PREMIÈRE PARTIE — ARITHMÉTIQUE

de l’autre faoteur, d'une quantité égale au produit dea erreurs absolues des deux facteurs. L'erreur relative du produit est moindre que la somme des erreurs relatives des deux facteurs.

Soit à calculer le produit 314,15826... x 27,18381838... avec une erreur absolue moindre que 0,01. L'erreur absolue du produit répondra à

la question dès qu'elle sera moindre que + ^ïT7t et & plus forte

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raison que =0,00016... + 0,800012..., condition qui sera

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satisfaite en prenant le premier facteur avec 4 chiffres décimaux et le second avec 5.

Au lieu de diviser en deux parties égales l'erreur absolue 0,01, on peut la diviser d’une manière quelconque pourvu que la somme des deux parties soit égale à 0,01.

Pour avoir le produit précédent avec une erreur relative moindre que 0,01, il suffit que l’erreur relative de chaque facteur soit moindre que 0,005, et à plus forte raison que 0,001 ; ce qui conduit à prendre les 4 chiffres à gauche de chacun des facteurs, et on a 314,1 x 27,18.

L’erreur relative d’un produit de plusieurs facteurs remplacés par des valeurs approchées par défaut est moindre que la somme des erreurs relatives de tous les facteurs ; et l’erreur relative de la puissance d’un nombre remplacé par une valeur approchée par défaut est moindre que le produit de l’erreur relative de ce nombre par le degré de la puissance.

Soit à calculer, avec une erreur relative moindre que 0,01, le produit

814.15926.. . x 27,18281828... x 2,34246755... 11 suffit que la somme des erreurs relatives des faoteurs soit moindre que 0,01 ; par conséquent , en prenant chacun des facteurs avec une erreur relative moindre que

et surtout que 0,001, ce qui conduit au produit 314,1x27,18 x

2,342, on est sûr de satisfaire à la question (193).

Pour un produit de valeurs approchées 314,15 x 27,18x2,34, es erreurs relatives des facteurs étant respectivement moindres que 0,0001, 0,001 et 0,01, dont la somme est 0,0111, on en conclut que l’erreur relative du produit est moindre que 0,1, et probablement môme que 0,01. SI l’on demandait le produit 314,15926.... x 27,18281828.... x

2.34246735.. . avec une erreur absolue moindre que 0,1, on remarquerait qu’il suffit que l’erreur relative soit moindre que 0,1 divisé par un nombre 320 x 30 x 3= 28800 plus grand que le produit ; ce qui fait pour

chaque facteur une erreur relative moindre que ^ x°^8oô “ ~8G'iO(T

et à plus forte raison moindre que =0,000001 ; ce qui indique qu’il

faut prendre chaque facteur avec ses 7 premiers chiffres à gauche: 314,1592 x 27,18281 x 2,342467.

UVBB 111. — m ACTIONS BT NOBBBRS DÉCIMAI'X. 43

197. Multiplication abrégée (COughtred . Pour calculer, à moins d'une unité entière ou décimale, 0,1 par exemple, le produit de deux nombres entiers ou décimaux, 3, 1416926... x 32,18642.,. (suivre l’opération suivante) on écrit, dans un ordre inverse, les chiffres du multiplicateur sous le multiplicande, de manière que le chiffre 2 des unités simples corresponde h celui 1 du multiplicande, qui exprime des (0,001) unités cent fois plus petites que celles de l’ordre énoncé (0,1); puis, à partir de la droite, on multiplie successivement le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, en négligeant les chiffres du multiplicande qui se trouvent à la droite de celui qui sert de multiplicateur (Pour le chiffre 3, par exemple, on néglige 926...); ce qui conduit à ne pas employer les chiffres du multiplicateur qui se trouvent à gauche du dernier chiffre 3 du multiplicande. On écrit les produits partiels sous le multiplicateur, en plaçant leurs premiers chiffres à droite dans une mémo colonne verticale, et on en fait la somme en les considérant comme exprimant des unités cent fois plus petites que celle de l’ordre énoncé (0,1); enfin on supprime deux chiffres (07) sur la droite du résultat, et on augmente d’une unité le dernier chiffre conservé. On obtient ainsi 101,2 pour le produit cherché

Remarque. La règle précédente suppose le cas le plus général où la somme des chiffres employés au multiplicateur, augmentée du premier chiffre négligé 4, est plus grande que 10 et moindre que 101. Dans le cas où cette somme ne dépasserait pas 10, et dans celui où elle serait comprise entre 100 et 1001, on opérerait encore de la môme manière, mais en écrivant le chiffre des unités du multiplicateur respectivement sous le chiffre du multiplicande qui exprime des unités dix fois ou mille fols plus petites que celles de l'ordre énoncé,