Tome Xni. - Mars

le même cas. Le vent se transporte si le blé ne change pas de place , et fait naître des mouvements, en général, successifs qui subsistent un certain temps. Si l'on conçoit qu'un mouvement de transport apparent puisse résulter, par exemple, de la rotation d'une vis dont l'axe n'avance ni ne recule, comment pourrait-il se faire que, dans le canal dont je me suis servi, un système d'ondes s'avançât en ne laissant derrière lui que des ondes incompai ablement plus faibles, si quelque chose ne se transportait pas avec ce système? Quand on observe la trace laissée par le liquide le long des parois verticales , on ne voit sur toute la longueur qu'une ligne horizontale ; mais, aux extrémités du canal , les traces des ondes qui s'y resserrent en se '.balançant sont généralement plus élevées. Il est vrai que cet effet provient surtout du phénomène particulier de raccourcissement et de balancement qui , à cette extrémité, fait quelquefois même venir les sommets à la place des creux. Mais enfin s'il n'y avait point une accumulation d'eau quelconque , il n'y aurait pas de raison pour que les ondes revinssent sur leurs pas. Quant aux mouvements observés directement dans le sens des ondes , ils étaient peu sensibles tant qu'il n'y avait pas d'onde solitaire. Il arrivait même quelquefois qu'un corps flottant glissait un peu en arrière spr le flanc postérieur de la dernière onde. A l'extrémité du canal, il se présente un phénomène intéressant. Les ondes principales dont le nombre est , en général, du moins avant la réflexion à l'autre extrémité, analogue à celui des oscillations du cylindre qui les a engendrées, se pressent, et même à une assez grande distance de l'extrémité du canal , on voit très-distinctement se rétrécir les espèces d'orbites décrites par les petits corps en suspension dans l'eau. Bientôt il n'y a plus qu'un véritable siphonnement dans les flots. La première onde semble coupée par la moitié, à l'extrémité du canal, et le long du parement vertical le mouvement de va-et-vient est vertical dans la région supérieure des ondes, tandis qu'il est horizontal dans les creux; de sorte que c'est un mouvement horizontal qui tend à renverser le parement. Lorsque ensuite les ondes raccourcies s'allongent de nouveau pour revenir sur leurs pas , on voit très-distinctement les trajectoires redevenir graduellement des orbites elliptiques, et le mouvement elliptique est précisément en sens contraire de celui qui existait quand les ondes avaient un mouvement apparent venant de l'autre extrémité du canal. On voit combien il doit être indispensable d'étudier ces phénomènes

à d'assez grandes distaDces des rivages, 3! l'on ne veut pas s'exposer à des erreurs graves. Or, comme à de grandes distances des rivages on n'a plus de points de repère fixes, voilà précisément ce qui fait la difficulté de ce genre d'observations et l'utilité de celles que Ton peut étudier dans un canal factice, où il est facile d'isoler chacun des phénomènes que l'on y peut produire , sans toutefois se permettre de leur attribuer trop de généralité avant de connaître en grand quelque chose de suffisamment analogue.

J'ai essayé de mesurer la vitesse de cette espèce d'ondes courantes. J'avais d'abord cru y parvenir, mais j'ai reconnu que, pour un seul observateur, il y avait une cause d'incertitude assez difficile à éviter complètement dans un canal de cette longueur, à cause du temps pendant lequel les flots se balancent à chaque extrémité, même quand ils sont peu nojnbreux à l'origine de leur mouvement. Or il serait à désirer, pour prendre cette mesure, que l'on pût considérer plusieurs traversées du système, comme cela est facile pour l'onde solitaire. Ce qu'il y ' a de certain, c'est que l'onde solitaire^ lancée d'une extrémité du canal, où a d'abord été engendré le système Ôl^ ondes courantes, atteint ce système, quoiqu'elle soit partie longtemps après. Il est essentid de remarquer que la rencontre se fait quand la vitesse de la crête des ondes courantes parait encore sensiblement uniforme.

