COMPOSITION BT DÉCOMPOSITION DES POUCES PARALLÈLES

Fig. 3VÎ.

Fig. 339.

Jy?

tourner librement; mais alors la force r tend à faire tourner la droite AB autour de O, dans ie sens de la flèche, et comme la force Q tend à produire le mouvement dans le même sens, il est évident qne les deux forces P et Q no se font pas équilibre. Ainsi un couple n’est pas non plus en équilibre par lui-même.

1398. Quoique la résultante de deux forces ■parallèles soit située dans le plan de ces deux forces , dans les cas où nous avons reconnu que cette résultante existe (1388, 1391), on peut se demander si, dans le cas du couple, la résultante pourrait être située hors de ce plan.

Si cela était, en appliquant cette résultante en sens contraire de sa direction , de C en r', il y aurait équilibre entre les trois forces P, Q, r' (1387).

Menons une droite EF rencontrant les directions BQ et O', sans être dans un même plan avec AP. On ne changera pas l’équilibre des r forces P, Q, r' en rendant fixe la droite EF,

de sorte que le système ne puisse plus que tourner autour de cette ligne comme axe. Cela établi , la force Q rencontrant l’axe au point E, on peut la supposer appliquée en ce point, et elle sera détruite par la fixité de cet axe; il en est de même de la force r'; mais la force P n’étant pas située dans un même plan avec l’axe EF, elle ne rencontre pas cet axe et ne lui est pas non plus parallèle. On peut alors la décomposer en trois forces, l’une perpendiculaire à EF, l’autre parallèle à cette droite, et la troisième perpendiculaire aux deux premières. La première de ces composantes est détruite par l’axe qu’elle rencontre ; la deuxième est également détruite par cet axe, puisque, lui étant parallèle, elle ne peut que faire glisser le système suivant la longueur de cet axe, mouvement qui est impossible; mais il reste la troisième composante, laquelle, sans rencontrer l’axe, agit dans un plan qui lui est normal, et fait évidemment tourner le système autour de cet axe; il est donc absurde de supposer que la force r' fait équilibre aux deux forces P et Q, c’est-à-dire que ces deux forces ont une résultante.

Rluauqck. On prouverait de la meme manière que deux forces non situées dans le même plan n'ont pas de résultante.

1399. Résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles.

Que les forces soient ou non situées dans un même plan, pour en

déterminer la résultante, on prend la résultante des deux premières forces (1388, 1391) ; puis la résultante de cette première résultante et de la troisième force, ce qui donne la résultante des trois premières forces, et, continuant ainsi de suite, quand on a employé toutes los forces , la dernière résultante obtenue est celle de toutes les forces. Il

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

peut arriver qu’au lieu d'avoir une force unique pour dernière résultante, on ait un couple; alors les forces données n’ont pas de résultante.

Remarque. Comme pour deux forces (1388), le point d’application de la résultante d’un nombre quelconque de forces parallèles ne change pas quand toutes ces forces varient dans un même rapport ; mais la résultante varie dans le même rapport.

1307. En suivant la même marche que dans le cas précédent, les n** 1360, 1365, 1388 et 1391 donnent les moyens de déterminer la résultante d'un nombre quelconque dp forces situées dans un meme plan et ayant des directions et des points d'application quelconques.

Par les mêmes moyens, on peut encore déterminer, dans les cas possibles (139Zi, 1395), la résultante de forces dont les directions sont parallèles ou non et situées ou non dans un même plan , et dont les points d’application sont quelconques.

1308. La projection de la résultante de deux forces concourantes ou de deux forces parallèles, sur un axe quelconque, étant égale à la somme algébrique des projections des composantes sur le même axe. On étend facilement cette propriété à un nombre indéterminé de forces quelconques (1375).

1300. Autant de forces que l'on veut, F', F', F”'.... peuvent se réduire

d'une infinité de manières à deux forces équivalentes dont Fune (tu moins passe par un point donné O.

Par chacune des deux forces quelconques F', F' et le point O faisons passer un plan ; ces deux plans se coupent suivant la ligue droite OK. Cela fait, décomposons la force F', appliquée en M, en deux autres P et Q, que l’on peut transporter l’une en O et l’autre en un point quelconque A de l’intersection OK; la figure explique convenablement cotte décomposition (1360).

La force F", appliquée en M', peut être appliquée au point ni de l’intersection OK ; puis être décomposée en deux forces, l’une P' appliquée en O, et l’autre 0' appliquée en A (1391). P et P', appliquées en O, ont pour résultante unique S'; les forces Q et Q’ ont pour résultante unique T'; ainsi, dans le système proposé, on peut remplacer les deux forces F' et F" par les deux équivalentes S' et T'.

Le nouveau système contient autant de forces que le premier; mais comme il y en a une qui passe par le point O, le nombre de celles qui n’y passent pas est diminué de un Combinant T' avec la troisième force F", on les remplacera par deux autres, dont l’une, passant par O, se combinera avec S' et donnera une force unique S" qui passera par O ; de

Fig. 360.

OESTRE DES FORCES- PARALLÈLES. MOMENT DE POSITION D’iINE FORCE. 481

sorte que le nombre des forces ne passant pas par O sera encore diminué de un. En continuant ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait employé toutes les forces , on voit que l’on aura remplacé toutes les forces données par deux forces uniques, dont l’une S passera par le point O, et dont l’autre T, qui pourra être nulle ou avoir une valeur, passera ou non par le point O.