FORCES APPLIQUÉES A US CORPS SOÙDE
libre entre elles (1384), on peut les supprimer sans rien changer encore au système, et on volt que l’on peut remplacer la force P par son égale P* appliquée en A', ou, ce qui revient au môme, on peut appliquer la force P au point A'.
1580. Résultante des forces P et Q dont les directions se rencontrent mais qui sont appliquées en des points diffé- Pi*. as*. renls.
1“ Soient P et Q deux forces appliquées en A et B, et dont les directions se rencontrent en C.
Le point C faisant partie du même corps que ceux A et B, ou supposant qu’il est lié invariablement à ce dernier d’une manière quelconque, les deux forces P et Q peuvent être appliquées en C. Alors leur résultante est représentée en grandeur et en direction par la diagonale CK de leur parallélogramme (1360). Cette résultante pourra être appliquée en un point quelconque de sa direction , pourvu que ce point appartienne au oorps solide sollicité par les forces P etQ. Si la direction CR ne rencontrait aucun point du corps , il est évident qu’elle ne pourrait produire sur le corps le môme effet que les composantes qu’autant que son point d’application serait relié invariablement au corps. Dans tous les cas, elle a les mêmes relations avec les forces.
On voit que quels que soient les points d’application des forces P et Q , la résultante sera toujours la même en grandeur et en direction ; mais comme le point d’application peut être un point quelconque de cette direction, pourvu qu’il appartienne au corps ou qu’il y soit relié invariablement d’une manière quelconque, il est donc indéterminé.
Si deux forces appliquées A un même corps donnent toujours la même résultante, il est facile de voir qu’au contraire une force R peut être décomposée d’une infinité de manières en deux autres, dont les directions rencontrent celle de R; mais tous les systèmes que l’on peut obtenir sont équivalents , puisqu'ils ont la môme résultante.
2° Si l’on avait plus de deux forces concourant au même point C et appliquées en dos points quelconques d’un corps solide, on pourrait, comme dans le cas précédent, supposer toutes les forces appliquées au point de concours; puis en déterminer la résultante comme au n» 1365.
Si toutes les forces avaient la même direction, on pourrait les appliquer toutes en un même point de cette direction , et leur résultante se déterminerait comme au n" 1368.
Remarque. Les forces dont les directions se rencontrent pouvant ôtre appliquées à leur point de concours , il en résulte qu’il existe entre elles les mêmes relations que pour les forces appliquées à un même point (1372 et suivants).
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
4587, Lorsqu'un système de forces P, Q, S, T est en équilibre, chacune de ces forces est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres. En effet , la force quelconque P faisant équilibre au * système des autres forces Q, S, T, et réciproquement ces forces faisant équilibre à P, comme une force K égale et directement opposée à P fera aussi équilibre à cette force, elle produira donc le même effet que le système Q, S, T, et sera par conséquent sa résultante.
1588. La résultante R de deux forces parallèles P, 0 appliquées à un corjis solide est égale à leur somme , leur est parallèle , est située dans leur plan, et divise la droite AB qui joint les points d'application en deux parties réciproquement proportionnelles aux composantes.
Ainsi R = P + 0, et P : Q = BC : AC.
Appliquons aux points A et B deux forces égales p et q dirigées en sens contraires dans la direction AB; cefe deux forces sefaisant équilibre, elles ne changeront rien à l’effet des deux forces P et 0. et la résultante de ces deux dernières sera la môme que celle des quatre forces P, Q, p, q.
Soit r la résultante des deux forces P, p, (1360), et r‘ celle des deux forces Q, q; les deux forces r et r', dont les directions concourent au point D, auront la même résultante que les deux forces P et Q. Supposons r et r' appliqués au point D, et décomposons chacune d’elles en deux forces dirigées suivant la direction p’q’ parallèle à pq, et suivant celle DR parallèle à AP ; il est évident que chacune des forces r et reproduira au point D des composantes respectivement égales et parallèles à celles qui l’ont produite au point A ou B. Ainsi , pour r on aura p' = p, et la composante dirigée suivant DR sera égale à P. Les deux forces p’ et q' se détruisent; les deux composantes dirigées suivant DR s’ajoutent et donnent la force unique P + Q=R pour la résultante cherchée , ce qui démontre la première partie du théorème.
Les deux triangles semblables BQr' et BCD donnent Qr' ou q : BQ ou Q = BC : DC.