Deux systèmes d'ondes courantes de cette espèce peuvent se traverser, ou plutôt se réfléchir sans se détruire. Le balancement horizontal des bourrelets, dans le phénomène du cla potage qui en résulte d'abord, est conforme aux observations sur le dapotage de la mer, si bien décrites dans l'ouvrage de M. le colonel £my.

Quand un système est lancé d'une extrémité à l'autre du canal , et ensuite abandonné à lui-uiéme, il traverse toujours le canal sensiblement dans le même temps , pourvu que les ondes conservent encore une hauteur bien visible. Elles conservent toujours à peu près la même longueur en s'affaiblissant de plus en plus.

Quand on dispose un cylindre vertical fixe dans l'axe du canal , sa présence diminue la force des ondes , parce qu'elles se brisent en l'enveloppant; elles se reforment bientôt en barre rectiligne derrière lui, par suite d'un balancement latéral. Mais lor^n'un obstacle vertical est disposé latéralement^ il ei) résulte des ondes en zigzag analogues à

loo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

celles dont j'ai déjà parlé. Je ne m'étendrai pas ici sur ces phénomènes particuliers 9 n'ayant pour but, dans ce Journal, que d'exposer les principes fondamentaux de mes recherches.

Expériences sur la formation de l'onde solitaire.

Cette onde étant en mouvement, comme je l'ai indiqué ci-dessus, elle traversait le canal un certain nombre de fois, et sa vitesse moyenne, c'est-à-dire en y comprenant les instants très-courts de repos aux extrémités, calculée au moyen de plusieurs traversées, était, pour chaque profondeur d'eau dans ce canal , assez sensiblement exprimée au moyen de la loi trouvée par M, Russell. Elle était proportionnelle à peu près à la racine carrée de la profondeur de cette eau et égale à la vitesse d'un corps grave tombé de la moitié de cette profondeur. Cela n'était plus vrai pour les profondeurs très-faibles, ainsi que l'auteur anglais est le premier à en convenir. La question de la vitesse, combinée avec celle du bateau qui Fengendre, a été, comme on sait, traitée par M. Russell, et depuis par M. Morin. Mon but, ici, n'est pas d'approfondir cette matière, mais seulement de montrer en quoi consiste principalement la formation du phénomène , en le considérant, surtout comme détaché du bateau qui l'accompagne dans les cas ordinaires de la pratique des canaux où la navigation se fait à grandes vitesses.

Un cylindre dont le diamètre était environ les deux tiers de celui du canal, étant plongé jusqu'au fond, et s' élevant toujours d'ailleurs au-dessus de la surface de l'eau qui était à 0^,20 au-dessus de ce fond , ne produisait pas cette onde de la même manière que lorsqu'il était enfoncé à une profondeur moindre. Quand il était plongé jusqu'au fond , et qu'on le traînait le long du canal avec un mouvement à peu près uniforme, en marchant au pas ordinaire, ce n'était pas immédiatement devant le cylindre qu'il fallait regarder pour voir se former J'onde, mais à une certaine distance en avant. LorsquHl n'était enfoncé qu'à une profondeur intermédiaire , on voyait l'onde se détacher immédiatementdu cylindreau momentdeson apparition en aval. Enfin,quand il était enfoncé seulement à une profondeur très-faible, de a ou 3 centimètres environ, cette onde ne paraissait pas du tout en avant du cylindre, où l'on ne voyait que quelques rides. Quand elle y apparaissait

PURES ET APPLIQUÉES. loi

par suite d'un enfoncement un peu plu6 profond , ce n'était qu'à la fin de la course , lorsqu'on arrivait k l'autre extrémité du canal , en marchant toujours d'un pas ordinaire. Dans le premier cas , celui de l'enfoncement maximum, lorsqu'on arrive à la moitié de la' longueur du canal, l'onde solitaire atteint déjà l'autre extrémité, tandis que dans le second, celui de l'enfoncement intermédiaire, elle commence seidement à se détacher du cylindre.

