OC.CP
Comme ^^^ à ^^ ainsi OC a moins que^
Le deuxiesme terme a pour numérateur BL, GK, produit de deux Tangentes de complemens, qui vaut tousjours le quarré du raid OC : lequel quarré de OC applicqué ou divisé par OC, viendra encor O C pour le deuxiesme tarme çy-dessus.
Mais par ce qui a esté dit cy-devant que ^^oê'^'' (qui est aussi le premier terme) valoit la Sécante de B D. donc
Comme Sécante de B D à O C, ainsi O C a moins que ^^*" ,
Là où on voit que le rectangle des moyennes est le quarré du raid , lequel vaut tousjours le rectangle de Sécante , & Sinus d^arcs de comple-
H S mens ,
fit* f p
mens. Or B D , D Q sont complemens , donc -^^ sera plus que Sinwt
de DQ, assavoir, QC à CF, sera comme BO, a plus que Sinus de J)(à, prenons donc un arc plus que DQ, & soit GQ, ainsi que OX
son Sinus soit le vray quatriesme proportionel, alors ^^q' vaudra O X , voyia pour un item.
Davantage soit QZ perpendiculaire à OC, & FT perpendiculaire à QZ : 11 faut sçavoir que par les trois angles donnes en un triangle rectangle spbericque , Ton peut par le moyen de la suyvante proportion trouver l'un des costez B N, qui fait Fangle droit.
Comme le Biaid au Sinus de B, ainsi la Sécante de D à la Sécante deBN.
Assavoir que C O à QZ, ainsi O L à la Sécante de BN. Donc ^^"-^ sera esgal à Sécante de BN.
Par le deuxiesme Lemme, un grand arc est au moindre en pins grand raison que le Sinus au Sinus. Or QZ A TZ sont Sinus de QC & CF.
Donc Q C à C F a plus grande raison que Q Z à Z Y.
Prenons O C commune hauteur & Q C commun diviseur en la première raison : de mesme en la seconde raison prenons O L commune hauteur, & OC commun diviseur.
Alors O C à ^^ aura plus grande raison que ^^ à ^^.
Le numérateur du quatriesme terme est esgal au quarré du raid, pource que le rectangle d'une Sécante & Sinus d'arcs compléments est esgal au quaiTé du raid , or le quarré du raid applicqué ou divisé par le raid, fait avoir le raid OC.
Le troisiesme terme ^q^^ est esgal (par la précédente équation) à la sécante de B N.
Donc OC à ^^^ aura plus grande raison que Sécante de BN à OC. Tellement que quarré du raid OC (ou bien le rectangle d'une Sécante de BN, & du Sinus de NC qui sont complément l'un de l'autre, lequel rectangle doit estre esgal au quarré du raid) sera majeur au rectangle
OP f* ff
^^ , &de la mesme Sécante de BN: cesta hauteur commune de ladicte Sécante estant ostée , alors le Sinus de N C sera encor plus grand que^' *). Puis
♦) Lises- ^^jp^
Puis que le Sinus de N G est plus grand que -"^'t prenons un Sinus ,
d'un arc moindre à N C ^ qui soit esgal à ^^^ ; or en la première partie de ceste démonstration on a trouvé que OX (sinus de GQ) 7 estoit esgal ^ & alors ce G Cl devoit excéder l'arc DQ^ A à présent il a esté demonstre qu'il doit estre moindre à N C.
Donc du pôle B soit fait un arc passant par G , il s'ensnit que tel arc doit coupper D N entre D , N^ A terminer dans B N^ en un poinct V, entre N^ C. Yoyla un autre remarque.
Parquoy puis que OX est esgal à-^^''^ alors comme QC à CF ainsi CO ou BO à OX, A par raison converse CQ sera à CtF comme OBàBX«
Or parce qu'on peut inférer des livres d'ArcUmedes , comme O B a B X , ainsi la superfice de la fibule Q B C à la superfice de G B P.
Mais aussi la circonférence à C Q , est comme l'hemisphere à Q B C : d'où s'ensuit une proportion ordonnée.
Circonférence
CQ QF
Hémisphère GBP
QBC
Il s'ensuit que par raison esgale la cir-
d'une part d'autre part
conférence sera à Cl F, comme la superfice de l'hemispbere à GBP, & partant si on menoit B F, alors la superfice de Cl B F
seroit esgale audit GBP, car Cl B F peut
estre le quatriesme proportionel.
De tout ce que dessus, il s'ensuit que la fibule Cl B F (si on menoit B F) a trois angles esgaux aux trois angles du triangle B N D, car ils surpassent deux droits de la valeur de l'arc Q F.
Que telle fibule QBF est esgale à BGP mixte. Et que ledit mixte B G P veut esgaler le triangle B N D puis qu'il le croise tousjours, car G P croise tousjours D N.
Donc la fibule QBF veut esgaler le triangle BD N , ayant tous deux les trois angles excedans deux droits , de la quantité de l'arc O F en degrés : ft par ce qui a esté dit des fibules en la première démonstration ; la vérité du Théorème est manifeste & probable.
