DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE M. GAUSS

Par m. J. BERTRAND.

(Avec une Note de M. Digubt , élève à FÉcole Normale.)

M. Liouville a publié récemment une démonstration du théorème important de M. Gauss, qui consiste en ce qu'une surface étant donnée , si on la suppose flexible , mais inextensible , quelle que soit la manière dont on la déforme, le produit des rayons de courbure restera invariable en chaque point. Cette démonstration , quoique trèsélégante 9 étant peut-être un peu trop longue pour qu'on puisse l'introduire dans l'enseignement , j'ai cru faire une chose utile en cherchant à la simplifier autant que possible. Les raisonnements auxquels j'ai été conduit diffèrent complètement de ceux qui ont été employés jusqu'ici; le résultat auquel je parviens n'est, il est vrai, qu'un cas particulier de la solution du problème général résolu par M. Gauss; mais ce cas particulier suffit pour la démonstration complète du beau théorème que je viens d'énoncer.

Considérons sur la surface un point O , et soient R| , R, les deux rayons de courbure principaux de la surface en ce point. Concevons un fil infiniment petit dont Tune des extrémités soit fixée en O et qui tourne en restant tendu sur la surface ; l'autre extrémité de ce fil décrira une courbe dont la longueur ne variera pas quand on viendra à déformer la surface, et qui, de plus, pourra être considérée comme décrite sur la surface transformée de la même manière qu'elle l'avait été sur la surface primitive et à l'aide d'un fil de même longueur. Nous allons calculer le périmètre total de cette courbe, et nous verrons qu'il ne peut rester constant que si le produit R, R, est lui-même invariable.

Je remarquerai d'abord que si l'on considère les diverses lignes géo-

PURES ET APPLIQUÉES. 8i

désiques passant par le point O, chacune d'elles a un contact du second ordmavec la section normale correspondante, et, par suite, même rayon de courbure; en sorte que le rayon de celle de ces courbes qui fair avec la section principale l'angle ^ sera donné par la formule

— = :5- sm^ « H- ^ cos* w.

Soit s la longueur infiniment petite du fil qui a servi à tracer la courbe en question , il est évident que si l'on projette cette courbe sur le plan tangent en O, on obtiendra une ligne dont les rayons vecteurs seront les sinus d'arcs égaux à s dans des cercles ayant pour rayons les diverses valeurs de R ; et en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre, on aura

L'élément de longueur de cette projection sera donné par la formule

ou, en négligeant dp* qui contient en £acteur la sixième puissance de ^, dl* =(s-- g^y dtù* = *»^«» - ^ = *'^«'

l'élément de la courbe elle-même sera donné par la formule

dn^ = dl^ H- dz\

z étant la distance des différents points de cette courbe au plan tangent en O. Or cette distance est , en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre ,

on a donc