III. Nowdk Hfpoihe$e
Suyvant la première hypothèse > que l'angle droit solide (qui est un des 8 angles du cube) soit 90 degrez angulaires, alors tout le lieu solide a l'entour d'un poinct contiendra 720 degrez, qui sont 8 angles droits solides, tellement que tous les angles solides vaudront autant de degrez angulaires, que la superfice sphericque en contient, laquelle ils ont pour base, estant leur sommet au centre; & ainsi des secteurs, assavoir que la solidité de la sphère soit de 720 degrez solides.
On remarque icj, que comme il faut autant d'angles droits superficiels a l'entour d'un poinct, qu'il y en a à l'entour du quarré; qu'aussi il faut autant d'angles droits solides^ a l'entour d'un poinct, qu'il y en a à l'entour du cube : c'est hypothèse n'a besoin d'explication.
Definiiion.
Untriangkêpherkquewee deux eaUez chacun de ^^ degrez t^appeUefibul-le: 4r Pangkqu'iiêcompremnenieaiani aigu, iceUenra dUefibttUe aiguë, Sfamti de PobtuH 4r redangk.
Le9MiÊe I,
Soit A pôle , du cercle B C majeur ou mineur sur la superfice de la sphère, & deux grands arcs du pôle A B, AC ; alors telle partie que A est de quatre droits , tdle partie sera le triangle ABC de la superfice sphericque comprise par iceluy cercle B C : la démonstration est manifeste.
LeiMM 1 J.
Deux arcs d'un œesme cercle, chacun n'excédant le quadrant, &
soyent
sojrent trouvé leur Sinus & Tangentes , comparant le grand au petit ; il y a plus grande raison de Tangente à Tangente, que d'arc à arc: semblablement il y a plus grande raison d'arc à arc que de Sinus à Sinus.
Soit ABC quadrant , & B D , B F, deux arcs chacun moindre à BC , leurs Tangentes B H> B O Je dis que comparant le grand au petit que H B aura plus grande raison à B O.
que non pas l'arc D B à B F.
Car ayant menée par F, la touchante FB"*"), & BFK, & de K la parallèle KM à B H : Alors icelle M K sera moindre à O H : aussi FD sera moindre à la touchante FP, & FP moindre à FK (car F PK est obtus, veu que AP F est aigu , d'autant que A F P est droit) Or on amoindrit la raison en amoindrissant l'antecedant, ou en augmentant le conséquent, parquoy
H O à OB est une raison, à laquelle MK à GB, ou KF à FB est moindre
DFàFB DFàFOB * Donc HO aura plus grande raison à OB, que DF à FOB, & en composant H B Tangente, aura plus grande raison, à BO Tangente, que l'arc D B à l'arc B O F, ce qu'il falloit premièrement demonstrer. Touchant l'antre partie, assavoir que comparant le grand au moindre; l'arc aye plus grande raison à l'arc, que le Sinus au Sinus, (lors que chacun arc est moindre au quadrant) la démonstration se pourra voir à la fin du neufiesme chapitre du premier livre de l'Almageste de Ptolomee, que Copernique aussi a mis en ses révolutions , au 6* Théorème du 1 livre.
Lemme III.
Vu Polygone rectiligne, soit régulier ou irregulier, est tel, que les angles intérieurs au long du circuit font autant d'angles droits, que le double du nom du polygone, mais de ce double estez 4.
Soit un heptagone rectiligne, son nom est 7, son double est 14, duquel ostë 4, reste encor 10, donc les angles intérieurs au long du circuit d'un heptagone, font ensemble 10 angles droits; qui valent 900 O 8 degrez
•) Lisez: FB.
degrez, dont la démonstration est aisée, menant d^un poinct de dedans la figure, (oùPonveut) des lignes vers les angles, & des 7 triangles, rabattant 4 droits à Pentour dndit poinct, restera encor 10 droits.
Théorème.
Tout polygone êphericque compris (Parcs de cercles majeurs, tient autant de degrez superficiels, que la somme de tous ses angles intérieurs excède la somme desanglesinterieursd'unpolygonerectiUgnedemesmenom:quandlasuperfi' ce de la sphère est posée estre de7iQ degrez superficiels.
