THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L'INDUCTION

Pab F.-E. NEUMANN,

Professeur à rUniversiié de Kœnigsbcrg.

(Lu à r Académie des Sciences de Berlin, le 27 octobre i845.)

Traduit par M. A* Bravais.

Lorsqu'une résultante magnétique ou électrodynamique, appliquée sur un élément d*un conducteur, vient à changer de grandeur, il se développe dans cet élément une force électromotrice qui, dans le cas où il appartient à un circuit fermé, fait naître dans ce circuit un courant électrique connu sous le nom de courant d'induction, courant induit. Nous supposerons que la rapidité avec laquelle varie la résultante considérée soit notablement moindre que là rapidité avec laquelle le courant induit se développe, de sorte qu'à un instant donné , le courant induit puisse être considéré comme conservant la même valeur pendant un laps de temps à la vérité très-court, mais suffisant pour que les lois de Ohm soient applicables. On voit que cette restriction range dans une catégorie à part les courants induits développés par des décharges électriques ; ainsi les considérations qui vont suivre ne leur seront pas applicables.

L'élément induit peut être filiforme, lamellaire , ou de forme quelconque. Dans le premier cas, rinduction sera dite linéaire, et c'est Texamen de ce cas particulier qui forme le but' du présent Mémoire. Il est d'ailleurs plus simple à traiter que les deux autres , puisqu'ici la route que doit suivre l'électricité est déjà définie , tandis qu'elle ne l'est pas d'avance, lorsque le conducteur est étendu suivant plusieurs dimensions. J'examinerai les lois relatives à ce dernier cas, dans un second Mémoire. Je ne parlerai pas non plus des courants développés par le changement de forme des conducteurs, ni de la réaction exercée par le courant induit sur le courant inducteur ; mais les principes nécessaires à la solution de ces nouvelles questions ne diffèrent pas de ceux que nous allons développer [*].

[*] L''fiutear place ici un résumé que le Iraducteor a cru deroir renvoyer à la fin du Mémoire. Tome XllL - ATaii 1848. 1 5

ii4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Pour déterminer la direction qu*adopt9 un courant induit , Lcnz a établi la loi suivante : « Lorsqu\in conducteur métallique se meut dans le voisinage d'un courant » électrique ou d'un aimant, le sens du courant induit doit être tel , qu'en le supposant u établi dans ce conducteur, au repos, il détermine le circuit induit à se mouvoir u dans la direction opposée à celle du mouvement primitif, ce mouvement primitif » et son opposé étant supposés être tes seuls dont le circuit induit soit susceptible. »

On sait, d'autre part, que « l'induction qui se produit alors, dans un temps très- » court et déterminé, est proportionnelle à la vitesse avec laquelle se meut le conduc- » teur. »

En combinant entre elles ces deux lois, on peut obtenir une loi unique de l'induction, comme je vais l'établir dans ce Mémoire.

Et d'abord la loi de Lenz peut s'énoncer de la manière suivante : « L'action électro- > dynamique exercée par le courant indtictdttr sur le courant induit, étant décomposée » suivant la direction du mouvement du circuit induit, est toujours négative (c'est-à-dire w contraire à ce dernier mouvement). »>

Supposons pour un moment que tous les éléments du circuit induit aient des vitesses parallèles et égales à p: supposons que la composante de l'action électrodynamique suivant la commune direction du mouvement , le conducteur induit étant censé parcouru par un courant d'intensité i , dont le sens a été arbitrairement fixé, ail la même valeur absolue pour chacun des éléments de ce conducteur ; D^ étant la longueur d'un de ces éléments infiniment petits, CD^ sera cette composante commune: pour la longueur totale \ du conducteur induit , toutes ces composantes se combineront en une seule égale à C^ que nous nommerons C. Si l'intensité du courant induit est égale à A , l'action électrodynamique suivant la direction du mouvement du conducteur sera /C' ; / étant proportionnel à la vitesse <*, on peut écrire

et puisque, d'après la loi de Lenz, la composante électrodynamique XC est toujours opposée au mouvement, LpC sera nécessairement une quantité négative.

On ne peut déterminer à priori la quantité L qui est évidemment une fonction de la composante C ; mais il résulte de la loi de Lenz que son signe change en même temps que celui de C, et la supposition la plus simple à faire consistera à écrire

L=:— eC.

Cela revient à admettre que l'intensité du courant induit est proportionnelle à la composante électfodynamique suivant le sens du mouvement. Les conséquences de cette hypothèse prouvent, en se vérifiant, qu'elle est suffisamment exacte. Ainsi l'intensité du courant induit sera de la forme

/ = Lp = — ef<:\

PURES ET APPLIQUÉES. ii5

En nommant / la résistance totale du circuit induit, qui est soumis, avons-nous dit, aux lois de Ohm, on voit que la force électromotrice qui lui a donné naissance sera

/ X — «<^' = — el^'y

les quantités Cy i dépendant toutes les deux de la nature et de la forme du conducteur induit, nous pouvons poser e/ = c ; nous aurons alors pour la force électromotrice du courant induit,

— wC ,

et si nous revenons à Télément infiniment petit Dj, nous devrons remplacer C par CD5, de sorte que ta force électromotrice qui réside dans cet élément aura pour valeur

Or il est à peu près évident que la force électromotrice développée dans chaque élément est indépendante de celle qui se développe dans l'élément voisin. Ainsi il devient inutile de supposer que tous les éléments du conducteur induit sont animés de la même vitesse p, et soumis à la même composante électrodynamique C; il suffit d'admettre que V est la vitesse de l'élément D^, C la compo^nte électrodynamique suivant la direction de cette vitesse, pour le même élément, et alors l'expression — tvQDs représentera la force électromotrice spéciale à l'élément D^ .

Ainsi la loi générale de l'induction pourra s'énoncer de la manière suivante :

« Pour obtenir la force électromotrice qui s'établit dans l'élément D^ d'un conduc- » teur qui se meut en présence d'un courant, multipliez une certaine constante t par » la vitesse de cet élément , et par la composante , suivant la direction inverse de u cette vitesse, de la force électromagnétique qu'exercerait le courant inducteur sur » l'élément D^, supposé parcouru par un courant d'intensité i. »

En nommant EDj la force électromotrice élémentaire de l'élément Dj du circuit induit, on pourra écrire

(i) ED5 = — «t^CDj.

Faraday et Lenz ont montré que cette constante s restait la même, quelles que soient la forme et la nature du conducteur induit; ainsi sa valeur numérique dépend seulement des unités adoptées pour la longueur, le temps et l'intensité des «curants. Cependant certains phénomènes prouvent que l'induction n'est pas aussi instantanée que la cause qui l'a produite, de sorte que la constantes est, jusqu'à un certain point, une fonction du temps. J'éclaircirai cette partie de la question en traitant de l'induction dans les corps étendus suivant deux ou trois dimensions : dans les conducteurs à petite section , on peut se dispenser d'avoir égard à cette circonstance.