COS Q

en désignant, pour abréger, le dénominateur par A. Il viendra , après quelques réductions,

m)-Amm

dx dy dz

ds dv ds dv ds dv

ds dx ds dy ds dz

ou bien

A cos ô

II v^

r^ vr i r

'" ÀcosO Kvr cos Ô

Or, pour les brachystochrones planes, on a évidemment

cos Ô = o ;

d'autre part, ainsi quil a été dit au dernim* paragraphe du n^ 12, on a, pour les brachystochrones absolues.

Dans les deux cas , on aura donc

ce qui démontre le théorème énoncé [*].

i8. Supposons^ sur une surface F (o:,^, z) = o, une série de brachjrstockwnes issues d'un même point A; soient AM, AM',... des arcs parcourus dans le même temps ^ la vitesse initiale étant supposée la même; le lieu des points M, M',... sera une trajectoire normale à chaque brachjstochrone [**].

Caractérisons chaque brachystochrone, par exemple par Tangle f qu'elle fait, au point de départ, a^ec une brachystochrone particulière, ou par une fonction de cet angle; un point particulier M d'une brachystochrone pourra être caractérisé par le temps t de la

[*] Ce théorème, en ce qui concerne les brachystochrones planes, est dû à Euler, qui Ta regardé comme exprimant la propriété caractéristique de ces courbes. [Mechanica^ tome II.)

[**] Ce théorème m*a été communiqué par M. J. Bertrand, qui le démontre ainsi qu'il suit :

Si l'angle en M' est aigu, on peut faire en M un angle NMM' >• NM/M ; on aura

alors MN<;^M'N: alors le mobile, arrivé en N avec une certaine vitesse, pourra parcourir (sa vitesse ne changeant pas sensilylenient) rélément NM en moins de temps qu'il n'en mettrait à parcourir Télément WM', d'où il résulterait que la ligne AISMserait parcourue en moins de temps que la Kgne AP^M' ou AM ; ce qui est absurde.

descente de A en M. On pourra donc se représenter les coordonnées de chaque point M de la surface , comme fonctions de deux variables indépendantes (f , 9).

Cela étant, si Ton pose

^ dx d.v dy dy dzdz

^ '" dt d^ '^ di d^ ~^ 7td^'

S sera une fonction qui deviendra nulle en même temps que le cosinus de l'angle que font en M la brachystochrone AM et la trajectoire MM' ; or on aura , en différentiant par rapport à t ,

dS d'x dt "" dt^

d-'z dO

dx -^di

dffdt

d'y do

dfdt

dffdt

u bien

dS dt

fd'x

rf.r d.

d'y df

di>

Rappelonr^nous 9 maintenant, les équations de la brachystochrone, et remarquons qu'en mettant en évidence la variable ty l'expression

dx p

pds dx

peut être mise sous la forme

^ i dx ^ V

d pdt -;-

P^ dt dx

ou bien

/ I d*x 2 dp dx ^ ^^\ ^ \ y IF ^ ~?didt p dx)

Les équations de la brachystochrone deviendront alors

d^x 11 dp dx dp d'x dr p dtdt ^^ dx dr

2 dp dy dp d*% ^ ^ ^.^^ "pdtdt^^dy dt^ p dt dt "" dz

d¥ dx

dV " dF ' dy dz

et elles donneront, en multipliant respectivement les termes de chaque

rapport par ^9 ^' rf"' ®* remarquant que ta somme des dénominateurs est alors nulle, et que, par suite, la somme des numérateurs doit l'être,

(d'^x dx d^y dy d^z dz\ 2 dv fdx dx dy dy dz dz\ '^df^drd^'^'dF^)'^'i7t\drd^^dFd^'^d

(dv dx dp dy eip dz\ dx df dy df dz df/^

OU bien

(d^x dx d^y dy d^z dz\ 2 dp /dx dx dy dy dz ^\ dv

'dF d^ '^ 'dF d^ "^ 'dF Jf) "^ 7 di\di d^ ^ dt d!^ ^

2 dp ^

, par suite,

dt s "■

L'intégration de cette équation donnera , en représentant par K une certaine fonction de f seulement,

(i) ' S = Ki'^

Supposons maintenant que les mobiles partent tous du même point avec la même vitesse initiale u^^, dans des directions différentes; il est clair alors que les arcs infiniment petits AM, AM',..., parcourus dans le même temps avec une même vitesse, auront même longueur, et que, par suite, la trajectoire MM',... sera un cercle décrit dans le plan tangent en A, et ayant son centre en A. On aura donc, pour v = v^, So = o, quel que soit <p; ce qui exige que K soit nul , quel que soit f. Et comme d'ailleurs K ne dépend pas du temps, on aura identiquement K = o, et, par suite, S = o, pour toutes les trajectoires; ce qui démontre le théorème énoncé.

Si la vitesse initiale Vq était nulle, les brachystochrones seraient, au point de départ, tangentes entre elles et à la ligne de plus grande pente. Dans ce cas, la trajectoire MM'... est un arc infiniment petit