Explication I.
Soit un triangle spbericque dont les trois angles font ensemble 190
degrez: & pource que tous triangles rectilignes n*ont pour la somme de leurs trois angles que 180 degrez, il s'ensuit selon le Théorème que la superfice dudit triangle aura 10 degrez superficiels, & par conséquent puis que toute la sphère en contient 720 des mesmes, il est notoire que le triangle proposé sera la 72* partie de toute la superfice de la sphère. Notez.
Tout triangle sphericque (j'entens compris de cercles majeurs comme
a l'accoustumée) est de telle nature que tous les trois angles font tousjours plus que 180 degrez, qui fait que jamais ny aura défaut en cela de pouvoir trouver l'excez : or tant plus un triangle sphericque occupe de superfice sphericque , tant plus la somme de ces trois angles excède le nombre de 180 : aussi tant moins un triangle sphericque occupe de la superfice de la sphère , dWtant moins la somme de ces trois angles excédera le nombre de 1 80 : mais nous délaisserons cela à la démonstration.
Soit un heptagone sphericque, dont la somme des sept angles inte«* rieurs soit 940 degrez : or la somme des sept angles intérieurs d'un heptagone rectiligne fait 900 degrez , parquoy Texcez est 40 , qui signifient qu'un tel heptagone sphericque contiendra 40 degrez superficiels pour le requis: de mesme si un heptagone sphericque avoit 1020 degrez pour la somme de tous ces sept angles intérieurs (au long du circuit) l'excez se trouveroit 120, pour signifier qu'iceluy heptagone sphericque contiens
droit
droit 120 degrei superficiels ^ qui valent la aixiesme partie de toute la snperfice de la sphère : il n'arrive pas tonsjours que la superfice mesure précisément toute la sphère, mais ce que j'en hj fait est pour tant mieux déclarer mon intention : car si un polygone sphericque de 100 costez avoit 17760 degrés pour la somme de ses 100 angles, on trouvera que sa superfice sera aussi 120 degrez superficiels, qui font la sixiesme de toute la superfice de la sphère; que si la somme des 100 angles eust esté 17850, sa superfice seroit 210 degrez superficiels, qui valent les /,- de toute la superfice de la sphère: finalemeni si on donnoit un polygone ayant trois termes incogneus, & qu'on requière la superfice: il faut cercher les angles, dont la somme cogneuë, & aussi la somme des angles d'un polygone rectili]gne de mesme nom, Fexcez sera la superfice re^ qnise.
Hais pource qu'il seroit besoin de voir un exemple d'une question semblable, si un triangle equilateral a chacun costé de 109 degrez 28 minutes, chacun angle se trouvera estre de 120 degrez, & partant tous trois 860, que si on en oste 180, il restera 180 degrez superficiels, le quart de toute la superfice sphericque 720.
Item un triangle sphericque ayant ses trois costez de 40 degrez ; 70 degrez; & de 88 degrez 80 minutes; alors la somme des trois angles est 192 degrez 5 minutes; (car iceux sont 81, 84. & 180, 8. & 30, 28. je dis qu'un triangle equilateral ayant chacun costé de 88, 50: sçra esgal en superfice au mesme, car ils conviennent à la somme des angles 192, 5. parquoy la superfice sera 12, 5. qui est un peu davantage que la soixantiesme partie de toute la superfice sphericque*
Si un oeil (cest une figure sphericque appellée aussi du angle de deux demy cercles ayant deux angles en tout, & qui «ont esgaux) à un des deux angles de 80 degrez, la somme des angles est 60, duquel il ne faut rien oster à cause qu'un polygone biligne {es fiigures rectilignes) n'est pas polygone, veu que deux lignes droictes n'enferment pas un espace & partant la somme des angles est 0, qu'il faut oster de 60 cy-dessns , restera 60 degrez superficiels pour la superfice de Tœil sphericque; tellement qu'à la somme des angles des yeux, il ne faut rien oster pour avoir leur superfice : Et pour examiner la chose davantage si on le coupe au milieu en deux triangles rectangles esgaux (que j'appelle fibuUe) la superfice de l'un devroit donc estre 80 degrez superficiels : ce qui se trouve estre ainsi, car la somme des angles est 210.
