O'C1 OC OB ~ OB

Alors les deux triangles O'BC' et OBC ayant les angles en O et O' égaux entre eux comme correspondants seraient semblables, puisqu’ils auraient un angle égal compris entre côtés proportionnels. 11 en résulterait donc l'égalité des angles en B opposés à des côtés proportionnels; ce qui ne peut être qu’autant que BC' se confond avec BC et C'O' avec CO, et que le point O' tombe en O.

15715. Deux droites égales parallèles et de même sens ayant sur une même droite des projections égales et de même signe (980), il en résulte que la somme des projections de forces, P, Q, S, T ( fi g . 3à2) est égale à la projection de la ligne brisée APrr'R obtenue en construisant le polygone de ces forces. Or la projection de cette ligne brisée étant égale à celle de la ligne droite AR (980), comme AR est la résultante (1365), il en résulte donc :

1“ Que la résultante iTuii nombre quelconque de forces appliquées à un même point est égale à la somme algébrique (391) des projections des forces sur sa direction ;

2“ Que la projection de la résultante sur une droite quelconque est algébriquement égale à la somme des projections des composantes sur la même droite.

Fig. 319.

Ainsi pour deux forces P et Q, on voit de suite que la projection de AQ est égale à celle de PR ; que AR est la somme des projections de AP et PR, c’est-à-dire des deux forces P et Q, sur sa direction ; enfin que la projection de la résultante AR sur une droite quelconque serait égale à la somme des projections de AP et PR, ou de P et 0. sur la même droite.

1576. Décomposition, suivant des axes rectangulaires , d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point , et détermination de la résultante de ces forces.

1* Supposons d'abord que toutes les forces P, P', P", P"... sont situées dans un môme plan. Traçons deux axes rectangulaires Aj, Kij, et désignons, pour rendre plus facile la détermination des projections, par a, a'... les angles moindres que deux droits que font les forces avec la partie positive Ax, et par b, b'... les angles moindres que deux droits que font ces mêmes forces avec la partie positive A y. Soit R la résultante et a et p les angles qu’elle fait avec Ax et Ay.

Projetant la résultante et les forces sur chacun des axes ix’ et yy', on a, d’après le n“ précédent, et en remarquant qu’en ne considérant que les angles a, b... moindres que deux droits, au lieu de faire varier ces angles de 0” à 360°, on ne change rien aux projections de chaque force, et par suite aux sommes de ces projections (980),

U cos a = P cos a + P' co.î a' -f P' cas a" -f ... (1)

R«w(S=Pcasb -t-Pcoib' + P'eosb"-f ... (2)

Les axes étant rectangulaires. Rom a et R cos £ sont les composantes de R suivant ces axes, et si l’on désigne ces composantes par X et Y, dont les valeurs sont colles entièrement connues des seconds membres des équations précédentes, on a (1372)

Cette dernière équation donne la valeur absolue de R, laquelle étant substituée dans les équations (1) et (2), permet de tirer de ces équations les valeurs de cos a et et on a alors la résultante R en grandeur et en direction.

De même que pour la résultante, P car a et Peorb sont les composantes de la force P suivant les axes x.r', yy' ; P' ms a' et P'co.vb’ sont celles de la force P, et ainsi de suite pour toutes les forces. En projetant les forces, nous las avons donc décomposées chacune en deux autres dirigées suivant les axes. Comme dans les équations précédentes les composantes qui agissent dans le sens positif sont affectées d’un cosinus positif, et que celles qui agissent dans l’autre sens sont affectées d’un cosinus négatif, l’on voit de plus que X et Y expriment en grandeur et en direction les résultantes des composantes suivant les axes (1368).

2” Pour le cas oit les forces ne sont pas situées dans ■ un même plan , prenant trois axes rectangulaires Aj, A y et A;, appelant a, a', a"...,

Fig. 350.

SEPTIÈME PARTIE. — JIÉCÀJtIQl E.

b, b', b"..., c, c', o"..., nt a, ? ot t les angles moindres que deux droits que font les forces et la résultante avec les parties positives Ax, A y et Az des axes, on a, en opérant comme dans le cas précédent :

R cos a = X = P cos a + P' cos a' + P" cos a" + ...

R cos jl — Y — P cos b + P* cos b* + P"co.vb" 4- ...

R ccw y — Z = P cos c + V cos c' + P"cosc"+ ...

R,=X‘ + ït + Z‘.

Formules qui permettent encore de déterminer la résultante R en grandeur et en direction.

1377. Conditio7is d'équilibre de plusieurs forces appliquées à un même point.

1° Cas où les forces sont situées dans un même plan. Si les forces se font équilibre, leur résultante est égale ào. Or si R = 0, on a (1376)

R, = X, + Y’ = Oi

ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que l’on a

X’ = 0 et Y* = 0 ;

d’où

X=Pco#a + P'cosa' + P"c<w’â"+ =0,

y =. Pro.vb + P’cosb' + P" cos b" + =0.

