IV
On doit se rappeler que C représente la somme algébrique des actions exercées par chaque élément de l'inducteur sur l'élément constant D^du conducteur induit, supposé parcouru par un courant égal à i , chacune de ces actions étant préalablement estimée suivant la direction du mouvement de l'élément induit.
Soient 0- l'arc du circuit inducteur compté d'une origine ûxcy De un élément de cet arc, et cDa Taction électrodynamique due à cet élément et qui entre dans la somme C. On voit qu'en remplaçant, dans ivCDs, C par cDc-, on aura
— tvcDsDtr
pour la force électromotrice développée en D.v par^l'influence de Télément D(r. En intégrant cette expression dans toute la longueur s du circuit induit, intégration que
PURES ET APPLIQUÉES. lîif
je continuerai à représenter par le signe S, et en intégrant dans toute la longueur a du circuit inducteur, intégration à laquelle j'attribuerai le signe 1, on aura la force électromotrice totale engendrée par le circuit inducteur dans le circuit induit.
J*ai supposé jusqu'ici que le circuit inducteur était en repos, et le circuit induit, en mouvement. Or l'induction ne peut évidemment dépendre que du mouvement relatif des deux circuits; car, quels que soient leurs mouvements propres, on peut ramener Tun d'eux au repos en donnant au système un mouvement commun, de translation ou de rotation , convenablement choisi , et ce mouvement commun ne peut développer aucun phénomène d'induction, comme le prouve l'exemple de la terre et des circuits fermés et susceptibles d'induction qui sont placés à sa surface.
On n'altérera donc en rien l'apparence d^ phénomènes à observer, en supposant l'élément Ds en repos, et transportant à D(7 son mouvement , pris en sens contraire. Nous considérerons donc D9 comme se mouvant avec une vitesse p^ p étant actuellement fonction de a. La force électromotrice sera maintenant
H- cccDjDo-,
expression dans laquelle le facteur cDsDv représente l'action électrodynamique exercée par Dor sur l'unité positive de courant en D5 , décomposée parallèlement au mouvement de D<r, et suivant le sens de ce mouvement.
En nommant 7 la réaction simultanée de Ds sur D9 décomposée suivant la même direction , on a 7 = — c , et la force électromotrice développée en Ds par Da deviendra
— iP7D.yDo'.
En intégrant , relativement à toute la longueur de l'arc 5, cette expression dans laquelle 7 est le seul facteur variable, nous pourrons représenter l'intégrale S.yDs par r, et la force électromotrice développée par l'élément Dtr dans tout le circuit du conducteur induit sera
(i) — iprD(T = E'Da.
On voit que r est la composante, parallèle au mouvement de l'inducteur, de l'action électrodynamique exercée par le conducteur induit parcouru par l'unité de courant sur l'élément Dcr.
En étendant l'intégrale de la formule (i) à tout le circuit inducteur, on aura, comme ci-dessus , pour l'expression de l'action momentanée , que je nommerai D', et qui correspond à l'élément de temps di ,
(2) ly = — «'«Zf 1 prDex, et pour celle de l'action finie du même courant, ou J\
(3) j'= — m' i '//ri.i/rDff.
£n appelant w Tare décrit par le milieu de Do- et désignant l'élément de route par dof. Tome Xlll. - Avail 1848. 1 6
laa JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
on pourra oMttre ce» expressions sous U forme
(4) D'= — «'S.r^fvDcr,
Si Tan compare la formule (i) de ce paragraphe avec la formule (i) Hu § 1 , on voit que, daos celle-là, COsy ^^ ^^^jès celle-ci , FD^ représentent la composante eflicace [ * j de l'action électrodynamique du conducteur en repos sur rélément mobile, le conducteur induit étant toujours censé parcouru par un courant égal à l'unité.
Je vais démontrer maintenant que, si les circuits sont fermés, il se développera la même ibrce électromotrice, quel que soit celui des deux conducteurs qui se meuve par rapport à Tautre.
Je représenterai par ( , n , i; les coordonnées courantes du milieu de l'élément Dosupposé mobile; </$, driy dX, seront les projections, sur les trois axes coordonnés, de rélément de route diw Les trois composantes de Taction électrodynamique exercée par le conducteur induit en repos et parcouru par Tunité de courant sur l'élément Dor du conducteur mobile , seront
X,D<r, Y,D<r, Z,Da.
