IX. Définition
Es Equations meslées il y a trois ordres: le premier est dit Ordre prieur^ lors que les nombres d* Algèbre sont le subject (comme incogneuë a part) ft la fermeture ou nombre commun est le prédicat ou parangon (comme seul cogneu d*autrepart.) Le second ordre est Taltematif, où les quantités paires sont séparées des impaires» tellement que la haute exremité soit 4- & uon pas — : Le troisiesme est Tordre postérieur» là où la haute extrémité est seule avec le signe -{-» avec le nombre 1.
X DefinUion.
Ordre alterne des Equations» est quand la maxime ou haute extrémité n'a autre nombre que l'unité» avec le signe -|- > à que les dénominateurs ou caractères impairs sont d'un costé» & les pairs de l'autre» assavoir les uns au subject» les autres au prédicat. Ce que sert à retrouver les signes originaux» en remettant l'équation en question.
Explieaiion.
Soit 1 (7) esgale à 4 (6) + 14 (5) — 66 (4) —49 (3) -f- 196 (2) -\- 36 (1) — 144 : ceste équation estant remise en l'ordre alternatif 1(7) — 14 (5) + 49 (3) — 86(1) sera esgale à 4(6)— 66(4) + 196 (2) — 144(0); car alors les dénominateurs impairs (7) (5) (8) (1) sont d'un costé» & les pairs de l'autre, & n'importe si les pairs ou impairs soyent au subject ou au parangon» ny la maxime non plus» moyennant qu'elle aye le signe de plus» & l'unité pour nombre, comme en l'exemple susdit : or cecy est pour recognoistre les signes» comme sera dit cy après.
XL Definitian.
Quant plusieurs nombres sont proposes» la somme totale soit dite première faction : la somme de tous les produits de deux à deux soit dite deuxiesme faction : la somme de tous les produits de 8 à 3 soit dite la troisiesme faction » b tousjours ainsi jusques à la fin» mais le produit de
tous
tous les nombres soit la dernière faction : or il y a autant de factions que de nombres proposes.
Soyent proposez tant de nombres qn*on voudra 2, 4, 5, leur somme 11 est la première faction : les produits de deux à deux sont 8^ 10^ 20^ dont la somme de tels produits 38 est dite deuxiesme faction : mais le produit de trois à trois 40 ne se trouve qu'une fois ^ & partant sera la dernière faction: item si ces quatre nombres estoyent proposez, 2, — 3, 1, 8: la première faction seroitdj la deuxiesme — 7, la troisiesme — i7, & la quatriesme 8s dernière seroit — 18 : finalement les factions de ces sept nombres 1, 2, 8, 4, — 1, — 2, — 3 seront 4, — 14, — 56, 49, 196, — 36, — 144. qui sont aussi sept en nombre.
Xri. DefinUkm.
1 Quand plusieurs unitez sont mises comme à
1 1 costé, & des autres nombres au milieu, trouvez
12 1 par le moyen d'addition telle figure , soit appei-
1 3 S 1 lée triangle d'extraction : & l'unité d'enhant si-
14 6 4 1 gnifier l'arithmétique simple, & les autres pour
l'algèbre; assavoir 1, 1, soit dit le rang des (1); & 1, 2, 1, le rang des (2) ; puis 1 , S, 3, 1, soit appelle le rang des (S), & tousjours ainsi à l'infiny.
/. TTheoreme.
Si une multitude de nombres sont proposez, la multitude des produits de cbacune faction se peut exposer par le triangle d'extraction : & par le rang d'iceluy selon la multitude des nombres.
E^epHeation.
Soyent 4 nombres, il faudra prendre le rang des (4) au triangle d'extraction, qui est 1, 4, 6, 4, 1; le premier 1 signifie Punité de la maxime; le 4 la première faction qui est la somme des 4 nombres; le 6 signifie que la deuxiesme faction est composée de 6 produits deux à deux ; & ainsi du reste.
//. Théorème.
