MOUVEMENTS SIMULTANÉS
1530. Le principe de l’indépendance des mouvements simultanés, qui est admis comme un fait expérimental , consiste en ce que si un point matériel est soumis simultanément à l’action de plusieurs forces, ou de plusieurs vitesses, ou à la fois de plusieurs forces et vitesses , chacune de ces forces ou vitesses produit son effet comme si elle agissait seule.
Ce principe a déjà été reconnu au n° 1325 pour des forces agissant dans le même sens ; mais il est étendu ici à des forces et des vitesses de directions quelconques.
1er exemple. Si pendant qu’un bateau descend d’une quantité AE le long d’une rivière, un point parcourt une distance AR sur le pont, ce point participe à la fois à son mouvement propre sur le pont et à celui du bateau , de sorte qu’il vient au sommet opposé V du parallélogramme AEVR , de manière à parcourir parallèlement à AE et à AR le même espace que si les mouvements avaient lieu successivement. En ayant égard au mouvement de rotation de la terre autour de son axe , et à
Fig. 33S.
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
celui de translation autour du soleil , on volt que le mobile est soumis à quatre mouvements , et chacun d’eux obtient encore parallèlement à sa direction le même effet que s'il existait seul.
Fig. 330.
2* exemple. Un projectile étant lancé avec une certaine vitesse initiale r„ dans la direction Ar. , comme il est de plus soumis à l’action de la pesanteur, abstraction faite de la résistance de l’air, r„ et le poids P feront parcourir, parallèlement à Ar. et à la verticale, les mêmes espaces que si r. ou P existait seul. Ainsi, après le temps t, le projectile aura parcouru parallèlement à Ar. une longueur Aa' = v.t (n“ 1301) et parallèlement à la verticale une hauteur
Aa = - — <* ( n°‘ 1311, 1332) , et il sera venu par conséquent au
point A', sommet opposé à A dans le parallélogramme AaA’a'.
Remarque. Les mouvements ne sont indépendants qu’autant que chacun d’eux est produit par une force qui ne modifie en rien les autres. Ainsi la cause qui produit le mouvement du mobile sur le pont d’un bateau ne doit produire aucune action ou réaction sur le bateau ; s’il n’en était pas ainsi, le mouvement du bateau ne serait pas le même, selon que le mobile se mouvrait ou serait en repos.
COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCIS APPLIQUÉES A UN MÊME POINT MATÉRIEL, DES VITESSES ET DES ACCÉLÉRATIONS DE VITESSE DE CE POINT, ET DES ESPACES QU’lL PARCOURT.
1500. Résultante : 1° de deux forces, 2* de deux vitesses, 3” de deux accélérations de vitesse, U° de deux espaces.
1° La résultante P. (1293) de deux forces P et 0 appliquées à un même point matériel A (1321) , est représentée en grandeur et en direction par la diagonale AR du parallégramme construit, sur les droites AP et AQ, représentant P et 0 en grandeur et en direction.
Les deux forces P et 0 obtenant chacune dans sa direction le même effet que si l’autre n’existait pas (1359), Aa et A a' étant les espaces parcourus sous l’influence des forces P et Q dans le même temps /, on a (1329)
Aa P Aa' ~ Q'
Après le temps t , le mobile se trouve au sommet A' du parallélo-
gramme construit sur Aa et Aa', et comme les parallélogrammes AaA'a' et APRQ sont semblables, ainsi que leurs moitiés, c'est-à-dire les triangles AaA' et APR, d’où il résulte que AA' se confond avec AR, l’on voit, comme le temps t est quelconque, que le mobile se meut sur la diagonaleAR.
Les espaces AA' parcourus sur la diagonale étant proportionnels à ceux A a ou Aa' dus à P ou Q, appelant R ia force unique qui produirait le mouvement du mobile sur AR, cette force seradirigée suivant AR, et on aura (1329)
P Au R ~ AA”
Comme les deux triangles semblables AaA' et APR donnent
AP on P A a AR ÂA5’
on a R= AR. Ce qu’il fallait démontrer.
Le parallélogramme APRQ est appelé parallélogramme des forces.
2° Les forces P, 0. R (fig- 3A0 ) étant proportionnelles aux vitesses qu’elles communiquent à un môme point matériel A dans un môme temps (1328), il en résulte que si A a est la vitesse que la force P communique au mobile A dans un temps quelconque t , les vitesses dues & Q et R seront Aa’ et AA' pour le même temps, et l’on voit que la résultante de deux vitesses est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux vitesses.
11 est à remarquer que le parallélogramme de deux vitesses est semblable à celui de tout système de deux forces constantes qui sont capables de produire en grandeur et en direction les vitesses composantes dans le même temps.
