ED

l'intégrale étant étendue à tout le circuit.

Je vais démontrer que cette formule est encore applicable dans le cas où E varie avec le temps, pourvu que cette variation ne soit pas extrêmement rapide: la vitesse d'écoulement de Uélectricité pour une force électromotrice égale à i sera représentée par A; elle sera supposée très-grande , et la même dans toutes les parties du circuit.

On doit concevoir que l'induction agit en produisant à l'époque / , dans l'élément D.r, une tension électrique U , laquelle sera

ds

dans l'élément voisin : la différence de ces deux tensions produit une force èlectromotriée induite E, c'est-à-dire une tendance du fluide à se mouvoir du lieu de la plus forte tension au lieu de la plus faible , de sorte que Ton a

F- ''" et l'électricité qui va traverser la section 9 de rélément Df pendant l'unité de temps sera

D'autre part, soit u la tension électrique effective en Ds à l'époque f , u étant une fonction de ^ et de r; l'écoulement actuel d'électricité par la section 7 sera

du

l'accumulation d'électricité dans l'élément D^ sera donc

^' -dF ^^- En ajoutant l'effet de l'induction à l'époque f , l'électricité de D* devra être augmentée de

Ainsi l'augmentation effective d'électricité , dans le cylindre de longueur Di et <le

section 9, sera

, (d^u dE\ ^

Mais il est visible, d'autre part , que cette augmentation peut être représentée par

de sorte que Ton a

di"' \ds' dsj'

où £ est une fonction supposée connue de / et de j •

Lorsque u aura été déterminée par cette équation , la quantité d'électricité qui traverse la section q dans Tunité de temps, c'est-à-dire la force du courant , sera

L'intégrale complète de la précédente équation se compose de deux parties dont Tune est Tintégrale de

du ,d^u

et dont la seconde dépend de la forme de la fonction E. La première partie peut se développer en série suivant les puissances négatives de e*', e étant la base du système népérien, et elle s'évanouit pour des valeurs sensibles de r, à cause de la grandeur du nombre k. La seconde partie peut se développer suivant les puissances négatives de / , sous la forme

a ex h étant deux constantes arbitraires. Si donc £ ne change pas de valeur extrêmement vite avec le temps , c'est-à-dire si — n'a pas une grandeur comparable à celle du nombre h , on pourra écrire

Le conducteur étant fermé et de longueur L, la tension u doit être la même pour j = o et pour 5 := L ; d'où Ton déduit

o=iL-f- / EDj, équation qui détermine ^. On a ainsi pour l'intensité du courant ,

Cette formule est précisément celle que Ton déduirait de la loi de Ohm ; puisque

ii8 JOURNAJ. DE MATHÉMATIQUES

ED; est la somme des forces électromotrices, et que —r représente celle des ré-

sistances. A la vérité, j'ai supposé b conducteur homogène et d'égale section dans toute son étendue ; mais les conditions contraires n'altéreraient pas le résultat que nous venons d'obtenir.

Il résulte des deux précédents paragraphes que l'intensité du courant induit peut s'exprimer par l'intégrale

t' étant le quotient de l'unité par la résistance totale du conducteur induit , et l'intégrale S devant être étendue à tout ce conducteur.

Nous mesurerons la force du courant par l'action qu'il exerce en un temps donné , par exemple sur une aiguille magnétique. Le coefficient constant c sera déterminé en opérant sur un courant d'induction qui ne varie pas avec le temps, et en égalant l'expression ci-dessus à l'effet total produit dans l'unité de temps.

Lorsque le courant induit variera avec le temp&, l'action qui mesure son énergie sera, pendant l'élément de temps <2r,

et entre les époques ^o) 'i ^ elle sera

(2) —«s' I diS.vCDs.

Je nommerai Texpression (1) l'action momentanée du courant (differential Strom) ^ et je la désignerai par la lettre D. Je représenterai par J l'expression (2); ce sera l'action finie du courant [integral Str'àm) : c'est ordinairement cette dernière action qui est mesurée.