Toutes les équations d'algèbre reçoivent autant de solutions , que la
denomi-
dénomination de la plus haute quantité le demonstre , excepté les incoraplettes : & la première faction des solutions est esgale au nombi^ du premier meslë, la seconde faction des mesmes, est esgale au nombre du deuxiesme meslé; la troisiesme, au troisiesme^ & tousjours ainsi j tellement que la dernière faction est esgale à la fermeture, & ce selon les signes qui se peuvent remarquer en Tordre alternatif.
Explication.
Soit une équation complette 1(4) esgale 4(3}4-7(^) — 34(1]
— 24: alors le dénominateur de la plus haute quantité est (4), qui signifie qu'il y a quatre certaines solutions, & non plus nj moins, comme 1, 2, — 3, 4: tellement que le nombre du premier meslé 4, est la première faction des solutions, le nombre du deuxiesme meslé 7, k tousjours ainsi; mais pour voir la chose en sa perfection, il faut prendre les signes qui se remarquent en Tordre alternatif, comme 1 (4) — 7 (2)
— 24 (0) esgale à 4 (3) — 34 (1) : alors les nombres avec leurs signes , (selon l'ordre des quantités) seront 4, — 7, — 34, — 24, qui sont les quatre factions des quatre solutions.
Soit autrefois 1(4) esgale à 4 (3) —6 (2) +4(1) ~ 1, & en ordre alterne i (4) -f 6 (2) -f 1 esgal à 4 (3) + 4 (1); dont les nombres avec les signes , selon Tordre des quantités sont 4, 6, 4, 1, qui sont factions des quatre solutions 1, 1, 1, 1, & ainsi des autres; (notez icy que quand les solutions sont unitez sans moins, que les factions sont les nombres du triangle d'extraction du rang de la plus haute quantité,) de mes* me en Tequation de la dixiesme définition, qui est 1 (7) esgale 4(6) + 14 (5) — 56 (4) — 49 (3) +196(2) + 86(1) — 144; il y aura 7 solutions, assavoir 1, 2, 3, 4, — 1, — 2, — 3 : desquels nombres l'exposition se fait en la dixiesme & onziesme définition.
Touchant les équations incomplettes, elles n'ont pas tousjours tant de solutions, neantmoins on ne laisse pas d'expliquer les solutions qui sont impossible d'exister, & monstrer ou gist l'impossibilité à cause de In défectuosité & incomplexion de l'équation, comme 1 (3) esgale à 7(1) — 6, alors les trois solutions y sont encore, assavoir 1, 2, — S; & toutes les incomplettes comme celle-cy se peuvent mettre en forme de complettes ainsi , 1 (3) esgale à (2) + 7 (1) — 6, afin de trouver toutes les solutions; comme celle qui a esté faite cy-devant, assavoir 1 (3) esgale à 167(1) — 26; elle sera complette, ainsi 1 (3) esgale à (2)+ 167 (1)— 26:
& en
& en ordre alternatif, 1 (3) — 167 (1) esgal à (2) — 26, les nombres avec leurs signes (selon l'ordre de leurs quantités) seront 0, — 167,
— 26 : c'est à dire trouvons trois nombres qui ayent telles factions , assavoir que leur somme soit 0, les produits de deux à deux — 167, & le produit des trois — 26 ; or en ayant trouvé un des trois comme cydevant — IS, alors puis que le produit des trois estoit — 26, le produit des deux autres sera 2; or la somme des trois nombres est , & l'un est — 13 : donc la somme des deux autres sera 1 3 ; parquoy la question est remise à celle-cy, trouvons deux nombres dont la somme soit 13 . & leur produit 2; (& notez qu'on dit trouves deux nombres, ce sera donc une équation dont la majeure quantité est 1 (2), on parle des factions aussi, c'est que la somme soit 13 ft le produit 2; & ainsi 1 (2) ^- 2 sera esgale à 13(1), voila l'équation en ordre alterne, laquelle remise en commune pour la résoudre, on aura 1 (2) esgale à 13(1) — 2, & alors) les nombres de solution seront 6^ -f- V 40|- & aussi 6} — V ^0{, lesquels avec — 13 feront les trois solutions requises; la preuve se fera comme on voudra tout du long.