On voit combien la profondeur de la partie plongée influe sur le mode de production de l'onde solitaire. Mais de quelque manière que cette onde ait d'abord été formée, quand elle arrive à l'autre extrémité du canal , eUe s'y élève et semble coupée par la moitié. Elle revient ensuite sur ses pas, et, en définitive, la vitesse avec laquelle elle traverse plusieurs fois le canal ne parait dépendre que de la profondeur d'eau; sa formation ne devant plus être , en effet, considérée que comme provenant d'une masse de liquide amoncelée à une des extrémités. Au moment où les deux systèmes d'ondes étudiées dans cette Note arrivent à chaque extrémité, on entend une espèce de coup de bélier qu'ils donnent contre le fond du parement vertical.

Ces faits s'accordent avec la manière suivante de considérer l'onde solitaire. Concevons deux tubes formant ime sorte de grand T renversé , la branche horizontale étant remplie d'eau et la branche verticale n'en contenant pas encore; on les suppose très-minces pour n'avoir à s'occuper que d'un filet d'eau, abstraction faite des résistances passives. La partie de la colonne liquide en amont du tube vertical est supposée d^abord seule en mouvement. En vertu de ce mouvement, il monte de l'eau dans le tube vertical ; la pression latérale de cette eau ascendante engendre graduellement de la vitesse dans la portion en aval , et (hminue la vitesse en amont. Il y a un instant où la vitesse est la même en amont qti'en aval ; puis la colonne verticale , en redescendant, achève d'éteindre graduellement la vitesse en amont, tandis qu'elle l'augmente en aval jusqu'à ce que la colonne d'amont ait, en définitive, perdu son mouvement. Ces effets supposent, bien entendu, certaines proportions dans les longueurs, les vitesses, etc. Mais, dans certaines hypothèses, on conçoit que la force vive peut être passée dans la colonne d'aval sans percussion proprement dite , et cependant d'une manière analogue à ce qui se présente dans le choc de deux corps élastiques, dont l'un est en mouvement et l'autre

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au repos au moment du choc. Si l'on conçoit divers systèmes de ce genre convenablement disposés les uns par rapport aux autres, on aura une idée de la manière dont les choses se passent dans l'onde solitaire. C'est ainsi que l'intumescence se pro|>age d'une extrémité du canal à l'autre, en faisant alternativement naître et éteindre le mouvement sur toute la hauteur du canal en chaque lieu où elle passe, de façon que chaque prisme liquide est à son tour transporté dans le sens du mouvement, et s'arrête ensuite sans retour bien sensible en arrière. Le chemin parcouru dépend évidemment de la grandeur de l'intumescence qui semble se transporter d'une manière continue, quoique la progression de chaque point soit, comme je l'ai dit, analogue à celle d'un tapis sur lequel se promène un rouleau.

Il est facile de voir, d'après ce qui précède, pourquoi l'onde solifaire ^ non-seuiement n'est pas sensible^ comme on le disait, quand la section du corps qui l'engendre est trop petite par rapport à celle du canal, mais pourquoi elle ne peut pas même se produire. En effet, s'il faut qu'elle s'appuie sur du mouvement pour se porter en avant d'une manière convenable, il faut que ce mouvement soit déjà propagé à ime certaine profondeur, à moins que l'onde ne puisse s'appuyer sur un obstacle fixe, comme le fait le gonflement à chaque extrémité du canal.

L'assimilation du phénomène à celui des oscillations dans un tuyau ou système de tuyaux recourbés peut servir à concevoir comment il se fait que la vitesse de l'onde est d'autant plus grande que le canal est plus profond. S'il y a plus de masse à mouvoir dans la tranche verticale liquide , il y a bien moins de force vive k engendrer. C'est par la même raison que, dans les tuyaux de conduite recourbés verticalement, les oscillations de la colonne liquidé sont d'autant plus rapides, que la section du tuyau hoHzontal est plus grande par rapport à celle de la partie verticale. La durée de chaque oscillation est proportionnelle, en général, pour les longs tuyaux de conduite, à la racine carrée du rapport de la seconde section à la première, conformément aux expériences et aux calcul» que j'ai publiés dans les tomes III et VI de ce Journal. Or la première section est ici représentée, jusqu'à un certain point, par la section du prisme d'eau proportionnelle à la profondeur. Sans attacher à ce rapprochement plus d'importance qu'il n>n mérite, j'ai pensé qu'il n'était pas sans quelque

