Tome XUI. - MAft8i848. I I
ce qui donne
d'où Von tire, en extrayant la racine carrée, et négligeant les puissances de s supérieures à la quatriènie,
g^ (3sin* « — 4 sin* w) j
dfô yr=r-» (3 COS^ W — 4 COS* o) / *
ria = Ww -f- j'rfcù ^ -f- dw g^, (3
5 ~^^ sin' G) COS* (0
^ Kill.)
En intégrant de o à aTr, et remarquant que
(3 siii* w — 4 sin* w) rfw = o ,
(3cos^ 0) — 4cos* «) r;^(k) =0,
sin^ w cos* w rfw = 7?
on trouve
^ns
Cette expression ne dépendant que de R^ Rj, et 7 ne devant pas changer c|uand on déforme la surface , le produit R| Ra doit lui-même rester invariable; ce qui est précisément le théorème de M. Gauss.
Dans la déformation de la surface, le contour que nous venons de calcider doit non-seulement conserver la même longueur, mais il doit en être de même de l'aire renfermée dans ce contour. M. Diguet, élève de TÉcole Normale, à qui j'avais fait cette remarque, m'a remis le calcul suivant, qui conduit à l'expression de cette surface infiniment petite , et peut fournir, par conséquent , une nouvelle démonstration du théorème de M. Gauss.
Note de M. .Diocbt.
Par un point A d'une surface, on mène différentes lignes géodesiques, telles que AM, sur lesquelles on prend une longueur constante infiniment petite AM = s. Le lieu des points M forme une courbe fermée infiniment petite, dont je vais calculer la longueur et Taire.
Les équations différentielles de la ligne géodésique AM sont, comme on sait,
Et si l'on développe en série les équations de cette courbe , en prenant l'arc pour variable indépendante, on aura
ldx\ ld^x\ s' /d^x\ s"
Z = Zq -h
(dz\ fd^z\ s^
L'équation de la surface donne
dz dx ^ djr
d's d'x d'y dx* tir dr , <fy'
dF=PW^^lF-^''d?-^'"'dlt-^'dP-^ on trouve d'ailleurs , en différentiant les équations (i),
d*x d*z /dot dY\ d^9
d»r d>i ( dx , dr\ d*i
Gela posé, je prends pour axes de coordonnées les tangentes aux sections normales principales et la normale au point A. J'appelle a l'angle que la tangente en A à la ligne AM fait avec l'axe des x.
J'aurai alors, à cause des équations précédentes et de ce choix de coordonnées,
(-^j = — r(rcos^a -4- ^sin^a)cosa, ( -~7 j ' = — ^ (r cos^ a -4- i sm* a) sin a. Les équations de la ligne AM deviennent donc
X =^ S COS a — i^ ''(^ ^'os^ a -h ^ sin^ a) cos a -f- . . ., (a ) < j^ = ^ sin a — g ^ (r cos^ a -^ t sin* a) sin a -h .. .,
z = - (/'COS* a -h ^ sin* a) -h —
Si maintenant je suppose que s soit constant et égal à la longueur infiniment petite assignée précédemment, et que je^r^arde a comme variable indépendante, ces équations seront celles de la courbe infiniment petite demandée.
Soit (7 la longueur de cette courbe , on aura
Substituant les valeurs de rir, djTj dz tirées des équations (2) , et faisant les réductions convenables, on trouve
ri(j = da.sU ï ^ -h...,
et en développant le radical d'après la formule du binôme ,
= dcc.s ( I ^ -h... jî
da
d'où
nnrts*
(7= an* 6
Ri, R,. désignant les rayons de courbure principaux. Soit X l'aire de cette courbe , on aura
rfX = dxdjr v^i H- y?" -h q^ ; je pose
V est une fonction de x et de j^. J'aurai donc Or on reconnaît aisément que
Vo=I,
H en résulte
donc
d\ = dxdj [ H- i (r»a:» + <»j*) 1,
et , par suite , «o, Xt désignant les valeurs extrêmes de x , •k = tif''dxf'^dj[i-h'-{r*x'-hty)l,
X = .£"dx[jr^l[r»x>^'-Ç)j].
Je prends a pour variable indépendante , et je calcule
ydx -4- i \r^x^ -\- -^A ydx
en fonction de cette variable au moyen des équations (a) , et je trouvp , en négligeant toujours les puissances de s supérieures à la quatrième, que cette quantité est égale à
— s^ sm' a rfa -h ^^^ (i — a cos" a).
O Hi K} '
Si donc on remarque que les valeurs de a correspondant aux limites Xo et x^ sont tt et o , puis si l'on renverse 1^ limites , on aura enfin
sin* arfa — T^jâ" / ^^^^ ^^ "^ 3Tr" / ^^"* ^ cos'a rfa. Or
Donc
/ sin"adbc=:
I sin"acos"«dbc= g-
SUR LE MÊME THÉORÈME; Par 91. Pl}ISEt5X.
(Extrait d'une Lettre à M. Liouville. ]
H Besançon, le 12 janvier id^S.
