Tome Xni . — Février
(d« second ordre) d'un cercle d'un rayon infiniment petit (du premier ordre), ayant Je point A pour centre; et le théorème énoncé s'applique encore.
19. Le théorème précédent peut s'étendre à des brachystochrones non issues du même point, toutes les fois qu'il existe une trajectoire qui rencontre normalement ces courbes en des points où les mobiles parcourants ont la même vitesse Vq; les arcs AM, AM',... étant alors remplacés par les arcs parcourus dans le même temps à partir de la trajectoire orthogonale.
Il est, en effet, aisé de voir que les raisonnements qui conduisent à l'équation (i) s'appliquent encore ici; seulement la variable ç désignerait alors, par exemple, la longueur de l'arc de la trajectoire compris entre un point déterminé de cette courbe et le point où elle est rencontrée par la brachystochrone que l'on veut caractériser. Cela posé, S devant être nul pour la valeur particulière Vqj R sera nul identiquement, et l'on aura toujours S= o pour une valeur quelconque de (>.
20. Si Ton suppose que la vitesse du mobile soit constante (n° 13) les brachystochrones deviendront des lignes géodésiques, et il est évident que les théorèmes que nous venons de démontrer auront leurs correspondants relativement à ce nouveau genre de lignes [*J.
21. Supposons maintenant que l'on mène, à partir d'une certaine surface, toutes les brachystochrones absolues normales à cette surface; les extrémités M, M',.- des arcs parcourus dans le même temps formeront ime surface dont chaque élément, tel que MM', sera normal à la brachystochrone correspondante AM.
Donc chaque brachystochrone sera normale à la surface lieu des trajectoires.
Pour les lignes géodésiques , cela revient à dire qu'en prolongeant d'une même longueur toutes les normales à une surface donnée, on obtient de nouvelles surfaces ayant les mêmes normales.
[*] Ges théorèmes, dans le cas des -lignes géodéslqties^ ont été établis par M. Gwnss^ dans ses recherches sur la Théorie générale des surfaces. (Mémoires de la Société de Qoitinguef, tonie VI, 1823-1827.)
S2. Revenons au cas où la force donnée est la pesanteur.
On a
dx "~
^ = Vag(2
et
Téquation générale des
brachystochrones
devient
ds sjz — «» ds sz—z^ dY — ^F dx dy
ds
'Z, àz ^/,.
dY dz
Si la surface F(jc,^, z) == o est supposée être un plan vertical, par exemple j^ = o, on a alors fes deux équations
, dx j dz ds t \
ds ^z — «, ds sjz — 2, "* V z — z»
La première de ces deux équations représente, ainsi qu'on l'a déjà vu, une cycloide; la seconde doit donc évidemment représenter la nième courbe.
Si la surface F (x,^, js) = o est un cylindre droit
F {x^ jr) = constante, Tune des équations de la brachystochrone sera
^ ^ ds^Z-- 2„ ^ \lz-^Z,
et cette équation ne changera pas quand on développera le cylindre sur le plan des xz. Or, sous cette forme, et sur le plan des xZy elle représente, comme on vient de le voir, la brachystochrone plane; ainsi, la brachystochrone cylindrique se développe suivant la brachystochrone plane.
Il est clair, d'ailleurs, que la démonstration synthétique donnée (n**8) pour un cylindre circulaire s'appliqve à un C}'lindre droit quelconque.
23. Considérons maintenant le cas particulier où la force qui sol-
licite le mobile est constamment dirigée vers un centre fixe, cette force étant supposée une certaine fonction de la distance /'.
La vitesse (^ sera alors une fonction connue de la distance ; soit
Or on a, en prenant le centre d'attraction pour origine des coordonnées ,
r' = jc' -h r* -4- 2*, d'où
dx
X dr r' dy
X dr z r dz r
les équations de la brachystochrone absolue seront donc, avec Féquation (i), et en observant que -^ = -^ = 9'(r)p
d'où
dx dx
, , K X vds
ds dy
ds dz
, / \ 2 vas
dx
je vds vds
et , par suite ,
vds ^ ' ' vds '
et en intégrant,
[ xdy — j'dx = c" s^dsy
\ on aurait de même ,
1 jdz — zdy = c vdsj
zdx — xdz = c'vds.
PURES ET APPLIQUEES. 69
Multipliant ces trois équations respectivement par z, x^ j, et ajoutant les produits , il viendra
o = vds {(fz H- ex -h c'j)^ ou
ex -h c'y 4- c" z = o ,
équation d'un plan qui passe par l'origine des coordonnées. Ainsi, la courbe est tout entière dans le plan qui passe par le point de départ , le point d'arrivée et le centre d'attraction; ce qu'il était facile de prévoir.
En prenant ce plan pour plan des zx , la courbe sera représentée par les deux équations
ds I
zdx — xdz = kifffs ; en coordonnées polaires (r, ô), cette équation devient
et elle montre que, lorsqu'un point mobile est assujetti à suivre la brachystochrone sous l'influence d'une force émanée du point O, l'aire décrite par le rayon vecteur dans un temp^s infiniment petit est proportionnelle au carré de la vitesse. ^
Il est clair que la projection de la même aire sur un plan quelconque suit la même loi; ce qu'on pourrait d'ailleurs démontrer aisément au moyen des équations (2).
Nous supposerons que la vitesse initiale soit nulle. Dans ce cas, on voit, par l'équation (3), que la brachystochrone est tangente au rayon vecteur qui passe par le point de départ. En effet, cette équation
donne ~ = o, à l'origine du mouvement.
On peut voir aussi que, lorsque les points de départ et d'arrivée sont situés sur une même droite passant par V origine y la hrachysto-chrone nest autre chose que cette droite.
Car on a
et réqiialion (i) deviendra
\ = Av.
d'où
e,-9o=Ajr''^rf/,
l'intégrale étant prise depuis le point de départ jusqu'au point d'arrivée. Or ici 9, = 9o, donc A = o; et l'équation de la brachystochrone se réduit à
d'où
équation de la droite sur laquelle se trouvent, d'après l'hypothèse, le point de départ et celui d^arrivée.
On remarquera que ce théorème est un cas particulier de celui qui a été démontré (n** 16).