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intérêt, du moins comme une sorte de représentation' physique d'un résultat de calculs et d'expériences. Il y a lieu de penser que si Tonde est trop faible par rapport à la profondeur de l'eau , le mouvement n'a pas le temps de se distribuer jusqu'au fond du canal selon la même loi que pour une onde plus forte ; de sorte que les choses peuvent se passer, jusqu'à un certain point, comme si la profondeur du canal était moindre. Aussi les très-petites ondes solitaires sont, comme on sait, atteintes par les plus grandes. Enfin, quand les profondeurs de l'eau sont très-petites, les résistances passives sont relativement beaucoup plus fortes ; les ondes ne vont pas même jusqu'à l'autre extrémité du canal, et elles s'évanouissent en arrondissant leurs barres, comme im arc qui se courbe de plus en plus, à mesure que le mouvement s'éteint.

Je ne m'étendrai pas ici sur des considérations faciles aujourd'hui à obtenir par l'analyse. Depuis le commencement de 184^9 j'ai fait à la Société philomathique diverses communications sut' les matières objet de cette Note, et il suffit de lire les écrits publiés avant cette époque pour voir en quoi j'ai contribué à éclairer des questions sur lesquelles on était loin d'être d'accord.

Il n'est pas vrai, comme on le croit généralement, qu'il n'y ait jamais de mouvement rétrograde dans l'onde solitaire; il y en a quelquefois quand la profondeur d'eau dans le canal est assez petite par rapport à la hauteur de l'onde , dont la vitesse n'est plus même permanente.

Le curieux phénomèt^e de la rencontre des courants qui semblent se traverser, et qui dans la réalité se réfléchissent , comme Léonard de Vinci l'a remarqué il y a quatre siècles , trouve ici son application immédiate dans Texplication de la rencontre des ondes solitaires de hauteurs égales ou inégales, lancées des deux extrémités opposées du canal , et qui se traversent en apparence, mais dont on voit très-bien la réflexion à l'intérieur.

Points de ressemblance de deux espèces d'ondes.

Quand une onde solitaire arrive à l'extrémité du canal où elle s'élève avant de revenir sur ses pas , elle fait reculer , comme les ondes dont j'ai parlé ci-dessus , le sable et les corps légers répandus sur le

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^fond à cette extrémité. Pour des ondes solitaires de hauteurs diverses, j'ai toujours observé que la distance de plus de i mètre du parement vertical à laquelle les grains de raisin étaient repoussés, le canal ayant une profondeur d'eau de o™,3o, était sensiblement double de celle à laquelle ils étaient repoussés par les ondes courantes, aussi de hauteurs diverses. Je dois ajouter que je n'attache pas beaucoup d'importance à la mesure numérique, parce que le fond n'était pas assez rigoureusement horizontal en tous ses points; c'est la constance de ce rapport pour diverses profondeurs qui est intéressante. Le rapport des vitesses des deux espèces d'ondes m'a aussi paru sensiblement constant pour chaque profondeur d'eau dans le canal , autant qu'il m'a été possible de l'observer avec les chances d'erreur dont j'ai parlé ci-dessus pour le cas des ondes courantes. C'est un point de comparaison de plus entre les deux systèmes.

Je ferai surtout remarquer que M. Russell a depuis longtemps décrit dans ses Mémoires les chemins parcourus par les petits corps en suspension dans le liquide à l'intérieur de l'onde solitaire, tels qu'il les a observés au moyen de parois latérales transparentes. Or il a trouvé que sur le fond de l'eau les trajectoires étaient rectilignes, et se courbaient de plus en plus d'une manière analogue à des demi-ellipses, à mesure qu'on s'approchait de la surface. J'avais été tellement frappé de cette analogie, que je m'attendais à retrouver dans son Mémoire de 1844 plus ^^ détails que je n'en avais donné moi-même à la Société philomathique sur l'espèce d'ondes courantes dont je m'étais occupé depuis plusieurs années. Cependant, non-seulement il ne l'avait point vue, mais il la révoquait même en doute.