»... Vous ayez clonné dans le cahier de Juillet 1847 ^" Journal (le Mathématiques une démonstration d'un théorème de M. Gauss. La lecture de cet article m'a rappelé qu'il y a un an environ, j'avais rédigé une démonstration de la même proposition : elle est cotnprise implicitement dans la méthode plus générale que vous avez suivie; rependant, comme elle n'exige que des calculs assez simples, pentètre jugerez-vous à propos de la publier. Je la transcris :
» Étant données deux surfeces, on peut toujours ^ et cela d'une infinité de manières, faire correspondre chaque point de l'une à un point de l'autre, de façon qu'à toute figure tracée sur la première réponde une figure tracée sur la seconde. Nous dirons que les deux surfaces peuvent se transformer l'une dans l'autre , si l'on peut faire en sorte que les arcs correspondants soient égaux : cette condition remplie , il s'ensuit que les aires et les angles correspondants sont aussi égaux , comme on le voit par la décomposition des surfaces en triangles infiniment petits.
» Cela posé , le théorème énoncé par M. Gauss est le suivant :
<i Si deux surfaces peuvent être transformées l'une dans l'autre , le » produit des rayons de courbure principaux en chaque point de » Tutie est égal au produit de ces mêmes rayons au point corresw pondant de l'autre. »
» Pour le prouver, observons d'abord que si l'on trace sur la première surface une ligne géodésique, c'est-à-dire qui soit la plus courte entre deux de ses points , la ligne correspondante sur la seconde surface sera aussi une ligne géodésique : car si entre deux des points de cette dernière on pouvait mener une plus courte ligne sur la
secoude surface, il existerait aussi entre les deux points correspondants sur la première surface une ligne plus courte que la ligne géodésique qui les joint: ce qui est contre la définition.
» Imaginons maintenant que, par un point A de l'une de nos surfaces, on mène toutes les lignes géodésiques qui y aboutissent, et qu'on prenne sur chacune d'elles un petit arc d'une même longueur <j; les extrémités de ces arcs formeront une courbe fermée. Faisons la même construction sur la seconde surface à partir du point A' correspondant à A; nous obtiendrons une nouvelle courbe fermée qui sera la correspondante de la première, et devra, par conséquent, avoir la même longueur. De cette égalité résulte, comme on va le voir, le théorème en question.
» Soient Xj jr^ z les coordonnées d*un point de la première surface; faisons, suivant Tusage,
dz = pctûc -i- qdjr, dp = rdx -H s djy dq = s dx -h tdf^
d'où il suit
d^z = pd^x 4- qd^jr -h rdx^ -+- ^sdxdjr -h tdj^.
Appelons s l'arc d'une ligne géodésique passant au point (x^jr^ z): on sait que le rayon de courbure de cette ligne est normal à la surface; il en résulte, en prenant s pour variable indépendante,
d^x -h pd^z = o^ d^jr -^ qd^z= Oj
d'où , en différentiant ,
d^x -4- pd^z -h {rdx -h sdy)d^z = o, d^jr 4- qd^z-\- {sdx -h tdy)d^z = o.
De plus, si nous appelons |, y?, Ç les coordonnées de l'extrémité d'un arc égal à 7 porté sur cette ligne à partir du point [pCyj^ z), nous aurons
dr d'^Y <r» d^r <H
' ds ds* a
» Supposons maintenant que le point {x^jr^ z) soit le point désigné ci-dessus par A; prenons ce point pour origine des coordonnées, l'axe des z étant dirigé suivant la normale à la surface , nous aurons
On peut d'ailleurs disposer de Taxe des x de façon que Ton ait ^ = o. Il suit de ces hypothèses, et des équations écrites plus haut,
dz = Oj d^z = rdx^ h- tdy"^^ d^x = o , d^f = o , d^x -+- r^dx^ + rtdxdjr^ = o, d^j -+- rtdx^dy -^ t^dj^ = o.
Nommons a Tangle que fait avec Taxe des x la tangente à l'arc 7 menée par l'origine , de sorte qu'on ait
dx dy
^ = cosa, f = sina;
nous en conclurons
--- = r cos^ a •+- ^ sin* a .
-^ = — r* cos* a — ri cos a sin* a ,
-77 = — rf cos* a sin a — t^ sin' a ,
ds^
et, par conséquent,
Ç = <7Cosa -— ^(r*cos* a -+- r^ cos a sin* a) -h...,
>7 = <7sin a — g (ri cos* a sin a -t- ^* sin* a) -h...,
Ç = — (r cos* OL-h t sin* a) -+-....
En donnant à a toutes les valeurs de zéro à 2 tt , on aura successivement par ces formules tous les points de la courbe fermée définie plus haut. Si maintenant nous désignons par X l'arc de cette courbe, lequel est une fonction de a , pn aura
rfX= Vrf?*^t/y3*-+-rfÇ*, ou bien , en ayant égard aux valeurs précédentes de Ç , >3 , Ç et obser-