3" Les accélérations de vitesse étant aussi proportionnelles aux forces (1327), on ferait voir que, comme pour les vitesses (2*), la résultante de deux accélérations est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux accélérations.
Le parallélogramme de deux accélérations de vitesse est encore semblable à ceux de tous les systèmes de deux forces constantes capables de produire en grandeur et en direction les accélérations composantes dans le même temps.
â° Les espaces parcourus après un même temps quelconque sous l’influence de vitesses constantes étant proportionnels à ces vitesses (1301), on ferait voir que , comme pour les vitesses (2°) , la résultante de deux espaces parcourus sous C influence de vitesses constantes est représentée en grandeur et. en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux espaces.
Si les espaces sont dus à des mouvements uniformément accélérés dans lesquels la vitesse initiale est nulle, ces espaces sont proportion-
SEI’TIÊME PARTIE. — HÊCAN1QLK,
nels aux forces qui produisent ces mouvements , et il en résulte que dans ce cas encore la résultante de deux esjKices est représentée en grandeur cl en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux espaces.
Que la vitesse soit constante ou uniformément accélérée, le parallélogramme des espaces est semblable à celui des vitesses ou des accélérations, et encore à celui de tout système de deux forces constantes capables de faire parcourir au mobile dans la même direction et dans le même temps les espaces donnés.
1501. Remarque. Du n° précédent , il résulte que tout ce qui va suivre sur la composition des forces appliquées à un même point est applicable aux vitesses et aux accélérations de vitesse simultanées d’un môme point, ainsi qu’aux espaces qu’il parcourt simultanément sous l’action de ces vitesses ou accélérations de vitesse.
1502. La Jig. 340 montre que la résultante AP. des deux forces P et Q appliquées au même point A est le 3' côté AK d’un triangle APK qui a pour 1" côté AP, l’une P des composantes, et pour 2* PU, une droite égale et parallèle à la 2* composante Q. Ce triangle APU peut donc s’appeler triangle des forces.
1303. Lorsque P et Q ont même direction et même sens , le triangle APK devient une ligne droite, et on a AU = AP + PR. Ce qui montre que la résultante U est égale à la somme P + Q des deux, composantes , et qu'elle est dirigée dans le sens de ces composantes.
Quand, au contaire , les forces P et Q de même direction sont dirigées en sens contraires, le triangle APU se transforme en une ligne droite AR = AP — PU. Ce qui fait voir qu’alors la résultante R est égale à la différence P — Q des deux cotnposan les, et qu'elle a le signe , c'està-dire le sens de la plus grande des composantes.
Si, dans ce dernier cas, P = Q, on a U = P — *,|g’ M1 ’ Q = 0. Ce qui montre, ce que l’on peut du reste
n r considérer comme un axiome vérifié par l’expé-
rience, que deux forces égales , de même direction et d’un sens contraire, ont une résultante nulle.
1504. Pour retrouver les composantes quand on a la résultante U , c’est-à-dire pour décomposer une force R en deux autres P et Q appliquées au même point A, et dont les directions AB, AC sont situées dans un même plan avec la première (Jig. 340), on construit le parallélogramme APRQ dont la force donnée est la diagonale, et dont les côtés sont dans les directions des composantes ; le côté AP = P, et AQ = Q.
Quand les composantes ont la même direction, il y a indétermination ; car, selon que les composantes doivent être dirigées dans le même sens ou en sens contraires, tout système de deux forces donnant P+Q = Il ou P — Q=lt satisfait à la question, et on conçoit qu’il y en a une infinité.
1365. Détermination de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et situées ou non dans un même plan.
On prend la résultante r des deux forces quelconques données P et Q (1360); puis la résultante r' de r et d’une autre force S ; r' est la résultante des trois forces P, Q et S; on compose ensuite r' avec une quatrième force, et ainsi de tt suite, jusqu’à ce qu’on ait employé toutes les forces, et la dernière résultante obtenue R est la résultante de toutes les forces données. \ part la clarté du dessin , l’ordre d’emploi des diverses forces est indifférent pour leur composition, puisque l’on arrive dans tous les cas à la force unique capable de remplacer toutes les autres.
Remarque. La figure précédente montre que la résultante d’un nombre quelconque de forces situées dans le même plan est la droite qui ferme le polygone dont le premier côté est l’une des forces, et dont les autres côtés successifs sont respectivement égaux aux autres forces, et parallèles à leurs directions. Ainsi, les deux forces Pet Q ont pour résultante Ar qui ferme le polygone dont le premier côté est AP= P, et dont le deuxième Pr est égal et parallèle à Q. Pour les trois forces P,
Q, S, la résultante est la droite Ar' qui ferme le polygone formé par les ' côtés AP, Pr, et rr' égal et parallèle à S. La résultante AR des forces P,
O, S, T ferme de même le polygone APrr'R , et l’on voit que , quel que soit le nombre des forces, la résultante s'obtiendra toujours de la même manière.