Item 1 (b) esgale à 300 (1) -f ^32, laquelle remise en ordre alterne ce sera 1 (S) — 800(1) esgales àO(2) -|-432; les factions seront 0,
— 300, 432 : donc trouvons trois nombres &c. Or l'un est 18; donc la somme des deux autres sera — 18, & leur produit 24; parquoy 1 (2) sera esgale à — 18(1) — 24, les deux solutions sont — 9+}J57k
— 9 — ^&7, puis l'autre çy-dessus 18 feront les trois solutions requises : de mesme si 1 (4) est esgale à 4 (1) — 3, alors les quatre factions seront 0, 0, 4, 8, & partant les quatre solutions seront
(Notez que le produit des deux derniers est 3:)
Donc il se faut resouvenir d'observer tousjours cela : on pourroit dire à quoy sert ces solutions qui sont impossibles, je respond pour trois choses, pour la certitude de la reigle générale, & qu'il ny a point d'autre solutions, & pour son utilité: l'utilité est facile, car elle sert à l'invention des solutions de semblables équations comme on peut remarquer en l'arith* metique de Stevin, en la cinquiesme differ. du 71 problème; que s'il y
F avoit
avoit une question où la précédente se rencontre^ & qu^aa nombre de solution il faille adjonster 1 , & puis ayant quarre la somme àj adjou* sté 2 : on auroit quatre facitSj 6^ 6, 0, 0, tellement que 6 seroit seul & unique fiacit, à Pexclusion de tout autre, dequoy on n'eust jamais peu estre si certain sans les susdites solutions.
Par ce moyen on trouvera que jamais personne n'a resoud les équations cy*deTant avec toutes leurs solutions.
Exemple en Stevin.
En ladite cinquiesme différence du 71 problème > page 320 de mon édition, ou 344 de la vieille, si 1 (S) est esgale à 6(2} — 10(1) + 3, Stevin ne trouve que 8, & je trouve encor 1| -|- V 1 & encor 1 j- — Vf* Item plus haut si 1 (S) est esgale à 6 (2) — 12 ( 1} -f 8; Stevin trouve 2 , & je trouve 2, 2, 2, tellement que je suis asseuré qu'il n'y a que celle-là de 2, & luy en estoit incertain : de mesme plus bas si 1 (S) est esgale à 6(2) — 9(l)-|-4: Stevin trouve é, & je trouve encor 1, 1. Item à la différence troisiesme du problème 69, page 293 , de mon édition , si 1 (3) est esgale à 7 (1) — 6, Stevin trouve 2 & encor 1, & je dis qu'il y a encor — 3 , lesquelles servent comme on voit en la cinquiesme différence du 71 problème de Stevin , & le requiert à la fin du 70.
Touchant François Yiete, qui surpasse tous ses devanciers en l'algèbre; on peut voir en son traité {De Recogniiiane EquaiUmum cap. 16. pag. 40. de iyficryri;) où il dit que telle syncrisis est pour trouver ou coUiger la mutuelle comparaison de deux équations corrélatives: & il oublioit pour parler généralement de dire es plans, & pour les solides, de trois corrélatives, &c. car en la page 54 & 44: il ne trouve que deux solutions, (comme aussi en beaucoup de lieu dans ses livres) soit dit-il 124 (1) •^ 1 (3) esgale à 240 : Il ne trouve que 2 ft 10 , & je trouve encor — 12 , car voicy les factions , — 124, — 240.
Ainsi qu'on peut donner trois noms aux solutions, veu qu'il y en a qui sont plus que rien; d'autres moins que rien; & d'autres envelopées, comme celles qui ont des V — $ comme des ^ — 3, ou autres nombres semblables.
On peut coUiger plusieurs choses de ces Théorèmes, premièrement l'intelligence du nombre df s solutions; secondement la nature des équations, qui est qu'icelles ont leurs termes composé des factions, & que toutes les questions n'ont autre nœud; tiercement comment il est facile de
faire
faire incontinent Fequation^ quand la question eat des factions» comme: Trouvons trois nombres, dont la somme soit 12^ les trois produits de deux à deux 41, leur solide 42.
