MOUVEMENT UNIFORME

1291). I.e mouvement est uniforme (1288) lorsque , en temps égaux quelconques, Ira longueurs parcourues sont égales.

1300. La vitesse dans le mouvement uniforme est l’espace parcouru dans l’unité de temps, ou qui serait parcouru pendant cette unité si la durée du mouvement uniforme était suffisamment prolongée.

1301. Relation entre l'espace parcouru, la vitesse et le temps dans le mouvement uniforme. De la définition du mouvement uniforme (1299), il résulte que l’espace E parcouru est proportionnel à la durée du mouvement, et que par conséquent v étant l’espace parcouru pendant l’unité de temps, c'est-à-dire la vitesse (1300), on a

d’où Esti, *=? et f=®. (1)

La première formule montre que l’espace parcouru est représenté par l’aire d’un rectangle qui a v et / pour côtés (63û).

D’après la seconde formule, la vitesse dans le mouvement uniforme est égale à V espace divisé peu • la valeur numérique du temps employé à le parcourir ; elle est donc constante.

Dans le cas où le mobile aurait déjà parcouru un certain espace E„ , quand on commence à compter le temps t, l’espace total parcouru après le temps t serait

Un autre mouvement uniforme donnerait des équations identiques aux précédentes ; ainsi on aurait

E’ = vft\

Divisant membre à membre la première des équations (1) par cette dernière, on a

E vt e' — v'r

«OUVKMKXT VARIÉ.

Ce qui fait voir que pour des mouvements uniformes quelconques les espaces sont entre eux comme les produits des vitesses j>ar les temps.

Si les temps t, t' sont égaux, on a

Fig. 323.

c’est-à-dire qu'en temps égaux , les espaces sont entre eux comme les vitesses.

1502. Problème. Un mobile partant du point m so meut avec une

vitesse constante v sur une ligno déterminée AB; il s’agit de trouver à quelle distance OM il se trouve d’un L Y point fixe O pris sur AB après le temps t.

OM = Om -f mM.

Faisant OM = E, Om = E„ = 2“, v = 1“,1 par seconde, et / = 3"; comme on a mM = vl, il vient

E = E. + vt = 2 + 1,1 x 3 = 6“, 30.

Considérant les espaces parcourus dans le sens OB comme positifs , et ceux parcourus dans le sens OA comme négatifs (957) , dans le cas où le point m serait à gauche du point O, on aurait

E = — Eo + c/ = — 2 + 1,1 x 3 = lm,30.

Si, m étant sur OB, le mobile allait pendant le temps t dans le sous OA, on aurait

E = E„ — vt = 2™ — 1,1 x 3 = — 1“,30.

Enfin, si le point m était pris sur OA, et que pendant le temps t le mobile marchât de O vers A, on aurait

E = — E„ — ut = — 2 — -1,1x3 = — 5m,30.

Ces quatre équations , qui se réduisent à l’équation générale

E = ± E, ± vt ,

sont la solution complète du problème ; elles donnent non-seulement la valeur absolue de E, mais aussi elles indiquent, par le signe qui affecte cette valeur, si après le temps t le mobile est sur OB ou sur OA.

MOBVEME.VT VARIÉ.

1505. Le mouvement est dit varié lorsque , contrairement à ce qui

SEPTIÈME PARTI*. — MÉCANIQUE

existe dans le mouvement uniforme (1299) , les espaces parcourus en temps égaux quelconques sont inégaux, c'est-à-dire lorsque la vitesse du mobile n’est pas constante pendant toute la durée du mouvement. "

1304. Lorsqu’un mobile parcourt certains espaces égaux en temps égaux, sans que la môme condition soit remplie pour les parties de ces espaces, on dit que le mouvement est périodique uniforme.

Un des espaces égaux parcourus en temps égaux est le chemin parcouru pendant une période , et le temps employé à le parcourir est la durée de la période.

Prenant la durée d’une période pour unité de temps, et le chemin parcouru pendant cette unité de temps pour vitesse v, l’espace E, parcouru pendant un temps t qui se compose d’un nombre entier de durées de période, est, comme dans le mouvement uniforme (1301) , donné par la formule

E — vt.

1 503. Vitesse dans le mouvement varié. Quoique la vitesse puisse ne pas être la mô.me à deux instants successifs du mouvement, on peut la considérer comme constante pendant une portion quelconque infiniment petite de la durée du mouvement; alors, à l’instant considéré , la vitesse est égale à l'espace infiniment petit divisé par le temps infiniment petit employé à le parcourir (1301), ou bien encore à l’espace qui serait parcouru peudant l’unité de temps, si, à partir de l’instant considéré, le mobile se mouvait avec une vitesse constante égale à celle qu’il a acquise à cet instant (1300).

Désignant par dE l’espace infiniment petit parcouru, et par dé le temps infiniment petit employé à le parcourir, la vitesse est donc

V~~dï

Fig. 3U.

Dans la pratique 11 est Impossible de prendre dE et dt infiniment petits, et par suite d’avoir r exactement; mais la valeur de cette quantité est d’autant plus exacte que dEet dt sont pris plus petits.

