A"B" OF' A'B' — OB
c’est-à-dire
on a bien A"B" —jt.
La valeur de l’accélération j étant toujours la tangente trigonométrique de l’angle formé avec l’axe Ox par la tangente à la courbe au point correspondant à l’Instant considéré (1306) , dans ce cas j = tan g A"Or, et de plus on voit qu’elle est constante, ce qui devait être d’après la définition du mouvement uniformément varié (1309).
L’espace E parcouru pendant un temps quelconque t — OB" étant représenté par l’aire du triangle OA"B" (1307), on a (636)
Fig. 326.
A"B" x OB" jt X t 2 — 2
Jt'; (a)
d’où
2E et
=Vr-
Ainsi, les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps.
En construisant l’équation (o) , qui est celle d’une parabole ayant pour abscisses les valeurs de t et celles de E pour ordonnées (1113), comme on l’a fait au n” 1305, fig. 32 h, on obtient la fig. 326.
L’équation précédente donne , comme le montre la fig. 326,
Pour i ou t — g OU E =
\jxtl ^X9
\jx 16 |jx25.
Ainsi , les temps étant les nombres entiers successifs , les espaces parcourus sont respectivement proportionnels aux carrés de ces nombres, c’est-à-dire à
sa
SEPTIÈME PARTIB. — MÉCAMQIE.
La tangente trigonométrique de l’angle que forme , avec Taxe Ox des temps, la tangente à la courbe est encore la vitesse à l’Instant considéré (1305).
Remplaçant dans l’expression (a) j par sa valeur en fonction de r, on
a aussi
d’où
L’expression (6) montre que le corps partant du repos , l'espace parcouru après un temps quelconque t est encore égal à la moitié de la vitesse acquise v multipliée par t.
Remarque. Pour t = 1, la foi-mule (a) devient
Ce qui montre que le corps partant du repos, P espace parcouru j>endant la première unité de temps du mouvement est la moitié de la vitesse acquise à la fin de celle unité, c'est-à-dire moitié de l'espace que parcourrait le mobile pendant la deuxième unité de temps du mouvement , si le mobile se mouvait d'une manière uniforme avec la vitesse acquise à la fin de la première unité.
L'espace E parcouru pendant la première seconde étant 3“,û0 , par exemple, la vitesse acquise est 7“,80, espace qui serait parcouru pendant la deuxième seconde, si cette vitesse restait constante pendant cette seconde.
v t étant l’espace parcouru d’un mouvement uniforme avec la vitesse c
pendant le temps t , la formula E — - vt montre que nou-seulemcnt
après l’unité de temps, mais après un temps quelconqxw t, la vitesse
acquise v est telle, que l'espace parcouru - vt pendant le temps t sous
V influence du mouvement accéléré est moitié de l'espace vt parcouru pendant un texnps égal, soils r influence d'un mouvement uniforme devitesse v. Ainsi l’espace parcouru pendant les trois premières secondes du mouvement étant 30 mètres, par exemple, la vitesse acquise restant constante, 1 espace parcouru pendant les trois secondes suivantes sera de CO mètres. En efl'et , la vitesse acquise est
» — - = — - — = 20 mètres,
et l’espace parcouru pendant les trois secondes suivantes,
vt — 20 x 3 = 60 mètres.
MQJJVUUMT VàHIÜ.
2" Lorsque le mouvement eut uniformément accéléré et que la vitesse initiale n'est pas nulle, on a (1310)
v = vrj +jt.
Comme au 1", on prouverait que cette équation est encoro celle d’une ligne droite, mais dont l’ordonnée à l’origine OA = r„. Pour la construire (1*) , on prend OB' = t s= 1, et B' A' — B'C + CA’ =. rf + j , et après un temps quelconque t — OB", on a v — B''A" = B"C' + C’A" =n r„ + jt.
L’espace parcouru après un temps quelconque t = OB" étant représenté par l’aire du trapèze OB' A' A (1307), c'est-à-dire par la somme des aires du rectangle OB'C’A et du triangle AG’A", 044 a (634 , 636)
E = OA x OB" + -A-9 * AC — „0 1 + ijP. (a')
Cette formule montre que l’espace parcouru se compose de deux par- . ties : l’une v,t, proportionnelle au temps t et représentée par le rectangle OB"C'A , est duc au mouvement uniforme dont la vitesse est c„
(1301); l’autre - jt1, proportionnelle au carré du temps l et repré-
.sentée par le triangle AC'A", est due au mouvement uniformément varié dont l’accélération de vitesse est j (1°). On voit que v, et j produisent chacune, en agissant simultanément, le même effet que si elles agissaient isolément ; leurs effets s’ajoutent
En construisant l’équation (a1), on obtiendrait une courbe analogue à celle de la Jiy. 326. La tangente en un point de cette courbe donnerait encore la vitesse du mobile après un temps représenté par l’abscisse du point considéré.
3° Le mouvement étant uniformément retardé et la vitesse initiale c„, on a (1310)
v = v0 —jt.
Cette équation est encore colle d’uno ligne droite ayant OA — 1„ pour ordonnée ù l’origine. Pour la construire (2°) , oti prend OB' = / — 1, et BA' = B'C — A'C = r„ — j , et après un temps quelconque t = OB", on a
v — B" A" = B"C' — A"C' = v, —jt.
L’espace parcouru après un temps quelconque t — OB" étant représenté par l’aire du triangle 01) A moins celle du triangle DA"B", comme cette difféi'ence
Fig. 32$.
436 SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
est égale à l’aire du rectangle OB''C'A, moins celle du triangle AA"C', on a
E — OA x OB"