On aura alors
et les équations (4) et (5) deviennent
(6) D' = — fi'2. (X,rfÇ H- Y,dyi + Z.rfÇ) D(T,
(7) J' = -ff' r'^'2.(X,£f5H-Y,*-4-Z,^/Ç)D(r.
Soient maintenante^, j,, z, les coordonnées de l'élément Df. Les acc^/irj/?/ace^ au bas des lettres indiquent ici et indiqueront dans la suite de ce Mémoire que ces coordonnées se rapportent à un conducteur en repos; si ce conducteur devenait mobile , les axes de ces mêmes coordonnées seraient censés entridnés dans ce mouvement , de sorte que x,, X, , Zf conserveraient leurs valeurs. Les mêmes coordonnées non affectées d'accents se rapportent au conducteur mobile et à des axes fixes dans l'espace ; elles changent pendant le mouvement du conducteur.
Je représenterai par RDf D^ la valeur absolue de Taction électrodynamique de l'unité de courant en D^ sur Télément Der parcouru par un courant inducteur égal ày. D'après les lois d'Ampère, on a
(^^ ^-T^V DJD7""2mDi;'
[*] Jo désignerai sous le nom de composante efficace la composante d^une action électrodynamique «livant la direction du mouvement propre de Pélcment mobile. A. B.
PURES ET APPLIQUÉES. ia3
r étant la distance qui sépare Ds de D(r, de sorte que l'on a
(9) '•' = (^, - 5)' H- (r, - >»)' + (», - Ç)' • Je nomme
XD^Dir, YD^Da, ZD^Da,
les trois composantes de cette force , de sorte que Ton ait
Il en résulte
X, = — S.*^^^ RD5, Y, = — S.^^^— -? RDa, Z, =: - S.-'^-^ RDi. r r r
Gomme x,^ x,j ^, ^^^t des grandeurs constantes, on a , en faisant varier t,
donc
X,i/Ç -+- Y,dn -f- Z^rfÇ = S.R^rD.s et, par suite,
(10) iy = — ff'ïS.RrfrD^Der,
SS.R^/rD^Dff.
Les signes </ et i s« rapportent toujours au ciiangement de position du conducteur
mobile, les signes S et 2 à Tintégralion le long de l'arec ou le long de Tare cr, le signe D à la differentiation par rapport à ces mêmes arcs.
Soient €,,>},, ^, les coordonnées d'un point du conducteur mobile par rapport à des axes mobiles avec lui ; E, > v), , ^, seront indépendants du temps , et Ton aura
(12) I n = p-Hfl,5,-f-^iî,-hc;„
Les quantités a, b^ c, a,^ 6^, c, , etc., sont soumises à des relations connues; elles sont d'ailleurs, ainsi que a, p, 7, des fonctions du temps déterminées por la nature du mouvement du conducteur mobile.
Ainsi, en différentiant par rapport au temps, on aura
Uth =etc...,
ia4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
et , en difîférentiant par rapport à l'arc cr ,
DÇ = aD5,-f^D*,,H-cDÇ,, Du = etc. . . .
La substitution des valeurs de Ç , u , i; dans Téquation (9) donne
- îÇ, [«(*,-a) -H «,(r, - P)-+- «„(»/ - 7)]
Si, au contraire, c'est le courant induit qui se meut, l'inducteur restant ûxe^ on a, au lieu de l'équation (9) ,
et si Ton veut exprimer t en j*,, r en 7,, 2 en z,, il faut, dans les équations (12), remplacer Ç, »?, Ç, Ç„ r,, i;, par x„ j„ »„ x,/, «: on en déduit
Si l'on substitue ces valeurs de x, /, z dans Pexpression de r% après le développement, on retombe sur la même expression que ci-dessus.
Ainsi r a la même valeur dans les deux cas; il en est de même de ses coefficients différentiels par rapport à 5 et à 9 : donc l'action électrodynamique R est la même. L'élément dr conservant aussi la même grandeur, KdrDsDv ne change pas : donc , si dans les deux cas les limites d'intégration par rapport à 5 et à a restent les mêmes , D' conservera dans l'équation (10) la même valeur, et la force électromotrice engen-
drée, ou -7-9 sera la même, quel que soit le conducteur en repos.
Ainsi , quel que soit celui des deux conducteurs dans lequel on fasse circuler le courant d'intensité / , l'autre étant parcouru par un courant égal à 1 , la force électromotrice développée par l'induction aura la même valeur dans les deux cas.
