille de papier, et on le fait tourner jusqu'à ce que l’aiguille coïncide avec le diamètre 0%0” du limbe; Tdors traçant une droite en se servant du grand côté de la boîte comme règle, elle déterminera la direction du méridien magnétique.

Pour orienter un plan, on le fixe sur la planchette; on met celle-ci en station, et, à l’aide de l’alidade, on fait coïncider l’une des droites du dessin avec l’alignement qu’elle représente. Alors, au moyen du déclinatoire, on trace sur le plan la direction du méridien magnétique, en opérant comme on vient de l’indiquer pour l’angle BAC.

1208. Cercle. Théodolite. Le cercle est un graphomètre perfectionné, dans lequel le limbe est un cercle entier (1200).

11 se compose d’un arbre vertical fixé au centre d’un pied métallique à trois branches, portant chacune à son extrémité une vis calante. C’est par ces vis que l’appareil repose sur le pied ordinaire en bois

LEVÉ DES PLANS

quand on veut opérer, et en les serrant plus ou moins on amène le cercle dans la position horizontale.

La moitié environ de la longueur de l’arbre vertical sert d’axe à un manchon auquel est fixé le cercle, de sorte que le cercle peut tourner librement autour de l’arbre. Une vis de pression rend à volonté le cercle solidaire avec l’arbre et s’oppose à son mouvement, et une vis de rappel fixée au pied de l’arbre permet, quand la vis de pression n’est que légèrement serrée , de donner au cercle un mouvement sans secousse aussi petit que l'on veut. Cette disposition permet de terminer d’amener exactement la lunette dans la direction du point visé.

La moitié supérieure de l’arbre est entourée d'un second manchon, qui porte à sa partie inférieure une alidade, et à sa partie supérieure la lunette de visée. L'alidade est sans pinnule ; chacune de ses extrémités porte seulement un vcrnier qui court sur le cercle, ce qui permet de faire deux lectures de l’angle relevé; si, par suite d’une mauvaise division du cercle, les deux lectures ne donnaient pas la même valeur, on prendrait la moyenne des deux valeurs trouvées. A l’une des extrémités dç l'alidade se trouve une vis de pression qui la fixe à volonté au cercle ainsi que le manchon supérieur et la lunette. Une vis de rappel que porte la môme extrémité de l’alidade permet encore d’amener exactement l’axe optique de la lunette dans la direction du point visé.

Sur le cercle est fixé un petit niveau à bulle d’air qui guide pour le rendre horizontal.

Lorsque les deux vis de pression sont desserrées, les deux manchons, et par suite le cercle et la lunette, sont indépendants et peuvent prendre des mouvements quelconques autour de l’arbre. En serrant seulement la vis de pression supérieure, les deux manchons, et par suite le cercle et la lunette, deviennent solidaires, et alors leur ensemble peut tourner tout à la fois autour de l’arbre. En serrant seulement la vis de pression inférieure, le cercle devient fixe, et le manchon supérieur peut seul tourner avec la lunette et son alidade. Quand les deux vis de pression sont serrées , tout le système reste fixe.

Pour la facilité des lectures, la ligne de foi de l’alidade est ordinairement à angle droit avec le plan de visée ou de collimation.

La lunette oscille autour d’un axe horizontal fixé au manchon supérieur, ce qui permet de viser des points situés à des niveaux différents. Elle porte souvent une alidade qui se meut sur un arc de cercle vertical ; quand l'index de cette alidade correspond au 0 de l’arc , c’est que la lunette est horizontale, et au point où s’arrête l'index quand l’axe optique passe par le point visé, on lit la valeur de l’angle formé avec l’horizontale par la droite que l’on relève, angle qu’il est souvent utile de connaître. Dans les cercles ordinaires, l’arc ne s’étend guère que sur une étendue de û5* de chaque côté du 0", ce qui ne permet pas de mesurer des inclinaisons supérieures à cette limite.

Il y a des appareils dans lesquels l’arc vertical est remplacé par un cercle complet; ce sont des Théodolites-, le cercle Inférieur est appelé cercle azimutal , et celui supérieur est dit vertical.

Ordinairement les cercles sont munis d’une seconde lunette fixée au mancbon inférieur et dite lunette témoin ou de repère. On dirige cette lunette vers un point fixe éloigné quand l’appareil est en place et que l’alidade correspond au 0* du cercle ; de légers mouvements qu’elle peut prendre permettent toujours de l’amener vers un point fixe convenable, et une vis de pression l’y maintient. Si le cercle bougeait pendant que l’on relève un ou plusieurs angles ayant même sommet, la lunette témoin cesserait d'être dirigée vers le point de repère, et il faudrait recommencer l’opération.