En définitive, les divers points de ressemblance que j'ai remarqués entre les ondes solitaires et cette espèce d'ondes courantes sont une raison de soupçonner que leurs causes, sans être identiques, ont nécessairement beaucoup de rapports. I^es ondes solitaires ne peuvent pas se présenter, d'après ce que j'ai dit de leur formation, dans les mers très-profondes, à moins qu'il ne s'agisse des ondes de la marée, dont je ne m'occupe pas ici. Ce n'est donc point à l'étude des phénomènes de ces mers que l'on doit se permettre, à priori, d'appliquer l'espèce peut-être particulière d'ondes courantes dont j'ai donné la description. Mais l'hypothèse de M. Aimé se trouvant confirmée directement paroles recherches précédentes, il y a lieu de penser

PURES ET APPLIQUÉES. io5

que ce phénomène est celui qui doit se présenter pour les ondes courantes dans les mers peu profondes, un de ceux, en un mot, qu'il est le plus intéressant d'étudier à cause de son action vers les oôtes.

Il ne Êiut pas oublier d'ailleurs que les ondes solitaires , qui apparaissent souvent quand les profondeurs ne sont pas trop grandes, changent notablement l'action du phénomène. Ainsi , dans un système d'ondes courantes que l'on croyait bien réglé, il arrivait quelquefois , dans mes expériences, une onde solitaire qui faisait courber les sommets des flots en volutes. Si cette onde est faible , elle se perd bientôt dans les creux. Mais si l'on produit une onde assez puissante, elle passe sur tout le système d'ondes courantes , elle comble les creux, et survit à ce système en se promenant d'une extrémité à l'autre du canal.

On peut Élire arriver plusieurs ondes solitaires qui se suivent d'assez près pour que des personnes encore peu au courant de ces phénomènes les confondent avec des ondes courantes j l'espace qui les sépare ressemblant à des creux. Alors le sable répandu au fond du canal peut être porté en avant comme par plusieurs soubresauts , et reporté en arrière d'une façon analogue, ainsi que je l'ai souvent observé. C'est ce genre particulier de translation multiple qui pourrait faire naître des doutes quant à l'action des ondes courantes sur l'interprétation du résultat des expériences de M. Aimé, faites au moyen de son ingénieux système de toupies plongées au fond de la mer, si mes expériences directes ne confirmaient point cette interprétation , et si les raisonnements ci-dessus ne montraient pas qu'en effet, les choses doivent se passer d'une manière analogue. I.a forme des courbes serpentantes qu'il a dessinées ne serait pas non plus suffisante pour établir le mouvement orbitairCy si mes observations directes ne venaient pas à l'appui de ses conclusions. Il devait être extrêmement difficile, surtout sans points de repère fixes, de bien observer cette courbe serpentante, à cause des mouvements du bateau et des effets de lumière. C'est pour cela , sans doute, qu'il a attribué dans ses dessins, aux sinuosités , une régularité qu'elles ne pouvaient point avoir, selon sa première hypothèse, pour de grandes différences de profondeur, etc.

Si cet ingénieux auteur, qui est mort victime de la science, avait

Toin« XHl. — Mars 1S48. 1 4

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employé d'autres moyens d'observation , il serait intéressant d*en retrouver la trace, quelque vague qu'elle pût être, maintenant que mes expériences directes et les raisonnements au moy«n desquels je les ai confirmées ne laissent aucun doute sur l'existence de l'onde qu'il avait d'abord annoncée , au moins dans des circonstances particulières que je suis parvenu à produircw

Quant aux expériences que j'ai fkites sur la formation de Tonde solitaire;, elles me semblent pouvoir servir à concilier jusqu'à un certain point les hypothèses que d'autres auteurs ont faites sur leurs vitesses dans des circonstances qui ne devaient pas être tout à fait identiques. Ces vitesses, au moins dans les premiers temps de la for^ mation de l'onde ^ dépendent essentiellement du rapport de la section du canal à celle des corps qui les a engendrées; de sorte que si ce rapport est assez grand , on ne voit que les ondes de translation qui accoï^pagnent les corps flottants d^une manière analogue aux rides sur lesquelles MM. Poncelet et Lesbros ont fait depuis longtemps de nombreuses expériences. Les phénomènes des rides ont été depuis été étudiées par M. Bussell. Je m'en suis occupé moi-même; mais je n'en parlerai point dans cette Note , où il est entendu qu'il ne s'agit que des ondes d'une certaine grandeur par rapport à la profondeur de l'eau, et ayant de l'analogie avec les vagues proprement dites.