Traçant deux axes rectangulaires (959) , puis prenant sur Or, à partir de l’origine O, différentes valeurs du temps t , et élevant aux différents points obtenus des ordonnées représentant les valeurs correspondantes de E, la courbe AA" passant par toutes les extrémités des perpendiculaires est telle, que l’ordonnée A'IV d’un quelconque de ses points est à trèspeu près l’espace parcouru pendant un temps représenté par l’abscisse correspondante OB'.

MOCVEMEST VARIÉ. 4SI

rendant l'instant 66', différence des temps O b1 et 06, l’espace par-

couru est a b' — ab=a'c, et supposant que aa’cst droit, pu a — =

langa'ac (065). Mais quand no’ est droit, il n’est autre chose qu’un élément infiniment petit, qui se confond avec la tangente 5 la courbe au point a; alors langa'ac est la tangente trigonoraétrique de l'angle formé avec l’axe Qx par la tangente à la courbe au point a , de plus,

comme 66' et a’c deviennent infiniment petits, — n'est autre chose

rfE

que — n; donc

v = tapg a'ac,

Ainsi, après un temps quelconque Ob, la vitesse es I représentée en intensité et en signe jtar la tangente de l'angle formé avec l'aie 0.x par ta tangente à la courbe au point correspondant a.

1 <■(><;. Variation de la vitesse dans le mouvement varié, r étaut la vitesse après le temps t, après le temps t plus l’instant dt, la vitesse aura augmenté ou diminué d’une quantité infiniment petite dv, et sera devenue v ± dv.

de étant la variation de vitesse pendant le temps dt, la variation moyenne est, pour l’unité de temps, pendant le temps dt,

, 1 dv

Cette valeur est la quantité dont varierait la vitesse pendant l’unité de temps qui succéderait à t, si pour chaque instant dt de cette unité l’augmentation de la vitesse était constante et égale à dv.

11 est encore évident que dans la pratique on aura d’autant mieux la variation de vitesse à l’instant qui succède au temps /, que dt et par suite dv seront plus petits.

— est l'accélération de vitesse pendant l'unité de temps, ou simplement l 'aeccèléi alion de vitesse à l’instant considéré, c’est-à-dire à l’instant qui succède au temps t.

Dans la fig. 324, les abscisses étant toujours les temps, mais les ordonnées représentant les vitesses correspondantes, on a

tang a'ac =

Ainsi l’accélération de vitesse est représentée par la tangente trigonométrique de l’angle formé avec l’axe des x par la tangente à la courbe au point a.

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

1307. Courbe dont Paire représente l'espace parcouru dans le mouvement varié. Si, comme au n" précédent, dans la fig. 32û, les abscisses sont les temps, et les ordonnées les vitesses correspondantes, l’espace parcouru pendant un temps quelconque f = OB' est représenté par l’aire OB'A'A. En effet, pendant l’instant dt=bb‘, on peut supposer la vitesse constante et égale à la moyenne des deux vitesses ab et a'b1 ; l’espace parcouru pendant cet instant est donc représenté par

■^-x— — x bb', c'est-à-dire par la surface du trapèze aa'b'b (660). Pendant un autre instant quelconque du temps t, l’espace parcouru étant de même représenté par la surface du trapèze élémentaire correspondant, l'espace total parcouru pendant le temps t le sera par la somme de tous les trapèzes, c'est-à-dire par l’aire totale OB’A'A, que l’on pourra calculer à l’aide de la formule de Simpson ou de celle de M. Poncelet (1178, 1179).

130B. Lorsque la vitesse v et l’accélération ~ sont de même signe,

c’est-à-dire à la fois positives ou négatives, le mouvement, est accéléré , dans le sens vulgaire de ce mot; si au contraire ces deux quantités sont de signes différents, le mouvement est retardé.

1300. Lorsque l'accélération de vitesse que nous représenterons

par j, est constante, le mouvement est dit ttniformémenl varié.

1310. Expression de la vitesse. dans le mouvement uniformément varié, j étant l’accélération de vitesse pendant chaque unité de temps, pendant une seconde par exemple, après le temps quelconque t secondes, elle devient jt ; il en résulte donc que le corps possédant au commencement du temps t une vitesse r„ après ce temps il a acquis la vitesse

v=vm±jt.

r. est ce que l’on appelle la vitesse initiale. Considérant une origine sur la ligne que suit le mobile, r. est positif ou négatif suivant son sens, et on a, en définitive,

v=±i\±jt.

Si le corps part du repos, on a tv— 0, et alors, après le temps t, la vitesse est

v=±jt, d’où j=±?.

1311. Expression de P espace parcouru dans le mouvement uniformément varié.

MOUVESEfiT VARIÉ.

1* Supposons le mouvement uniformément Pis- 3*5. accéléré et la vitesse initiale v„ = 0, on a

v =jt.

Cette équation étant celle d’une ligne droite (103i), par la construction du n” 1307, la courbe AA", fig. 32 h, sera une ligne droite. Eu effet (fig. 325) , déterminant le point A' pour lequel OB'=f = 1 et A'B' — v—j, l’ordonnée A"B" d’un point quelconque A” de la droite AA' représente bien la vitesse v=jt après un temps t = OB"; car ayant