Pource que toutes les factions sont dénommées autant que trois nombres peuvent recevoir, on posera à part 1 (3): Et puis la somme des nombres 12, avec une quantité moindre subséquente 12(2): Aussi 41(1), finalement 42 (0) , puis les ayant mis d'ordre alternatif, & ce selon les signes de la proposition (qui sont icy tous-f-) ou aurai (3) -f-41 (1) esgale à 12 (2) -f- 42 : lesquels remis en ordre postérieur 1 (S) sera esgale à 12 (2) — 41 (1) -f- 42 : laquelle est apareillée poilr résoudre : dont les trois solutions seront les trois nombres requis, & ainsi s'entendra des sraiblables questions.
Ilpourroit sembler à quelqu'un que les fiictions seroyent encor expliquables autrement que dessus, comme au lieu de dire, la somme: les pro-. duits de deux à deux; les produits de trois à trois, &c. qu'on pourroit dire ft plus simplement: La somme: la somme des quarez: la somme des Cubes, &e. ce qui n'est pas ainsi, car soy eut plusieurs solutions, la somme sera pour le premier meslé, la somme des produits deux à deux pour le seoond meslë, &c. comme il a esté su£Bsamment expliqué; mais il n'en est pas ainsi des puissances comme on pourroit objecter.
Exemple.
 premier meslé.
B second.
Soit (C troisiesme.
D quatriesme.
•Ion en toQ- 1 A Q — B2
te sorte d*»» t
qnatioB. JAcub — AB8-f-CS
Aqq— AqB4 + AC 4 + Bq2 — D4
solutions quares Cubes quaré-quarez
Et pour mieux expliquer le tout, soit 1 (4) -f- 35 (2) 4- 24 esgale à 10 (S) + 50 (1) : l'ordre des mesles est 10. 85. 50. 24 pour A, B, C, D, cy-dessus : tellement que 10 est voirement la somme des solutions qui sont (1, 2, S, 4.) Or A q — B 2 , c'est à dire le quarré de 10 — deux soit 85 c'est la somme des quarres, ft ainsi du reste ; soit aussi qu*on
F 2 prenne
prenne une équation dont la haute extrémité loit telle qu*on voudra^ & avec des solutions de — , cecy s'ensuivra tonsjours; qui monstre que telles puissances (quarrez, Cubes^ &c.} cy dessusdits, ne font pas les mesles, mais au contraire, les meslez les font : bien loin de la simplicité des factions.
On en pourroit autant dire des proportionnelles là où on trouveront que les factions font les meslez, & non pas les proportionnelles si simplement, caries factions sont faites sur les solutions , & les solutions sur les proportionnelles.
Exemple.
Soit 1 (S) esgale à 8 (2) -|- 12168: alors il y a quatre nombres continuellement proportionaux, 8, 12, 18, 27, dont le premier est 8, & la somme du ij & iiij est V 12168 divisé par 8 (qui est 39) & la 1 (1) vaudra la somme de la j & iij. (qui est 26.)
le ne veux pas dire que les proportionnelles soyent à rejetter, nullement, car ce sont autant de proprietez, & de cecy voyez Viette au livre De RecogniiUme EquaiUmum,
Davantage une solution estant cogneue, on peut retbettre en question les autres sans mémoires ny livre quelconque, dont les exemples cy-dessus en font foy* Voyons en encor quelques uns.
Soit 1(4) esgale à 6(8) -{- 9(2) — 94(1) -f 120, & une valeur estant trouvée 2, on pourra remettre les autres trois en question : les meslez sont (comme l'ordre alternatif l'enseigne) 6. — 9. — 94. 120: Ce qui se peut faire sans peine (mais plus long chemin) par les postpositions ou bien en raisonnant: puis que la somme des quatre nombres est 6; nous avons 2, les trois autres seront ensemble 4, lequel on posera a part comme premier mesié de trois nombres requis, ainsi -(-* 4 (2). Et d'autant que le produit gênerai estoit — 120, iceluy divisé par 8 viendra — 60 pour le solide des requis que je mettray avec ledit 4 (2), n'importe comment.