Je réserve aussi pour un travail ultérieur mes recherches sur les remous, et, en général, sur les ondes que j'ai observées dans les cours d'eau permanents» J'ajouterai seulement ici qu'en plongeant alternativement une planche transversale dans un canal rectangulaire , où l'eau a un mouvement permanent, cela suffît, si la planche est assez large , pour faire naître une onde solitaire dont la forme est semblable à celles que l'on a spécialement étudiées dans ces derniers temps. De sorte qu'il y a lieu de penser qu'elle ne diffère que par le nom de quelques remous particuliers signalés plus vaguement, il est vrai, depuis bien plus longtemps par Bidone[^].

[*] On sait parfaiteipent aujourd'hui qu'en général, le mouvement des ondes cou-rantes décroit à mesure que la profondeur augmente, du moins quand les profondeurs sont assez grandes par rapport à là hauteur de Tonde, ^our étudier ce phénomène, avant d'en observer directement les effets, j'ai inventé un appareil doiit j'ai même exé-

Conclusions.

Il est extrêmement difficile, pour ue pas dire impossible, dans l'état actuel de nos connaissances , de faire des observations directes sur les chemins parcourus par les molécules à Tintérieur des flots de la mer, surtout à des profondeurs considérables, du moins avant de bien connaître les phénomènes qui se présentent dans des canaux factices d'une grandeur convenable. Aussi la discussion très-intéressante qui a eu lieu entre MM. Emy et Virla, dans les Annales des Ponts et

cuté en 1840 un modèle fonctionnant, et dont il n'est peut-être pas inutile de conserver la trace.

Tout le monde sait que si Ton enfonce brusquement dans un réservoir rempli d'eau un entonnoir renversé, on produit une ascension brusque par un véritable coup de canne hydraulique. Mais on n'avait pas remarqué que si , au contraire , on soulève l'entonnoir ainsi plongé, il en résulte , en général» un jet d'eau plus fort» toute» choses égales d'ailleurs. L'ascension des parois de Tentonnoir donne lieu à une sorte de vide conique annulaire, et , par suite , à une baisse notable au-dessous du niveau du réservoir. Il en résulte une oscillation remontante et un coup de bélier assez fort. J'en ai conclu que , si le mouvement d'ondulation dans le sens vertical était moindre à une certaine protendeur qu'à la surface du réservoir, le mouvement d'ondulation supérieure soulevant l'enlonnoir renteraé au moyen d'un flotteur posé sur la vague , il en résulterait un effet parfaitement analogue à ce qui vient d'éti^ dit. C'esT, ^ efbt, ce qui arrive : l'eau s'élève dans un tube vertical cylindrique au baiS duquel est lié Tcntonnoir renversé à une aussi grande profondeur qu'on le veut, elle atteint alternativement des hauteurs égales à plusieurs fois celle des vagues du réservoir où l'appareil est abandonné à lui-même, et constitue une nouvelle espèce de machines à élever l'eau par le moyen des vagues.

M. Russell dit, dans son Mémoire de i644' ^^^^ ^^ connaissait pas le travail des frères Weber quand il a commencé le sien , qu'il ne l'aRirail peut-tétre pas entrepris s'il avait connu le premier, et qu'en définitive, ses ré^iiUnts n'en sont pas mpin^ nw9^ea4|K. Il m'est arrivé la même cho^e pour le travail de M. Aimé, dont M. Russell ne iatt pas non plus mention, et, de plus, je suis parvenu à établir d'une manière définitive une conséquence que ce physicien n'a pas reproduite ultérieurement, faute de preuves positives. Ce genre de remarque n'aurait aucun intérêt pour le public si la concordance des résultats obtenus séparément. Pun t^omme une 'sorte d*hypothèse, l'autre comme im fait , s'était pas une présomption en faveur de leur uiilité, les échelles des observations étant d'ailleurs extréroemeot différentes. Le résultat définitif est dâ à l'ensemble des recherches de M. Aimé et des miennes.

