DES LIGNES GÉODÉSIQUES ET DES LIGNES DE COURBURE

SUR L'ELUPSOÏDE}

Par m. Michael ROBERTS.

Dans le numéro tie janvier 1846 de ce Journal, j'ai tiré quelques conséquences iptéressantes de l'intégrale première de l'équation différentielle du second ordre qui appartient à une ligne géodésique sur un ellipsoïde à trois axes inégaux. Cette équation , donnée pour la première fois par M. Jacobi , a été mise par M. Lîouville sous une forme très-élégante, qui exprime par elle-même toutes les propriétés auxquelles je fais allusion. L'article actuel aura pour objet de présenter l'intégrale seconde de l'équation d'une ligne géodésique qui passe par un ombilic de la surface d'une manière très-expressive , qui fera connaître beaucoup de propriétés curieuses, tant des lignes de courbure que des lignes géodésiques elles-mêmes.

Adoptons les notations employées par M. Liouville dans son article inséré au tome IX de ce Journal , page 4oi , sauf un léger changement qui consiste à substituer à la lettre p la lettre a , en sorte que le grand axe de l'ellipsoïde sera désigné ici par 2 a. Soient O, O', O^^, O"' les ombilics de la surface. Pour fixer les idées, nous supposerons que O