Les deux triangles semblables APr et ACD donnent de même P : p = DC : AC.
COMPOSITION BT DÉCOMPOSITION DES FORCBS PARALLÈLES. 477
Multipliant ces deux proportions terme à terme on a, en remarquant qu'ayant p = q ces quantités se détruisent ,
p : o = bc : ac.
Ce qu’il restait à démontrer.
Considérant deux forces parallèles comme deux forces qui concourent à l’infini, de ce qui a été établi au n” 1374 on peut conclure tout ce qui vient d'être démontré.
Remarque. Le point d’application C de la résultante ne change pas quand les deux forces P et Q varient dans un môme rapport ; mais la résultante varie dans le môme rapport.
151M). De la proportion précédente on conclut :
p:(p+Q) = bc: (bc+ ac), q:(p+q) = ac: (bc + ac), ou , en observant que P + 0 = R et BC + AC = AB,
P : R = BC : AB et Q : R = AC : AB.
Changeant les moyens déplacé dans ces proportions, on obtient deux nouvelles proportions qui ont un rapport commun, et desquelles on conclut
p : bc = o : ac = R : AB.
Ce qui montre que chacune des trois forces P, 0, R est proportionnelle à la portion de AB comprise entre les directions des deujautres.
1390. Ayant à décomposer une force R en deux autres parallèles P et 0 appliquées en A et B {fig. 356), ou pose
BC
r:p = ab:bc, d'où p=r^, puis q = r — p;
Ayant à décomposer une force R en deux autres, l’une P<R, qui est donnée ainsi que son point d’application A, et l’autre 0 qu’il s’agit de déterminer ainsi que son point d’application B,
on a d’abord Q = R — P;
puis q:r=ac:ab, d’où ab = ac - = ac — p.
1391. Quand les deux forces parallèles P et Q sont dirigées en sens contraires , leur résultante R leur est parallèle, dirigée dans le sens de la plus grande 0 > située dans leur plan et égale à leur différence ; et chacune des forces est encore projiortionnelle à la partie de la direction AB, comprise entre les deux autres forces.
La démonstration du n° 1388 peut encore s’appliquer à ce cas; mais l’on peut raisonner comme il suit :
SEPTIÈME PABTIE. — JtÉCASIQtE.
Décomposons O en deux forces, dont l'une P’=P est appliquée au point A; l'autre, que nous désignerons par R, est (1390)
et son point d’application C est tel que l’on a
r:q=ab:ac, d’où ac=ab^ ===AB^p
Les deux systèmes de forces P, P', R, et P, Q ayant la môme résultante, comme dans le premier système les deux forces P et P' se détruisent, il ne reste que la force R qui est sa propre résultante, et par suite celle des deux forces P et Q.
Comme on a
R = Q — P', et P' : BC = Q : AC = R : AB,
remplaçant P' par P, on a donc bien aussi , comme il fallait le démontrer,
R = Q — P, et P : BC = Q : AC — R : AB.
Par une marche analogue à celle du n'! 1390, on décomposerait une force en deux autres de sens contraires.
Remarque. Pour les forces parallèles, il y a encore Indétermination dans la décomposition d’une force en plus de deux autres (1371), excepté dans le casoù les points d’application des trois composantes et celui de la résultante sont dans un môme plan qui ne contient pas les forces.
1398. Couple. Lorsque les deux forces P et 0 sont égales, parallèles, de sens contraires, et non placées dans la même direction [Jig. 357), elles constituent un couple.
1393. Appelant R la résultante de deux telles forces, on a (1391)
R=Q — P= 0, et AC = AB^=AB^p=AB^
Ce qui fait voir qu’à mesure que P diffère moins de O, la résultante diminue, et son point d'application s'éloigne; et que quand P— Q, la valeur de la résultante est nulle, et le point d'application est à l'infini. Ainsi, quels que soient la grandeur d’une force et sou point d’application , elle ne peut être la résultante d’un couple.
1594. Il reste à se demander si les deux forers P et Q n ayant pas de résultante , c’est-à-dire ne pouvant être tenues en équilibre par une force unique (1387) , elles ne se font pas équilibre entre elles.
Si ces deux forces étaienten équilibre, on ne changerait rien à cet état en rendant fixe un point O de AB , autour duquel cette droite peut
Fig. 357.