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Chaussées, jusqu'à la publication des expériences de M Russell semblait rester sans solution définitive. Les expériences en pelit, décrites dans l'ouvrage des frères Weber, ne paraissaient pas à M. Virla assez développées. Quant aux observations de M. Aimé dans la rade d'Alger, elles n'étaient pas suffisantes pour établir l'hypothèse qu'il avait d'abord présentée et qu'il n'avait pas reproduite, faute de preuves assez positives.

[.a longueur du canal sur lequel j'ai fait mes observations est beaucoup plus grande que celle du canal sur lequel ont été faites les observations décrites dans l'ouvrage des frères Weber. L'échelle de mes expériences est analogue k celles des diverses expériences au moyen desquelles on a successivement établi les lois de l'hydraulique avant de les vérifier très en grand. Je suis cependant le premier à convenir que ce travail aurait beaucoup moins de chances d'être utile, si les phénomènes qui y sont décrits ne pouvaient pas se coordonner avec ceux qui ont été observés beaucoup plus en grand par des auteurs connus.

Le phénomène du clapotage est conforme à des observations faites très en grand par M. Emy. Celui du siphonnement, à l'époque où les ondes n'ont plus de mouvement de translation même apparent, est conforme à des observations faites par M. Virla à Cherbourg , d'après les détails que M. le colonel Courtois a bien voulu me communiquer. La non-apparition de l'onde solitaire dans les profondeurs relativement considérables s'accorde avec ce que Ton voit tous les jours dans la navigation des grandes nvières , et avec les observations de M. Poncelet sur les rides. Quant à la différence des vitesses de l'onde solitaire provenant de la différence d'enfoncement des corps qui l'ont fait naître, elle parait pouvoir mettre sur la voie d'une explication des dissidences d'opinion sur les vitesses de l'onde solitaire. Le phénomène est, d'après ce fait, bien moins compliqué peut-être qu'on n'avait d'abord été porté à le croire.

La courbure de Tonde courante semble parfaitement analogue à celle de V oxïAe solitaire , pour une profondeur d'eau suffisante dans le canal. Mais ce qu'il y a de plus caractéristique, c'est l'espèce de ressemblance qui se présente entre les orbites\*^\ parcourues par les molécules dans

[*] Quand je dis que les molécules parcourent des orbites ou courbes fermées , je

ce genre particulier d'ondes courantes que j'ai étudiées, et les chemins deini'Orbiiaires , si Ion peut s'exprimer ainsi , étudiés directement par M. Russell dans l'onde solitaire. Or celle-ci est produite seulement, comme je l'ai dit, pour les profondeurs qui ne sont pas trop considérables , relativement au corps qui les occasionne.

En définitive, \^ conséquence indiquée par M. Aimé avec une défiance qui la lui a même fait supprimer plus tard dans deux Mémoires publiés à plusieurs années d'intervalle devient beaucoup plus positive , maintenant que des observations directes, faites sur un canal factice où d'autres phénomènes des ondes de grandes dimensions se reproduisent assez fidèlement, montrent que non-seulement la combinaison de mouvements soupçonnée par ce physicien est possible^ mais qu'elle existe bien réellement, au moins dans des cas particuUers. Les expériences de M. Aimé ont été faites précisément dans une rade où le mouvement produisait encore sur le fond des effets très-sensibles. Il y a donc lieu de penser que cette espèce d'ondes courantes dont la connaissance est due à l'ensemble des recherches de deux observateurs malheureusement étrangers l'un à l'autre, si toutefois elle ne constitue qu'un phénomène particulier, est du moins au nombre de ceux dont il sera utile de vérifier autant que possible les effets dans les rades, et, en général , dans les mers d'une profondeur assez peu considérable pour que le mouvement subsiste et soit obligé de devenir horizontal près du fond.