Donc « la force électromotrice développée par induction dans un circuit passif placé » en présence d'un circuit actif parcouru par le courant y, reste la même quel que soit » celui des deux circuits qui est le circuit actif , et aussi quel que soit celui des deux » qui est mobile , pourvu que le mouvement relatif des deux circuits reste le même. » L'intensité du courant induit successivement dans l'un et dans l'autre des deux cir- » cuits est alors inversement proportionnelle aux résistances de ces circuits. >
Cette loi peut aussi s'appliquer à des portions de circuits; mais une partie quelconque du circuit mobile ne peut rester inactive qu'autant qu'elle participe au repos
PURES ET APPUQUÉES. i^5
du circuit immobile ; et de môme une partie du circuit fixe ne peut rester inactive que si elle participe au mouvement général du circuit mobile : alors on peut considérer Tun des circuits comme réduit à sa partie active, et comme n'étant pas fermé sur lui-même. On connaît des exemples de dispositions semblables; Weber a fait connaître un de ces modes dans ses expériences sur l'induction unipolaire. Mais dans tous les cas pareils , où l'un des deux conducteurs se compose de deux parties, l'une fixe, l'autre mobile, il faut, si Ton transporte le mouvement de l'un des deux conducteurs à Tautre, {rappliquer la loi précédente que dans le cas où les limites de l'intégration , par rapport à s ou à ff, restent les mêmes après ce changement.
Cette loi n'est pas seulement applicable au cas de deux circuits; elle l'est aussi à celui de deux systèmes de circuits, Tun fixe et l'autre mobile.
Montrons, en terminant, que les formules (5) et (6) du paragraphe précédent dérivent focilement des formules (6) et (7) de ce paragraphe. De ces dernières, on déduit d'abord les formules (10) et (11). En substituant dans ces dernières la valeur de /', relative au cas où <t est fixe , et où s devient mobile, savoir,
nous aurons
D' = — €t'2S.DjD<TR (^^j^ dx^^^—^ dy -+- -- ^' dz\ •
MaisX^Df, Yff D.f, Z^Dj sont les composantes de Taction électrodynamique exercée par Tare ts sur Dj, et l'on a
X,=r2.DffR^^^^S
Zff = Z.DcrR ~
Donc
D' =r — cf'S.Df (Xç//x -H X^dy H- Z,i/*);
1-e qui est la formule (5) du paragraphe précédent. Il en serait de même pour la formule (6) de ce paragraphe.
Les considérations précédentes s'appliquent à l'induction développée par le pôle d'un aimant, si, conformément aux idées d'Ampère , on considère un pôle d'aimant comme le point de départ d'un solénoïde dont l'autre extrémité est à l'infini. Des lois de l'induction magnétique unipolaire, on déduit celles de l'induction par les aimants, celles de l'induction produite par l'aimantation et la désaimanUtion , et même celles de
i*inductioD galvanique ordinaire, attendu que, d'après une autre Un d* Ampère, un courant fermé peut toujours être assimilé à un certain système de pôles magnétiques.
Lorsqu'un solénoïde est en mouvement par rapport à un conducteur fixe, on emploiera, pour déterminer l'action soit momentanée, soit finie <lu coorant induit, les formules (2) et (3) du paragraphe précédent, et l'on prendra, par rapport à l'arc 9 du solénoïde , l'intégrale de pTDv. Mais on peut substituer au mouTement du solénoïde le mouvement inverse du conducteur. Gela est évident pour le cas d'un conducteur fermé. Si le circuit n'est pas complet, il devra satisfaire aux conditions déjà énoncées à la page 1 25 , d'après lesquelles la substitutiao précédente est permise ; une portion de ce conducteur doit alors être liée au solénoïde, de manière à participer à son mouvement si le solénoïde se meut, et à rester fixe dans le cas où le solénoïde serait fixe lui-même.
Je vais démontrer maintenant que , si le conducteur induit forme un circuit complet , l'induction ne dépend que des mouvements des deux pôles du solénoïde ; que, si le circuit est incomplet, l'induction se compose de deux termes dont l'on dépend seulement des mouvements des deux pôles , tandis que Tauti'e terme dépend du mouvement des deux extrémités du conducteur relativement au solénoïde considéré comme immobile.
Nous allons donc considérer un conducteur se mouvant dans le voisinage d'un solénoïde fixe , et unipolaire , son autre pôle étant situé à l'infini.