Et puis que le produit de deux à deux estoit — 9: d^iceluy il faut oster le produit du 2 trouvé par la somme des trois requis 4, qui font 8, osté de — 9 reste — 17 pour les produits de deux à deux des requis (ce qui se pouvoit aussi trouver autrement en ayant un exemple devant soy) lequel comme second meslé sera — 17(1), &pource qu'il m*en faut trois , la maxime sera 1 (3) ; & ainsi ay tous les meslez qu'il faut
avoir.
avoir^ les posant en ordre alterne avec les mesmes signes ainsi
1 (8) — 17 (1) esgales à 4 (2) —60 pnis si Ton veut en ordre postérieur tiré de là» ^
1 (S) esgale à 4 (2) + 17 (1) ~60
Que si on trouve encor une solution d'içy comme 8 ; on pourra trouver les deux autres ^ faisant de mesme que dessus, on trouvera
1(2} esgale à 1(1) +20
Là où 1 (1) vaudra 4 aussi — 6 , parquoy les quatre solutions requises de la première équation seront 2 , 8 , — 4 , 6. & ainsi des autres : sans cercher toutes les reigles imparfaites que Yiette en a donnée
Il 7 a de la determinaison aux équations comme nous en avons fait mention çy-dessus.
Soit 1 (2) esgale à 6 (1) — 10 (impossible d'estre esgal)
car la ^ est 8
son quarre 9
avec — 10
— 1 duquel il fiiut extraire la V > ce qui n'est pas en la nature, donc ce 10 est trop, 9 estoit le plus haut. Soit 1 (S) esgale à 12 (1) — 18 (impossible d'estre esgal)
car le -{^ est son Cube 64
9 qui est \ de 18 81 son quarrë.
Et puis que 81 est plus que 64, l'équation est impossible & inepte: ce qui a aussi esté dit auparavant, donc 18 est trop, veu que 16 eust esté au plus haut,
Cecy est propre ; 1 (3) esgale à S (1) — 2 en petits nombres.
Soit 1 (3) esgale à 12 (2) — 257 (ce qui n'est possible d'estre esgal) car les I est 8
Son Cube 512 sa I est 266
avec — 257 ce nombre estoit au plus haut d'e-
— 1 stre 256 , parquoy 257 est trop.
Cecy est propre 1 (8) esgale à 3 (2) — 4, fc le 4 est an plus haut.
F 3 Soit
Soit 1 (4) esgale à
car les } est
son quarrë-quarré 6561
son I est 2187
avec — «189
12 (S) — 2189 (aussi inepte)
ce nombre est trop, estant 2187 il seroit an pins haut
lusques icy nous n'a?ons encor explique à qnoy servent les solutions par moins , quand il y en a. La solution par moins s'explique en Oeometrie en rétrogradant^ & le moins recule ^ là où le -}- avance.
Problème éPIfèClinaison.
Soyent deux lignes droictes D 0> B C , se couppant en angles droits en O^ & indéfinies j & du poinct A (dans la ligne qui couppe l'angle droit O en deux esgalement^ ainsi que A B O F est quarrë, dont chacun costé est 4) on mené une ^ ligne ANC, ainsi que l'intercepte NG (entre les lignes données a angles droits D6, B G) soit V 153 9 on demande la longueur de F N.
Ayant fait la position de FN 1(1)> on trouvera que 1(4) sera esgale à 8(8)4- 121 (2) -j- 128 (1) — 256 ; & ainsi la valeur de 1 (1) recevra quatre diverses solutions.
assavoir
FN
FD
monstrant le poinct Oi ,
monstrMtlepomrtHr^P""^^
Assavoir monstrant lesdits poinets 6&H, comme si les distances F G, F H estoyent moins que rien , en rétrogradant , prenant que F N, FD avancent, & FO, F H reculent en arrière, tellement donc que les
interceptes
interceptes CN, DP, OL^ HK, tendent & s'enclinent au poinct A , fÎEdsant chacune V ^^^ ^ selon le requis*
Et pour l'interpréter encor mieux ^ les deux solutions qui sont moins que 0, se doivent changer^ assavoir les signes.
*T— VHp^'^'^ F g.
viendra r*~^**P^''" ''• ^'^^^"'tA^+VéipourFH.
Lesquels il faut poser au contraire de FN , F D^ comme il est exprimé en la figure précédente : & ainsi le faudra-il entendre de toutes solutions par moins, qui est une chose de conséquence en Géométrie j incogneuë auparavant.