Ce qui vient d'être dit pour des forces situées dans un même pian s’applique également à des forces de directions quelconques ; seulement alors le polygone dont les côtés sont respectivement égaux et parallèles aux forces n’est pas une figure plane.
Par analogie avec le parallélogramme des forces (1360) , le polygone qui permet, comme on vient de le voir, de déterminer la résultante d’un nombre quelconque de forces appliquées à un même point, peut s’appeler polygone des forces (1362).
1306. Quand le point R tombe en A (Jiy, 342) , c’est-à-dire quand le polygone APrr'R des forces se ferme de lui-même, la résultante AR est nulle, et on ditque les forces PQSTsont en équilibre ou sefont équilibre.
1567. On peut poser comme un axiome, qui est du reste vérifié par l’expérience, que quand toutes les forces qui sollicitent un corps libre ont une résultante nulle, c’est-à-dire sont en équilibre, elles ne changent rien à l’état de repos ou de mouvement de ce corps.
Si le corps est en repos, l’ équilibre est statique (1223), et s’il possède un mouvement , qui ne peut qu’être uniforme et dû à une vitesse initiale, Véquilibre est dynamique.
Fig. 312.
SEPTIÈME PARTIB. — MÉCANIQUE.
Las relations entre les forces sont les mômes, que l'équilibre soit statique ou dynamique.
On peut poser, comme extension de l’axiome précédent, que l'état d’un corps ne change pas quand on le soumet à l’action de plusieurs forces dont la résultante est nulle, ou quand on supprime plusieurs forces en équilibre qui le sollicitent Ainsi il reste en repos s’il est en repos , et s’il est soumis à des vitesses ou à d’autres forces , l’effet de ces vitesses ou forces n’est pas modifié.
1368. Si toutes les forces appliquées à un même point avaient même direction et même sens, la construction du polygone des forces conduirait à une ligne droite, et on aurait, ce qui a déjà été établi au n" 1363 pour deux forces ,R=P + Q + S+T.
Si toutes les forces avaient même direction , mais agissaient les unes dans un sens et les autres dans le sens contraire, la résultante des forces agissant dans chacun des sens étant égale à leur somme, il s’ensuivrait que la résultante de toutes les forces serait égale à la somme des forces qui agissent dans un sens moins celle des forces agissant dans l’autre, et qu’elle aurait le sens des forces dont la somme est la plus grande. Le polygone des forces, appliqué à ce cas particulier, conduit au même résultat.
1369. La résultante de trois forces non situées dans le même plan appliquées à un même point est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois forces.
D’après le numéro (1362), la résultante des deux forces P et Q s’obtient en traçant Pr égal et parallèle à AQ, et en menant A r, qui est la résultante de P et Q. Pour avoir la résultante des trois forces P, Q, S, il suffit de mener rit égal et parallèle à AS, et AR est la résultante cherchée. Or, considérant le parallélogramme PAQr comme étant la base d’un parallélipipède dont AS est une arête latérale , on voit que Rr est l’arête latérale opposée à AS, et que AR est bien la diagonale du parallélipipède ; c’est ce qu’on peut vérifier en terminant le parallélipipède.
1370. Si l’on voulait passer de la résultante à ses composantes, c’està-dire décomposer une force R en trois autres de directions déterminées , on prendrait une marche inverse à celle suivie pour la composition. Ainsi on mènerait Rr parallèle à AS; on prolongerait cette parallèle jusqu'au plan PAO ; on joindrait Ar, et terminant le parallélogramme ASItr, AR serait décomposée en AS, qui serait l’une des composantes cherchées , et en une force Ar, laquelle, décomposée suivant AP et AQ, fournirait les deux autres composantes P et Q.
Fig. 343.
1571. Il y a indétermination dans la décomposition (Tune force R en plus de. deux composantes dont les directions AB, AC et AD sont situées dans un meme, plan arec B. En effet, prenant une valeur quelconque AP pour l’une des composantes, et terminant le parallélogramme APRr qui a Al! pour diagonale et AP pour côté, la force U se trouve décomposée en deux autres Pet r (1364). Cette dernière force fournit ensuite deux composantes Q et S dirigées
suivant AC et AD, et l’on voit que R est décomposée en trois forces P, 0, S.
Toute autre valeur donnée à P conduisant à un autre système P,Q,S, on peut donc décomposer 11 d’une infinité de manières.
Lorsque la résultante et les directions des composantes ne sont que deux à deux situées dans le même plan, il n'y a pas indétermination pour trois composantes; mais on ferait voir que l’indétermination subsiste pour un plus grand nombre de forces en opérant comme dans le cas précédent.
1572. Relations entre deux forces appliquées à un même point et leur résultante , en fonction des angles que leurs directions font entre elles.
