PA = QA
Ce qui montre que le travail utile est alors égal au travail moteur, et que par conséquent le frottement contre les prisons est nul.
Ouand le travail est transmis par une came, comme cela a lieu ordinairement, le système mobile est sollicité non-seuiement par ies six forces du cas précédent, mais aussi par le frottement Vf de la came sous le mentonnet, force agissant perpendiculairement à la nouvelle force motrice P'. Opérant sur ces sept forces comme dans le cas précédent, la formule (1) conserve la môme expression ; ainsi on a encore
P^Q + NZ+N/. (1-)
La formule (2) devient , en remarquant que Vf agit dans le sens de N,
Quant à la formule (3), le bras de levier de Vf variant d’une manière continue entre des limites qui diffèrent entre elles de la quantité A dont s'élève le pilon , on peut supposer qu'il reste constant et égal à la moyenne arithmétique entre ses deux valeurs limites; de sorte que sa
valeur est b + -- , en supposant que la distance du point A au menton-
net est égale à b quand le pilon est au bas de sa course, et la formule (3) devient
VI— Vf (a+|) — 0X0- Nd+ N/|— N'xO-N/i =0
OU
p- [f y (ô+£)]-Nd+ vJ-Ny 5=0.
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
Remplaçant dans cette formule N' par sa valeur (2') , on a
d’où
Cette valeur, substituée dans l’équation (2'), donne
Ces valeurs de N et de N' substituées dans l'équation (T) fournissent d-S [2/- 2/ (& + £) /*i+/d]^
d'où
Ordinairement on a 6 + ^ ^ ; alors
d-îlf + f'ï
Comme /’* a une valeur réelle, on voit que la valeur de la puissance P' est moindre que celle obtenue pour P dans le cas précédent pour une même valeur de Q. •
Si l’on demandait quelle est la quantité de travail moteur que devrait transmettre l’arbre à cames pour une élévation h du pilon ; considérant la came comme une dent d’engrenage dont le rayon est r, et commandant une crémaillère, le travail absorbé par le frottement de la came étant, pour la pression transmise P' (1552),
fh
on a
Remplaçant P’ par sa valeur (h), on a
d /. Jh\
Tm = Qh
d—W + pi
ix(1 + ‘S)
Equilibre dynamique des machines simples.
n étant le nombre de coups de pilon donné pendant une révolution de Farbre à cames, et P la force motrice tangentielle qui agit à l'extrémité du rayon r, on doit avoir pour l'équilibre dynamique
nTm = 2wP,
d'où
d 2r + fh) hxr'{d-Vf + fH)
ioi>4. Équilibre dynamique de la presse à vis à filets carrés.
Fi?, «o. Appelons : . •
p P la puissance agissant dans un plan perpendt-
% ^ T1 r * culaire à l'axe de la vis; nous supposons P
répartie uniformément autour de l’axe de la vis, afin qu’elle ne fasse naître aucune pression contre la surface latérale des filets ; ainsi la puissance est divisée, par exemple ,
en deux forces - P formant un couple dont
le bras du levier sera divisé en deux parties égales par l’axe (1392) ;
r le bras de levier de la puissance P;
r’ le rayon moyen de la surface hélicoïdale en contact;
Nous supposerons la surface hélicoïdale réduite à une hélice travaillante ayant r pour rayon (1167); a l’angle que fait l’hélice moyenne, ou mieux la tangente à cette hélice avec le plan perpendiculaire à l’axe ; h le pas de l’hélice, c’est la distance d'axe en axe de deux filets consécutifs;
Q la résistance utile que la matière oppose au mouvement de translation de lavis; elle agit suivant l’axe de lavis;
Négligeant le frottement de l’extrémité de la vis sur la surface AB, la vis peut être considérée comme étant soumise à l’action de 6 forces :
i" P puissance;
2° Q résistance utile.
Appelant N la réaction normale aux surfaces de contact de l’écrou sur la surface hélicoïdale des filets, elle se décompose en deux forces :
3* N cos * agissant parallèlement à l’axe de la vis ;
fi* N sin a agissant dans un plan perpendiculaire à l’axe ;
Le frottement N/ de la surface hélicoïdale se décompose également en deux forces :
SKPTÜUIIi PAIITMS. — MÉCANIQUE.
MO
&• N/ sin a agissant parallèlement à l'axe;
6° VJ cos « agissant dans un plan perpendiculaire à l'axe.
Établissons les conditions d’équilibre dynamique pour une révolution de la vis. Remarquons que, excepté le point d’application de la force 0. ceux des autres forces décrivent des hélices , et que leur mouvement peut être décomposé en deux, l’un parallèle à l’axe, et l’autre circulaire autour de l’axe. Considérant ce premier mouvement , A étant l’espace parcouru par les points d'application de toutes les forces, on a pour équilibre dynamique, en remarquant que le travail de chacune des forces agissant perpendiculairement à h est nul ,
AN cos a — AN/ s in a — AQ = 0 ,
d’où
cos a — / sim'
Pour le deuxième mouvement, on a pour l’équilibre dynamique, en remarquant que le travail de chacune des forces agissant suivant l’axe est nul,
Px2 Jtr — N sin ax2iïr' — N/e<wa x 2>n-'=r0; (i)
d’où , en supprimant 2* et en remplaçant N par sa valeur,
r cos a — /sin»
Divisant les deux termes de la dernière fraction par ms a et faisant
Sin a cos a
= tang a
on a
tanga. + / 1 — / tanga
On peut donner à cette valeur de P une autre forme.
Remarquant qu’en développant le cylindre de rayon /•', chaque spire de l’hélice devient l'hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont 2 r.r' et A (117û) , on a (963;
Substituant cette valeur dans celle de P, 11 vient, en réduisant au môme dénominateur et en supprimant le dénominateur 2-r' commun aux deux termes de la fraction,
p=0Fx
A + 2*r/ Sbw'—/A'
Éyi II.IBRE DVfiAMiyi K DBS MACHINES SIMPLES. SOI
Si on néglige le frottement, ce qui revient à faire /=0, on a
P=0tx Jl=0 *
r 2 nr 2itr
En tenant compte du travail absorbé par le frottement de l’extrémité de la vis sur la surface AB, remarquant que la pression sur cette surface est Q , si le coefficient de frottement est le même que pour les filets de la vis, le frottement est Q/, et le travail absorbé pour une révolution de la vis, \ xr"Qf ( r ", rayon de la surface frottante (1541 J.
La formule (1) devient alors
Px2w — N finaxHnr' — N/ cos a x 2w' — | rcr"Q/,
d’où, en effectuant les mêmes opérations que dans le cas précédent,
P=,Q r:x /£?«+£ +QxI/$, r 1 — / tang a 3 r
OU
-J tang « h
llemplaçant tang * par ,j— , , on a
ï-r'—Jh + 3
Application. Pour Q = 9000 kil. , r=l", 00, r' = 0*,034, r"=0“,025, h = O", 016 et /= 0,08 , la formule précédente donne