Pour relever un angle BAC avec le cercle (Jig. 280), au sommet A on dispose l’appareil sur un pied à trois branches comme le graphomètre (1200), et à l’aide des vis calantes on rend le cercle bien horizontal ; cela fait, on amène, à la main d’abord, puis à l’aide de la vis de rappel supérieure, l’Index de l’alidade sur le 0* du cercle; on rend les deux manchons solidaires l’un de l’autre, et, avec la main, et ensuite au moyen de la vis de rappel inférieure, on fait tourner tout l’appareil jusqu’à ce que l’axe optique de la lunette principale soit dans la direction du côté AB de l’angle. On serre alors la vis de pression inférieure , et on dirige la lunette témoin sur un point de repère ; puis on desserre la vis de pression supérieure, et amenant la lunette principale dans la direction du côté AC , l’alidade indique la valeur de l’angle BAC sur le cercle. Si l’on avait plusieurs angles ayant le môme sommet A , on ne desserrerait pas la vis de pression inférieure; l'alidade indiquerait les valeurs des angles formés par les divers côtés avec le premier AB, et par de simples soustractions on aurait les valeurs cherchées.

IUIO. Répétition des angles. En mesurant un angle avec un instrument quelconque , on peut commettre des erreurs de deux sortes : les unes dites de pointé, et les autres de lecture. Les premières proviennent de ce que l’alidade ou la lunette n’est pas dirigée exactement suivant les côtés de l’angle; les secondes, de ce que les divisions des instruments ne sont jamais parfaitement exactes , et que le vernier ne permet pas d’évaluer rigoureusement les fractions de ces divisions.

Avec un cercle bien établi (1209) , un observateur exercé commet des erreurs de pointé qui peuvent encore atteindre une seconde. Quant à l’erreur de lecture, on peut la rendre, aussi petite que l’on veut à l’aide d’une méthode qui consiste à répéter l’angle à mesurer. Soit B \C cet angle (./fy-270); on le mesure une première fois comme il a été indiqué (1209); puis, rendant la lunette solidaire avec le cercle, on la rgmène dans la direction de AB; le 0“ du cercle vient au point b', tel que l’on a b'\b = 6Ac; on fixe le cercle dans cette position , et rendant libre la lunette, on la ramène dans la direction AC; l'alidade indique alors sur

LEVÉ DES PLANS. 379

le cercle l’angle U\c = 26Ae. Kendant de nouveau la lunette solidaire avec le cercle; en l’amenant dans la direction AB, le 0* viendra au point 6", qui donne 6''A6=2ôAr; puis faisant avancer la lunette jusqu'à la direction AG, l’alidade indiquera sur le cerclo l'angle b"Ac = 36Ac. Opérant ainsi de suite, on répétera sur le cercle l’angle 6Ac autant de fois que l’on voudra, soit 10 fois par exemple. Comme il n'y a pas de raison pour que l’erreur de lecture soit moindre pour l’angle simple que pour l’angle 10 fois plus grand indiqué par l’alidade, puisque les inégalités des divisions du cercle se compensent nécessairement sur une certaine étendue, en divisant par 10 l’angle trouvé, on aura l’angle cherché avec une erreur 10 fois moindre. Comme de plus on aura une moyenne des erreurs dues aux évaluations desfractious de division , et une moyenne des erreurs de visée, on n’aura pas à craindre une erreur considérable pour ces deux causes.

Lorsque le cercle est garni de deux lunettes , on peut faire la répétition des angles par la manœuvre alternative des deux lunettes , en suivant une marche analogue à la précédente.

1211. Triangulation (1187). Lorsqu’on mesure des angles uniquement pour les rapporter sur le papier, on peut se contenter do l’exactitude que donne le graphomètre (1200), les procédés graphiques ne permettant guère une approximation supérieure à un quart de degré dans le dessin d’un angle ; mais iorqu'il s'agit d’opérations géodésiques s’étendant sur une grande étendue de pays, une province ou un département par exemple , on a recours au cercle (1209) pour mesurer les angles. De plus, comme la mesure des longueurs est dilKcileet sujette à des erreurs, on les évite en mesurant avec le plus grand soin une seule base dans une position favorable, et on rattache à cette base un réseau de triangles qui couvre tout le pays. L’un de ces triangles a la base pour côté , et chaque triangle a un côté commun avec au moins un des triangles voisins, ce qui permet, en partant de la base, de résoudre successivement tous les triangles en ne mesurant que des angles (1001).

Pour mesurer la base , on emploie deux règles en bois de chacune U mètres de longueur, que l’on place successivement l’une nu bout de l’autre ; on les pose sur des pièces de bois rendues bien horizontales au moyen de chevalets.

Dans la crainte de déplacer une règle en posant l’autre à son extrémité, on laisse entre elles une certaine distance, que l’on mesure avec une petite languette graduée qui se meut à coulisse dans l’extrémité de l’une des règles. Un bouton que l’on tourne permet d’amener sans choc la languette au contact de l’autre règle , et un vernier donne avec précision l’écart des règles.

Fig. Ï7».