Les deux composantes et la résultante étant les trois côtés du triangle APR des forces (1362), dont deux des angles sont ceux que font les forces avec la résultante, et dont le troisième est le supplément de l’angle que les deux forces font entre elles, la question proposée revient à la résolution d’un triangle (999), et ii s’ensuit que connaissant trois des six quantités, les trois forces et les trois angles qu’elles font entre elles, on pourra déterminer les trois autres, pourvu qu’un côté, c’est-à-
Désignant par a l'angle de P avec R, par b celui de Q avec R, par c=a + b celui de P et Q, et par c' le supplément de c.
Si les deux forces P et Q sont rectan gulaires entre elles (fiy. 345), le triangle APR est rectangle, et on a (647, 1000).
P = Rcofa, Q = R cos b, (l)
P=Qfangb, Q = P tanga.
Les formules (1) font voir que lorsqu’on décompose une force R en deux autres P et () de directions rectangulaires, chaque composante est égale à la résultante multipliée par Je cosinus de l’angle qu'elle forme
ao
dire une force, soit comiue.
Fig. 34V. Fig. 34(i.
Fig 344.
SEPTIÈME l'ARTIK. — MÉCANIQUE.
avec la résultante, et quelle est par conséquent la projection do la résultante sur sa direction (980) ; c'est du reste ce que fait voir la fig.
Quand les deux composantes P et Q font entre elles un angle quelconque, d'abord si elles sont égales, les diagonales de leur parallélogramme se coupent à angle droit, et on a
a = b, R = 2P(.'04a=2Qco4b.
Si de plus les deux forces sont quelconques {fig. 346), on a dans le triangle APB (997), en remarquant que les angles supplémentaires c' et c donnent cos c' — — cos c,
p» + QS 2PQcofC'= P5 + Q! + 2PQ«wc. (2)
On a aussi (996)
R P Q sine' ~ sic b sin a‘
D’où l’on conclut, en remarquant, que les angles supplémentaires c et c' donnent sine'— sine,
si n C sin b’
sin c sin a’
SUl Si
Application. Soit à déterminer la résultante R de deux forces P=7<P et Q = 40k faisant entre elles l’angle c— 70°, et l’angle a que fait la force P avec R.
On a d'abord, formule (2),
R = y P1 + Q! + 2PQc:04C= V70* + 405 + 2 x 70 x 40 x 0,342=91", 73. Puis la seconde des formules (4) donne
sin a = sin C = 57^ X 0,94 — 0,4099,
H yij/o
sinus qui correspond 5 a=24'’12'. (1011)
Tous les autres cas qui peuvent se présenter sc résoudront en suivant une marche analogue. Ainsi P et tous les angles étant connus, pour avoir Q et R, on remarque que l’on a, formule (4),
sin b ’
puis,
R = v'P* + Q’ + 2PQ cos c.
Tout est connu dans cette formule quand ou a calculé Q. Du reste,
pour avoir l’expression de R en fonction des données de la question, il suffit de remplacer Q par sa valeur (a) dans la dernière formule, ce qui donne
V ««’ b si,
ou , en faisant sortir P du radical ,
sut a
sin b
cos c.
. sm' a .«na 1 + - + 2 : r* cos c.
•Jï/Pb si h. b
La suite de rapports (3) fait voir que deux forces et leur résultante , ou encore trois forces <[ui sont en équilibre (1366), sont telles que chacune est proportionnelle au sinus de l'angle forme par les directions des deux autres.
1573. Considérons maintenant trois forces P, Q, S appliquées à un même point et non situées dans un même plan.
Leur résultante étant représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède des forces (1369), si les forces sont rectangulaires entre olles, le parallélépipède est rectangle, et on a (763)
Fie. 3*7.
Remarquant que chacune des forces P, 0. S est, comme le montre la figure (347), la projection de la résultante sur sa direction, on a
P=Rcoja, Q=Rfwb, S— R cos c.
Si l’on remplace P, Q, S par ces valeurs dans l'équation (1), il vient
R,=R’c<M3a 4- R*coi!b + RJcos5 c = II* (cos a -f cos*b 4- cos1 c),
d’où cos'1 a 4- cas- b 4- cos* G s= 1.
Condition à laquelle satisfont les trois angles que fait une droite avec trois axes rectangulaires (975).
1374. Si d'un point quelconque 0, pris sur la direction de la résultante de deux forces P et Q, on abaisse les jirrpendiculaires OB et OC sur les directions de ces forces, ces perpendiculaires sont réciproquement proportionnelles aux forces. En effet, ayant (895)
d’où
OC=OA.rie b et OB — OA««a,
OC si n b OB — tin a ’
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
comme déjà (1372)
P O P sin b
sin b «h a Q tin a ’
on a donc bien