On
On toit facilement la manière de métamorphoser telles figures, en d'autres demesme nom, ou autrement, en d'autres sortes comme les mixtes , (j'appelle mixtes les figures qui sont faites de cercles majeurs & mineurs ; or arc majeur sur la superfice de la sphère est la plus grande, ou la moindre ligne qui se peut faire entre deux poincts, ou si on veut ce sont des arcs qui imitent les lignes droites ; & les arcs de cercles mineurs imitent les courbes sur la superfice pleine.)
Exemple.
Soit ABC triangle sphericque mixte, assavoir B A, A C, arcs majeurs esgaux chacun de 86 degrez 52 minutes, comprenans un angle A de 15 deç gres,& BC aussi estant un cercle mineur descrit sur le pôle A: on veut faire un triangle rectangle sphericque A D £ qui soit esgal au mixte ABC.
Mesure du Mixte.
Le verset de l'arc A B ou A C est fort près de 20000 , qui est la y^ partie du diamètre, partant le cercle entier de B C comprendra la y^ de toute la superfice, c'est 72 degrez superficiels, mais ce secteur BAC ayant 15 d^ez au pôle, sera la ^^ de la targe, (c'est sou cercle entier) or la -j^ de 72 est 8 degrez que contient ledit mixte ABC.
On le pourroit trouver plus aiséement, mais c'est pour m'expliquer, autrement je pourrois dire que pour mesurer un secteur tel que dessus ABC, alors le
Verset de A B multiplié par le nombre de l'angle A
divisé par le raid
sera pour la superfice dudit triangle mixte A B C , A ainsi des autres qui sont secteurs.
Meture du triangle A DE.
Le triangle rectangle ADE doit aussi estre 8 degrez superficiels: par conséquent ses trois angles doivent faire 180 degrez, & encor lesdits 3 degrez; c'est assavoir 188 degrez, mais les deux A, D font desja 105 degrez, donc E sera angle de 78 degrez.
Qui
Qai voudra cercher les costes, il ùluï de nécessité que Phypothenuse A £ soit majeure à A C , au contraire il faut que A D soit moindre que A B ou A C , ce qu'on trouTcra tonsjours accorder en tels exemples qu'on voudra^ car par le quatriesme accident des rectangles sphericques (de mes Tables de Sinus) A E sera 37 deg. 59 min. qui est davantage que A C 86 deg. 62 min. A A D sera 86 deg. 88 min. de nécessité moindre à ABy aussi 86 deg. 52 min.
Touchant la base DE sa comparaison à BC> n'importe pas tant que les autres snsdictes, toutesfois DE est 9 degrés 4 minutes; les 15 degrez de B C sont petits degrez^ comme de cercles mineurs^ que si ou les vouloit réduire en mesme grandeur de degrez , que ceux des cercles majeurs , Sinus de A B est 60000 presque; donc 100000 donnent 60000 combien 15 degrez mineurs ? facit 9 degrez des plus grands^ pour la longueur de BC, lequel sera moindre en longueur à l'arc D £^ 9 degrez 4 minutes. Notez.
On sçait que tant plus l'angle A est petit, & qu'aussi tant plus près l'arc AB est du quadrant > qu'alors tant moins j aura-il de différence entre les arcs A C, AE, aussi entre A D, AB, lesquelles choses recogneuës, il s'ensuit qne la preuve arithmétique de ce Théorème se peut faire (par manière de parler) jusques à l'extrémité, selon la présente manière : aussi que les superfices planes des triangles qui ont les mesmes poincts A, D, E, doivent de nécessité estre moindres que les superfices sphericques A, D, E, qui est encor un autre moyen pour esprouver la vérité de ce mesme Théorème, quand il ny auroit autre démonstration.
Davantage, on voit comment se peuvent remettre en question la manière de coupper les triangles en tant de parties, & ce en telle raison qu'on voudra, par une ligne venant de l'angle ou d'un costé comme on voudra.
