LIVRE V. — RAPPORTS. PROPORTIONS. PROGRESSIONS

£86. Lorsque la somme 9 + 8 de deux nombres est égale à la somme 4 + 13 de deux autres, les quatre nombres forment une proportion arithmétique dans laquelle les deux nombres qui composent une des sommes sont les extrêmes ou les moyens, et les deux autres sont respectivement les moyens ou les extrêmes.

287. Lorsque quatre nombres ne sont pas en proportion arithmétique, la somme des extrêmes n’est pas égale à la somme des moyens.

288. On n'altère pas une proportion arithmétique : 1° lorsqu'on augmente ou qu’on diminue un extrême et un moyen d’une même quantité ; 2* lorsqu’on multiplie ou qu’on divise tous ses termes par un même nombre. Ainsi la proportion précédente donne

(9+2)— (4+2) = 13—8, (9+2)— 4 = (13+2)— 8, etc., et (9x2) — (4x2) = (13x2) — (8x2), etc.

289. Dans toute proportion arithmétique , chaque extrême est égal à la somme des moyens diminuée de Vautre extrême , et chaque moyen est égal à la somme des extrêmes diminuée de Vautre moyen. Ainsi la proportion 8 — 4 = 13 — 9 donne

8 = 4 + 13 — 9, et 13 = 8 + 9— 4.

De là il résulte que connaissant trois termes d’une proportion arithmétique on peut toujours en déduire le quatrième.

290. La nuyyenne arithmétique entre deux nombres 5 et 9 est la moitié 7 de la somme 14 de ces nombres. On a en effet

291. On peut faire subir à une proportion arithmétique toutes les transformations qui n’altèrent pas l’égalité entre la somme des extrêmes et celle. des moyens (286). Ainsi, ayant 9 + 8 = 4 + 13, ces quatre nombres fournissent les huit proportions suivantes:

Les remarques du n° 298 sont applicables à ces proportions arithmétiques comme aux proportions géométriques.