Tome XIII-JAHviRii

er (y sont deux foyers intérieurs des lignes de courbure représentées par ]*équation /x = constante; O" et O*' seront les ombilics opposés à C) et O'. On a généralement aux ombilics |ul* = v* = 6*; mais nous admettrons d'ime manière plus précise que pour l'ombilic O on a ^ = 6, V = 6, tandis que |UL = 6etv= — 6 pour Tombilic O'. Maintenant soit OP une ligne géodésique passant par l'ombilic O, et dont P ou (|UL, v) est un point quelconque. On sait que pour une telle ligne la constante ]3 = A*. Les lignes géodésiques OP sont donc toutes représentées par l'équation

et ne dififèrei^t que par la valeur qu'on assigne à la quantité constante a. D'un autre côté , chaque ligne sera évidemment déterminée par l'angle POO' = (ù qu'elle forme avec la section principale qui contient les ombilics. Il résulte de là que la quantité a est une fonction de w. Nous ferons donc a = F (ûi))> et en différentiant l'équation précédente dans Thypothèse de |ul, v, w variables simultanément, nous aurons

Soient maintenant [x = b-hTn^v = h-'î; en opérant ces substitutions dans l'équation (i), elle devient

dn j a^-.h^^7.hn^n^ __ d% / a' — ft»4- 2fti — i» ___ .^ , v

.ô^4-„«y c«— ft» — 2ft>i — »» 2ftc — £» V c»— ft»-+-2ftf — c» "" ^^' '

OU

'"'M=.Tv/°^:

/ 2 ft

dn A / a»— ft»

a» — ft»

c»--ft»

</• ^ / "'"g»— ft»* fl»~-ft» |

Faisons marcher le point P sur la ligne géodésique OP déterminée par

Tangle cj, de manière à rapprocher indâSniment ce point de FombUic O où Ton a |UL = &, V = 6. En même temps que les quantités >7 , s convergeront ainsi vers zéro, le second membre de celte équation tendra à devenir

D'un autre côté, si nous désignons par 6 l'angle compris entie l'arc OP prolongé et un second arc géodésique O'P passant par l'autre ombilic 0\ et si nous observons que cet angle est le double de l'angle désigné par i dans le Mémoire de M. Liouville , nous aurons

doù

{b -h nY cos» ^ + (A - €)' sin* { =■ *%

Or l'angle u est la limite vers laquelle tend l'angle 0, quand )? et £ se rapprochent indéfiniment de zéro: on a donc, à la limite,

- = tang»-; par suite ,

L'équation (i) devient, dès lors.

ép \/^: + ïéj v^. = VS^: «""S •""« i-

et l'on en conclut, en intégrant,

Pour déterminer la constante C , considérons la ligne géodésique particulière qui passe par le sommet de l'axe moyen de l'ellipsoïde, c'està-dire par le point pour lequel jm = c, v = o. Â cause de la symétrie

de la surface , et en se rappelant que toutes les lignes géodésiques qui partent d^un ombilic vont aboutir à l'ombilic opposé, on voit aisément que l'angle g> doit alors être droit [*]. On peut donc faire à la fois

IX = c, y = o, w = ^,

et de la résulte G = o. Ainsi, l'équation de la ligne géodésique OP peut s'écrire définitivement de la manière suivante :

L'équation de la ligne géodésique O'P qui passe par l'ombilic O' sera de même

Le signe de la seconde intégrale est changé , et l'angle w ou POO' est remplacé par PO'O ou ck)'.

Les équations (a) et (3), combinées par addition et par soustraction, en fournissent deux autres, l'une entre [x, cû, w', 1 autre entre v, w, tù\

[*] J'ai déjà fait cette remarque dans une Lettre à M. Liouville (tome XII de ce Journal, page 49^)9 ^^ j'^^ ^ conclu qu'on peut passer sur Fellipsoîde d'une des extrémités de Taxe moyen à l'autre par trois chemins géodésiques distincts dont les longueurs sont les demi-circonférences des sections principales de la sur&ce. Il est bon d'ajouter que cette dernière proposition se lie à une certaine propriété de deux points D , D' situés aux deux extrémités d'un diamètre quelconque de l'ellipsoïde. En effet , si l'on joint le point D à un ombilic O par une ligne géodésique , celte ligne qui passera également par l'ombilic opposé 0*' devra évidemment passer aussi par le point D'; et il est clair que la distance géodésique DD' sera égale à 00'^ c'est-à-dire à la demi-circonférence de la section principale perpendiculaire à l'axe moyen. A ce chemin géodésique de D à D' s'ajoutera un second chemin sur une section principale perpendiculaire au grand ou au petit axe, si D et D' sont situés sur une telle section, et même deux chemins, si D et D' sont sur les deux sections à la fois , c'est-à-dire sont aux extrémités de Taxe moyen. Voilà bien ce que nous avions trouvé d'abord en discutant séparément ce dernier cas.

PURES ET APPUQUÉES. 5

En supposant /x ou v constante, on a ainsi la relation qui doit exister aux divers points d'une même ligne de courbure entre les angles o, o)'. Cela conduit aux théorèmes suivants :

I. Soient O, O' les ombilics dont nous venons de parler, et P un point tel que

tang tang = constante [*] ,

le lieu de P sera une des lignes de courbure données par l'équation

[X = constante.