S'ensuit aussi la manière de traicter les postposëes quantitez, lesquelles servent de beaucoup à la résolution des problèmes. Car combien que par cy-devant on s'ayt servi des mesmes > ce n'a pas esté avec un si grand esdaiicissement , ce que j 'aj mis icy pour finir le présent traicté d'Algèbre.
Des postposées quantitez en l'Algèbre.
STevin & ses devanciers comme Cardan, selon qu'il le cite es six Théorèmes après le 80* problème de son Arithmétique, pag. 365 de la nouvelle édition, dit que l'invention de la postpoiée prime n'est pas encor trouvée, quand il 7 a un multinomie de ces postposées, b a ceste fin il se sert de quelques proportions qu'il dit av<nr tiré du livre intitulé Ars magna, chap. 10. dudit Cardan ; l'ay entrepris de monstrer la facilité & la resolution de ce qu'il dit n'estre encor légitimement trouvé, afin que telles choses ne soyent doresnavant plus incogneiies; Or pource que la marque de 1 sec. (1) pour postposée quantité signifiant 1 (1), secondement posée est trop prolixe, je prendray A pour la seconde (1).
du premier Théorème.
Soyent 1 (1) M sec. (1) -f- 6 sec. (1) esgales à 8 (1). c'est à dire selon nostre supposition , qui est plus claire.
A(l)-f 6Ae8galesàS(l) Divisons tant le subject, que le comparé par 1 (1) -|* 6
alors A ou bien 1 sec. (1) sera esgale a
Queêtitm
Quetiion du deuxiesme Théorème.
Soit 1 (1) M sec. (1) esgale à S sec. (1) + 4 (1) cest A (1) eagale à 8 A + 4 (l) ostons de chacun costé 8 A ^ car il faut mettre ensemble les A^ restera
A(l(l)— 8)e8galeà4(l)
4(1) Divisons tout par 1(1) — 8, on trouvera que A vaudra . ,i\q
Queitwn du troirieeme Théorème.
Sojent 10 sec (1) esgales à 1 (1) M sec. (I) -f S (I) cest 10 A esgales à A (1) -f S (1) ostons A (1) de part & d'antre^ & le reste divisé par 10 — 1 (1), alors
A ou 1 sec. (1) vaudra 2^tjj|,iQ
Quetiion du quoMeeme Théorème.
Soit 1 (2) esgale à 8 (1) M sec. (1) + 20 sec. (1) cest 1 (2) esgale à 8 (1) A + 20 A
divisons tout par 8 (1) -}- 20
alors Q /|\ I on ^^^ ^ valeur de A ou de 1 sec. (1)
Quteliim diu dnqiAeeme Hieoreme.
Soit 1 (1) M sec (1) esgale à 2 (2) + 4^ sec (I) cest A (1), esgale à 2 (2) + 4| A ostons 4^ A , & divisons par 1 (1) + 4^
4(2) alors A ou 1 sec. (1) vaudra ^ .,. ^
QueetUm
Question du sixiesme Théorème.
Soyent 4 lec. (1) esgale à 1 (1) M sec. (1) + 6 (2)
cest 4 A esgale à A (1 ) + 6 (2)
ostons A (1), puis divisons par 4 — 1 (1)
alors A ou 1 sec. (1) vaudra — , .,/ , .
Question il de Sievin devant les livres de Diophanie, page 402 de la nouvelle eéUion: qui est aussi la quatriesme Question de Cardan, chapitre 10, livre 10, seulement les nombres changez; là oikles susdits aulheurs au nom de tous ceux de leur temps, ne Vont pas sqeu résoudre sans Paide de la quatriesme Question susmentionnée,commeStevinkcon/esselàmesme: tellement quenauslaresou' dronspar la mesme voye, horsmis oHntlVa trouvé incommode.
PArtons 26 en trois parties continuellement proportionelles, ainsi que le quarré de la moyenne, soit esgal à la somme da double du prodnict de la moyenne par la moindre, & le sextuple de la moindre.
Soit la moyenne partie requise 1 (1)
Et la moindre A
Le quarré de la moyenne 1 (2)
Est esgal au double du produict de la moyenne, par
la moindre 2 (1) A, avec le sextuple de la moindre