Ces deux expressions peuvent se mettre sous tme autre forme. Nommons w Tare de la route parcourue par le milieu de l'élément D.f ; on aura

et ainsi

(3) D = — ii'S.O/fvD^,

(4) J=z-^k' r '^.QdwDs,

w, et ce, étant les valeurs de w correspondant à ^ ;;:= /«, /.= /». ^

Ainsi l'action momentanée peut être considérée comme se rapportant au chemin parcouru dw , et l'action finie comme se rapportant au chemin compris entre tv^ et »*, . Leurs valeurs ne dépendent donc pas de la vitesse de transport du circuit , mais seule* ment de la longueur des chemins parcourus.

Le produit tCdwDs représente la vitesse virtuelle (virtuelle Moment) de la force électrodynamique que rinducteur exercerait sur l'élément D^, supposé parcouru par un courant d'intensité c : je le nomme moment virtuel de l'inducteur. La force électromotrice du courant momentané est la somme de ces moments yirtuds, pris avec le signe — y dans toute l'étendue du circuit induit, c^est-à-dire — i%,QdwT>s\ mais cette somme représente, comme on sait, la demi-perte de force vive dans l'instant dt: ainsi on peut dire que « la force électromotrice de l'action finie du courant est égale à la demi^perte de force vive que le circuit induit parcouru par le courant t éprouverait par suite de l'action électrodynamique du courant inducteur, en se mouvant de w^ à M'i. »

Lorsque le circuit induit, au lieu d'être parcouru par le courant c , le sera par le courant

— is'S.cCDj,

la perte de force vive dans le temps dt sera

(2«S.C^«'Df)(— «'S.tCDj) = — ^%^'dt[S.9CDs)\

Je désignerai par or, /, z les trois coordonnées rectangulaires de Tclément Dj, et ses projections sur les axes par Dx, Dr, l>z\ par dx^ dfj dz les projections, sur les mêmes axes, du chemin dw parcouru dans le temps c?^: les composantes de l'action électrodynamique de l'inducteur agissant sur l'élément D^ supposé parcouru par un courant 1 seront représentées par

X^rDf, Y,Df, Zciys,

Ces composantes seront positives, si elles agissent dans le sens des coordonnées positives croissantes.

On a alors

\ dw dw dw)

Les équations (3) et (4) deviennent ainsi

(5) D = — M'S-.D*(X,rir -h Y,<r H- "i^tdz)^

(6) J = — m'T 's.D5(Xa^xH-Y,^^4-Z,^z).

Le signe S se rapporte aux divers éléments du circuit induit, le signe 1 aux éléments de la route parcourue.

lao JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Si le circuit induit se meut parallèlement à lui-même, dx^ dy^ di sont les mêmes dans tout le circuit , et Ton peut écrire

(7) J.-=— le'T \/ù:S.XcrD^-h^^S.Y,Dx-f-^2S.Z<,Df).

Si la quantité sous le signe 1 est la différentielle exacte d'une fonction de x, /, z que je représenterai par V, en sorte que Ton ait

(8) rfV=r</xS.X<,D5 + df/S.Y,Df + c/«S.Z,D^,

en appelant V^ , V^ les valeurs de cette fonction pour les positions initiale et Gnale (lu conducteur mobile, on aura

Posons alors tV =p, p étant un paramètre arbitraire; cette dernière équation sera celle de la surface de niveau d*un fluide de densité i sollicité en chaque point par la résultante des forces

S.XaD^, S.Y-,D5, S.ZaD5,

et p sera la pression du fluide, constante sur une même surface de niveau, mais variable de Tune des surfaces à sa voisine.

On peut écrire alors

et l'on voit que, si la condition (8) est satisfaite, « la force élcctromolnce de Taclion finie du courant sera égale à la différence des pressions sur la surface de niveau initiale, et sur la surface finale, » et cette force sera indépendante de la route suivie par le conducteur pour passer de sa position initiale à sa position finale.