Par exemple, soit un triangle equilateral de la douziesme partie de la superfice sphericque, iceluyauraun chacun angle de 80 degrez (car la y^ de 720 est 60 pour sa superfice, auquel adjousté 180, viendra 240, dont le tiers est 80 pour chacun angle) & un chacun costé de 77 d 52 m. 10 sec. mais délaissant les secondes (combien qu'il seroit bon de les admettre en la practiqne des triangles sphericques) & qu'on vueille couper ledit triangle par un arc majeur venant du sommet sur la base, dont l'un triangle soit le tiers du total ; iceluy aura 20 degrez de superfice , que si on divise le total en deux esgalement par une perpend : on aura un petit trian-
H gle
gle rectangle qui tiendra la moitié du requis, cett 1 deg. snperficieb , adjoustez-y 180 deg. viendra 190 pour les trois angles dudit triangle rectangle, ostez-en 90 pour Tangle droit, restera 100 d^. pour les deux autres, or ladite perpendiculaire est 74 deg. 19^ min. alors on trouvera que sa base sera 18 deg* 9 min. 25 sec. environ, & les deux angles l'un 18 deg. 88 min. 44 sec. l'autre 86 deg. 20 min« 43 sec. qui font ensemble 99 deg. 59 min. 27 sec. qui est assez près de 100: finalement les segmens de la base du triangle entier seront 86 deg. 46 min. 86 sec. & 62 d^. 6 m. Pour donc venir à la démonstration de ce Théorème gênerai, je demonstreray premièrement la proposition suyvante qui est espèce d'i« celny.
ProposUion.
Vn triangle sphericque de trois aros majeurs, tient autant de d^rez de superfice, que Texcez de la somme des trois angles sur 180 degrez.
/ Demondration particuUere es fiàuUes.
Soit ABC une fibuUe, assavoir A B, A C, chacun qua« dran, alors l'angle A & Parc BC conviennent en de* grez, & les angles B, C , droits, donc si des trois angles A, B, C, on oste 180 degrez, assavoir B, C, il restera A, or toutes fibulles sont telles parties de la superfice delà sphère, comme la grandeur de la base B C, ou l'angle A, est[à 720 degrez, ce qui est tresnotoire, voire mesme les unes envers les autres, comme leurs bases: donc lasuperfice A B C, tiendra autant de degrez superficiels, que l'ex* cez des trois angles sur 180 degrez.
n Demondration, is triangla rectangles sphericques , ayant un chacun
eotté défaillant : en condumn probable.
SoitBND triangle rectangle sphericque, N angle droit, &soyent produits les arcs, ainsi que BQ, BC soyentquadrans, aussi produit l'arc CO, ainsi que CQR soit quadrant, puis du centre de la sphère O soyent menées OB, OC, OQM, OR, à laquelle OB soit CM pa^ rallele (qui seront perpend. à OC) soit aussi OX perpend. à BO»
Et d'aatant que les trois angles du triangle sphericque BND, font ensemble plus que deux droits de nécessité, aussi que N est droit, les deux B, D, feront plus qu'un droit, mais QC arc, tient autant de degrez que B, dont Fangle D fera plus que l*arc Q B (car C Q B est quadrant) soit B F esgal à l'angle aigu D, ( j'entens en degrez, car les angles Alignes sont hétérogènes) alors les trois angles du triangle B N D feront plus que deux droits, de Tare QF.
Il faut sçavoir que pour trouver l'hypothenuse B D, par la supputation des triangles rectangles sphericques , ayant la cognoissance des angles , ce sera ;
Comme le Baid , à la Tangente de B , ainsi la Tangente de D, à la Sécante de BD, c'est à dire; comme O C à C M ainsi B L à Sécante de B D.
donc ' ^'^Q^^ esgal à Sécante de B D.
Or par le deuxiesme Lemme cy-devant la grand Tangente à une moindre, a plus grand raison que Tare à Parc, donc MC à CK , ainsi QC a moins que CF, (prenons BL commune hauteur en la première raison, & OC commun diviseur: puis OC commune hauteur A QC diviseur en la seconde raison»
EL^MC V aL,CK