Ce qui indique que la somme algébrique des projections des composantes sur chacun des axes est égale à 0.

Il est évident que les deux conditions X=0 et Y = 0 sont suffisantes pour l’équilibre. De plus elles sont nécessaires; cars! une seule des composantes X, Y était nulle, il est évident que la résultante serait égale à l’autre, et n’étant pas nulle, il ne pourrait y avoir équilibre. Si aucune des composantes X, Y n’était nulle, on pourrait toujours construire un rectaugle ayant pour côtés ces composantes, et la diagonale de ce rectangle ou la résultante n’étant pas nulle, il n’y aurait pas non plus équilibre.

2° Cas où les forces ne sont pas situées dans un même plan. Comme dans le cas précédent, si les forces se font équilibre, leur résultante sera nulle, et on aura (1376)

ce qui exige que l’on ait

x*=0, Y* = 0, ZJ = 0;

d’où

X=P«wa + P' ccw a' + — 0,

Y = P cos b + P” cos b' + = 0,

Z= Pcoï C + P1 cos c1 + = 0.

Conditions identiques à celles du 1°.

Les trois conditions X = 0, Y = 0, Z = 0, sont évidemment suffisantes pour qu’il y ait équilibre. De plus elles sont nécessaires; car si deux seulement des composantes \, Y, Z étaient nulles, la troisième serait la résultante, et il ne pourrait y avoir équilibra Si une seule de ces composantes était nulle, les doux autres étant rectangulaires et situées dans un même plan, elles donneraient une résultante, et il ne pourrait y avoir non plus équilibre. Enfin si aucune des composantes X, Y, Z n’était nulle, on pourrait construire une parallélipipède ayant cos forces pour arêtes, et sa diagonale, qui serait la résultante, n’étant pas nulle, il n’y aurait pas non plus équilibre.

1570. Cas où le jmint d' application des forces n'est pas entièrement libre. Ainsi il ne peut, par exemple, se mouvoir que sur uno ligne ou sur une surface.

Alors le nombre des conditions pour l’équilibre est diminué; il est ramené à une si le point d'application ne peut se mouvoir que sur une ligne, et à deux s’il ne peut so mouvoir quo sur une surface.

I" Le point ne pouvant se mouvoir que sur une ligne, prenons la tangente à cette ligne au point d’application des forces pour l’un des axes, celui xi’ par exemple. Les deux autres axes seront perpendiculaires à xj-'; par conséquent, les deux composantes Y et Z auront une résultante qui sera aussi normale à xx', et qui ne tendra, quelle que soit sa grandeur, qu’à comprimer le point d’application contre les obstacles qui l’obligent à suivre la ligne, sans nullement tendre à produire le mouvement dans la direction où il est possible.

Pour l’équilibre il suilira donc d’avoir

X = Pcox-a + P' ««-a' + P"ro.ïa" -(- ... = 0 ;

81 le point est assujetti à se mouvoir sur une surface, en prenant deux axes xx', yy‘ tangents à la surface au point d’application des forces, l’axe xx est normal à la surface; par la même raison que dans le cas précédent, la composante Z est tenue en équilibre par l’obstacle qui oblige le point d’application à se mouvoir sur la surface, et alors les conditions d’équilibre sont:

X — P cos a + P' cosa! + P"coj a" -f ••• = 0,

Y = P co j b + T1' cos b' + P'co.îb" + ...=; 0.

1579. Le travail de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point est égal à la somme algébrique des travaux des composantes.

1° Supposons déabord que l'espace parcouru par le point d'application est rectiligne. Dans ce cas, le travail de chaque force est égal à l’espace parcouru multiplié par la projection do la force sur sa direction (1343) ; le travail de toutes les composantes est alors égal à l’espace

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

parcouru multiplié par la somme algébrique des projections de ces composantes; or comme cette somme algébrique est égale à la projection de la résultante (1375) , il en résulte donc bien que le travail de la résultante est égal à la somme des travaux des composantes, ce que l’on peut exprimer, T signifiant travail de, par

3TR= 3TP+ 3TQ+...

2“ Si Pespace parcouru est polygonal, pour chaque portion droite de l’espace parcouru le travail de la résultante étant égal à la somme des travaux des composantes, cela est encore vrai pour l’espace total parcouru, et on peut encore poser la formule précédente.

3" Si Pespace parcouru est courbe , en le considérant comme composé d'éléments rectilignes, on retombe dans le cas du 2", et l’on peut encore poser la formule précédente.

1580. Lorsque les forces appliques au même point sont en équilibre, la somme algébrique de leurs travaux est égale à 0. En effet, ces forces étant en équilibre, leur résultante est nulle; le travail de cette résultante étant nul lui-même, la somme algébrique des travaux des composantes, qui lui est égale, est donc bien égale 50. C’est du reste ce qui résulte directement de ce que la somme algébrique des projections des composantes sur la direction de l’espace parcouru est égale à 0.