Les signes 5, D^, x, /, z, Dx, Dy, Dz se rapporteront au conducteur induit et conserveront leurs significations antérieures. Le chemin de l'élément Ds sera désigné par Wy l'élément de la route par dw^ et ses projections par dx. tly^ dz. Les lettres ^,y ^, 9 ^, seront les coordonnées du pôle du solénoïde.
L'action finie du courant induit sera , d'après la formule (6) du § III ,
(1) J = — m' r'^'s.D5(X,r^-f-Y,rfr-hZ<,^z).
D'après des formules connues d'Ampère , les composantes de l'action d'un tel pôle de solénoïde sur l'élément T>s parcouru par un courant égal à i , sont
X,D. = ^ \jz - %,) Tiy-{y- «,) D»] ,
Z,D* = p [{y- ,,) D* - (*-?,) Dr]; on a d'ailleurs
Quant au facteur constant x^ il a pour valeur y aV» j étant l'intensité du courant qi;i parcourt les circuits du solénoïde, \ l'aire constante de l'un de ces circuits, et a le nombre de circuits partiels contenu dans une longueur prise sur l'axe du solénoïde et égale à l'unité.
PURES ET APPLIQUÉES. x^^
Soient maintenant x,^ y^^ z^ les coordonnées fixes de Télénient D.v , par rapport à des axes mobiles avee le conducteur; on aura
IX = a -f- /7^, -H ^7, -f- cz, ,
a, p, 7 sont des fonctions du temps, d'ailleurs indépendantes entre elles; a, b, Cy a,y h^y c^y a^y b,^ , c,^ sont aussi des fonctions du temps liées entre elles par six équations connues.
On a alors , en differentia nt par rapport au temps ,
ifltr = </a -f- Xfda -\-y^db -{-z^dcy djr^dp-hx,da,^X,db,-^z,dc,, dz = dy-h d?, da^ -f- jr,db^ -f- z,dc,^ ,
et) en différentiant par rapport à Tare s y
iDx = aDx, -f- bDy, H- cD«, , iyX=a^Dx,^b,Dx,^c,Dz,, Dz = a„ Bx, -h b^ Dr, -hc„ Dz, .
Éliminons x, , 7^ , z^ des équations (5) au moyen des équations (4) ; nous aurons rfx = rfa -H (« — 7) </M — (7 — p) d^y
dy=:dp-^{x^a)d^-^(z — 7)rfL, ^3 = ^7 + (^— p)rfL — (a: — a)rfM,
en faisant , pour abréger,
idh = a,da„ -h b,db^, H- ^,^„ = — {a„da, 4- *„^^ -1- c„^e,) , i/M = a„da H- *,,€^^ -f- c^^^c = — {ada,^ -f *rfA,, -h frfc,,), </N = flflte, + bdb, H- cy/c, = — {a,da -^ b,db -h c^a^c).
Je pose maintenant
/ rf«-h(Ç,--7)^M-(„,^P)rfN=:rfX,
Les équations (5) deviennent
( air = rf> + ( 3 — Ç,) rfM — (r — ,j,) c/N ,
On sait y par la théorie mécanique des mouvements de rotation des corps, que dh
représente Tangle de rotation autour de Taxe des jp pendant le temps di; que r/M, </iS ont la même signification par rapport aux axes des j et des z. On voit, par leséqua^ tions(8), que d\y fi^iLy dv représentent les petits déplacements qu'éprouverait , parallèlement aux j:,7, z, le pôle (Ç,, >},, Cj, s'il participait au mouvement du conducteur.
On voit aussi quç les quantités dxy dy^ dz se composent : i*' des déplacements d\ dfi, dvy du pôle du solénoïde supposé pour un instant lié avec le conducteur; 2? des déplacements produits par la rotation simultanée du conducteur autour de ce pôle.
La substitution de ces valeui^ de dx^4y^ dz dans le second membre de l'équation ( i ) le décompose en deux parties, l'une dépendante de€/X, ^p, dt, l'autre dépendante de la rotation. Je représente la première de ces parties par ip , la seconde par Jd'
On trouve ainsi
et
J,= — m' r S.D*(X,rfX+Y,4n-Z<rA),
/.w. ( x4(z-0rfM-(r-«jrfN]j
Jrf= - W ' S.dJ -h Y,[{x~Ç,) rfN - (z -Ç,) rfL][, '*'• f -h Z Jf r— «.^ rfL -^ (x — n ^Ml ]