Ce qu'il y a, au reste, de plus intéressant dans mes expériences, c'est que le mouvement de recul au fond du canal est plus fort que le mouvement de progression dans le sens du mouvement de translation

veux seulement parler de Taspect général du système; car si le mouvement était rigoureusement analogue à celui des anneaux d'une chaîne , il est clair qu*il se présenterait des nœuds qui modifieraient à chaque instant les orbites, comme l'a remarqué M. Virla. La génération géométrique des orbites est encore loin d*étre connue. Les ondes courantes principales sont même précédées d'ondes courantes plus faibles, mais de longueur analogue; et quand elles parviennent à l'autre extrémité du canal, on commence par voir se balancer les plus faibles avant que les plus fortes arrivent jusqu'au parement de cette extrémité. La longueur des ondes est assez difficile à mesurer pour un seul observateur, tant qu'elles sont courantes. Si, par exemple, on y enfonce alternativement une planche, la trace laissée par Tonde est toujours nécessairement plus longue que. cette onde. A. C.

no JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

apparente de ces ondes, même sur un ressaut. I/excès du recul est d'ailleurs bien moindre que la translation apparente de la surface des ondes.

Mes conséquences n'ont rien d'exclusif. I^e système d'ondulation à tourbillons^ connu sous le nom de mouvement orbitaire^ paraissait impossible à des ingénieurs très-distingués. M. Bussell l'a cependant de nouveau constaté, au moins dans des circonstances particulières, même sans Toscillation horizontale, que je regarde comme le principe le plus essentiel du mouvement dans les circonstances où se présente l'espèce d'ondes que j'ai spécialement étudiée dans cette Note. Aussi , malgré la peine que j'ai à concevoir le mouvement apparent de translation dans des ondes courantes où il n'y aurait pas de morrvement orbitaire bien sensible , sauf le petit mouvement de translation réelle admis par les marins , je ne me prononcerai pas sur la possibilité de ces ondes. H n'y a à proprement parler qu'un mouvement de siphon^ nement dans les premiers instants où les ondes courantes à translation apparente, après s'être balancées à une des extrémités du canal, tendent à revenir sur leurs pas. Or le mouvement orbitaire s'est présenté, selon moi, dans ces ondes comme une conséquence de l'espèce particulière de siphonnement occasionné par la réaction du tond (lu canal. Il est à remarquer que Iç phénomène des ondes solitaires résout, en partie du moins, les objections que se faisaient les partisans exclusifs du mouvement orbitaire et ceux du siphonnement.

Il est, en définitive, bien entendu que je me borne à présenter les phénomènes particuliers que je décris sans prétendre exclure les hypotheses plus générales auxquelles donnera lieu ultérieurement, sans doute, nn sujet si vaste et si peu connu.

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THÉORÈME GÉNÉRAL CONCERNANT LlNTÉGRATION DÉFINIE ; Par m. Gboeob BOOLE (db Lii«coli«).

Soit R une fonction rationnelle de jc, telle que les racines de l'équation

soient réelles pour toutes les valeurs de t^ qui ne font pas évanouir la fonction jf(<^); on a universellement

quelle que soit la forme de la fonction/ (c^). De là oh déduit facilement

pourvu que les valeurs des constantes a^, a,,..., a„ soient réelles et positives; celles des constantes Xi, Xav^ K réelles.

On peut se servir de ce théorème général pour trois applications différentes.

Premièrement , pour l'évaluation des intégrales. Voici un exemple :

Jo « W

pourvu que n soit pair; d'où résulte, en supposant /i = 2, la formule connue

Jo 2

Deuxièmement , pour exprimer les sommes des intégrales transcen-

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dantes. En supposant que/(p) s'évanouisse dans l'équation (i) quand on a i' > Ç ou p < p , on obtient

Jp, Jpt *^pii ^p

Po A^2v^ Pn et ^^'i 72 ï-- 9 ?/» étant respectivement les racines des équations

et les racines de l'équation

étant toutes réelles pour toutes les valeurs de v qui se trouvent entre les limites p et 9.

Troisièmement, le théorèine s'applique à la réduction des intégrales définies multiples. Au point de vue de cette application , je l'ai cornmimique à M. Cayley dès 1846.

PURES ET APPLIQUÉES. u3

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