Finalement puis que cecy accorde avec nostre Théorème incessamment, tousjours quand mesme ND seroit trespetit jusques à Tinfiny & BD, quasi quadrant, car alors GD ou NP sont tretpetites, & neantmoins GP croise tousjours, il s'ensuit que BGP sera esgal au triangle B N D a la confirmation du Théorème : notez que j'ay esprouvé en
H 8 deux
deux divers exemples que O D estoit plus que double à N P : item que B P ou B Q estoit moindre que la moyenne harmonicque entre B B , &BN.
III Demonitraiion en tous triangles êphericques.
Puis que tous les triangles sphericques se peuvent diviser en deux triangles rectangles , il s'ensuit que la précédente deuxiesme démonstration s'estendra jusques aux triangles sphericques en gênerai ; car tout revient a un : veu que divisant un triangle en deux parties esgales ou inesgales^ on aura deux triangles & 180 degrez plus que devant, que si ou oste deux fois 180 degrei , pource qu'il y a deux triangles ; c'est autant que si du premier on en ostoit 180 seulement.
II II Demonitraiion de iota les polygones sphericques.
La deuxiesme k troisiesme démonstration s'estendent jusques aux polygones sphericques en gênerai, composes de grand cercles ; veu que tout polygone se resoud & descoupe en triangles.
Par les nombres on pourroit faire des démonstrations particulières, aussi en une superfice sphericque enclose par une circonférence (laquelle superfice s'appelle targe) on pourroit mener des lignes de cercles majeurs du pôle à la circonférence. Si faire plusieurs secteurs esgaux ou non, & puis mener des arcs majeurs à la manière des costez des polygones inscrits, & puis comparer les secteurs aux triangles: mais le Lecteur se contentera présentement de la démonstration contingente, jusques a ce qu'ayant plus de loisir je la donne à sa perfection.
On pourra encor voir les choses suyvantes où Ton trouvera matière propre a faire Fespreuve comme aux angles qui sont parties aliquotes des huict droits : de mesme on en trouvera quelques espreuves dans mes Tables de Sinus à la fin.
Du mesurer des angles solides lesquels sont eircuUs de
superfices planes.
Pour faire cela, il faut mesurer les inclinaisons des plans, ft les adjouster ensemble, ft de la somme en oster la somme des angles d'un polygone rectiligne de mesme nom que la base, le reste sera la valeur requise de Tangle solide: Exemple, en la pyramide régulière l'angle solide est compris de trois angles plans, dont l'inclinaison des plans est de 70deg.
32 min.
32 min. il 7 en a trois & esgaux^ ce sera ensemble 211 deg. 36 min. duquel osté 180^ à cause que la figure de la base est triangle^ restera 31 deg. 36 m. pour la valeur de Pangle solide de la pyramide, lequel environ la 22* partie de huict droits, je dis environ, pource qu'il en faut 22| fort près, & ne doute pas quMl ne soit incommensurable au tout, assavoir à huict droits: & ainsi des autres, qui est une manière fort facile à la practique, de mesme des secteurs de sphère»
Corrollaire.
Il s'ensuit de tout ce que dessus a esté dit, que la mesure des angles solides sera facile, & que les cinq corps réguliers ont aussi des angles solides esgaux & pareils au centre; car par le tetrahedre ou pyramide on cognoit que tout le lieu à l'entour d'un poinct peut estre remply par quatre angles solides esgaux, chacun compris de trois angles plans esgaux obtus de 109 deg. 28 min.
L'exaedre ou Cube fait cognoistre que le lieu corporel à Tentour d'un poinct se peut diviser en six angles solides esgaux & pareils, chacun ayant quatre angles plans esgaux, aigus, de 70 deg. 32 min. « L'octaèdre a huict angles droits, solides au centre, qui «ont esgaux entr'eux & pareils, compris de trois angles plans de 90 degrez chacun.
Le Dodécaèdre a douze angles solides au centre, qui sont esgaux entre eux & pareils, compris de cinq angles plans, aigus, chacun de 41 d. 48 m.
L'icosaedre a 20 angles solides au centre, qui sont esgaux entr*eux, & pareils, compris de trois angles plans, aigus, chacun de 63 deg. 26 min.
Devant que de passer outre on remarque icy une convenance avec l'inclination des plans des cinq figures régulières, comme s'ensuit.
Inclination des plans des cinq figures régulières.
Tétraèdre 70 deg. 32 min.
Cube 90.
Octaèdre 109. 28
Dodécaèdre 116. 34) les adjoints de ceux-cy sont
Icosaedre 1 38. 12' mentionnez cy-dessus.
Pour revenir à la mesure des angles solides, compris de superfices planes, soit par exemple qu'un angle solide de cinq plans; dont les inclinations d'iceux plans soyent trouvé de 110, 90, 151, 120, & 118 degrez; la somme est 589, ostez-en 540 (autant font les cinq angles d'un pentagone
