Tome XUl.- Mai 1848. 2t

On peut donc écrire, en général, pour le point w,

le signe -+- devant être préféré si le point w est du côté positif, le signe — s'il est du côté négatif. Mais, en outre, en calculant la valeur définitive de la différence des potentiels lorsque le pôle va d'un point quelconque w' à un autre point quelconque w", il faut avoir soin d'ajouter à la différence calculée d'après Téquation (2r) autant de fois ^ir que le pôle a traversé Taire intérieure du circuit en allant du côté positif an côté négatif, et d'en retrancher 4^ autant de fois que le pôle a traversé la même aire dans la direction opposée ; de sorte que si l'on nomme p le premier et n k' second de ces deux oombres, la correction k faire sera

Celte correction transportée dans l'équation {i5) devra changer de signe, et Ton aura alors

Si le pôle revient à son point de départ^ ou st simplement (23) J = ec'x.4(«— /?)îr.

Ainsi le courant induit dans un conducteur plan s par le mouvement d'un pôle magnétique qui parcourt une route fermée est nul, si cette route ne traverse pas le circuit; mais chaque fois que le pôle traversera l'aire^ du côté positif vers le côté négatif, il se développera une force électromotrice — ^nix.j et chaque fois que le pôle traversera la m^me aire en sens inverse, il se développera la Sorce électromotrice + 4 ^^^•

§ XUL

Les exemples suivants serviront à montrer l'usage que l'on peut faire des formules précédentes.

I. Considérons d'abord les courants d'induction développés dans des circuits fermés par le magnétisme de la terre. Ici les centres d'action des forces électrodynamiques sont très-éloignés par rapport aux dimensions du conducteur ; la translation ne peut développer aucun courant induit: c'est donc à la rotation qu'il faut recourir.

On sait que l'on peut remplacer fictivement le magnétisme terrestre , soit par un aimant convenablement placé sur le prolongement de la ligne d'inclinaison, soit plus simplement encore par un pôle magnétique unique P possédant une quantité x de fiuide libre, et placé sur la ligne d'inclinaison à une distance r très-grande par rapport

aiix dimensions du conducteur, la quantité -^ étant ce que l'on a appelé l'intensité magnétique du globe au lieu de l'observation. On peut alors' appliquer la formule (I) J = «'x(K'-K"),

PURES ET APPLIQUÉES. i63

K' et K" étant les surfaces apparentes du circuit induit s vu du pôle P, au coromencement et ù la fin du mouvement. Supposons que le conducteur s forme un circuit plan d^aire F, et soit v Tangle variable formé par l'une des deux moitiés de la normale au circuit avec la partie plongeante de la ligne d'inclinaison; en nommant v' et v" les deux valeurs de v au commencement et à la fin , on aura

K' = - cos v', K'' = - cos v" .

Si cosv' et cosv" sont de signes différents, cela voudra dire qu'en substituant le mouvement du pôle au mouvement du conducteur, le pôle a traversé le plan de ce dernier et a passé du côté positif an côté négatif du plan du circuit, ou vice versd: lorsque ce cas se présente, le plan de la courbe est coupé par le pôle, à Textérieur de Taire F; il n*y a donc pas lieu d'appliquer la correction indiquée k la fin du paragraplu' précédent. Donc

(2) S = it — (cosv — cosv L

Soient [a y r) Tangle formé par Taxe de rotation du circuit avec la ligne d'inclinaison r-, c Tangle formé par Taxe avec la normale; cp Tangle de position du plan passant par Taxe de rotation et par la normale , le départ des angles <p étant ainsi choisi , que Ton ait cp = o , lorsque ce plan contient r; on aura

eosv = cos [a , r) cosc -h sin [a , r) sin c cos y . Donc, lorsque la rotation amènera la normale au circuit de la position cp' à la position ç", on aura pour Je ooarant produit , en «orivant — ^ = M ,

(3) ' J = «g' MF sin (« , r) sin c (cos «^' — cos <p" ).

Après une rotation complète. Taction totale J du courant devient égale à zero; mais Temploi d'un commutateur peut modifier ce résultat. Le commutateur devra renverse» le courant au moment où le courant élémentaire change de signe, c'est-à-dire au moment où le courant J devient un maximum ou un minimum.

Dans Téquation (3) , ç' a une valeur arbitraire, mais constante, et o" varie de o à 36o degrés : c*est donc lorsque (j)":= o*», (j)" = 180°, que le renversement devra s'effectuer. Le commutateur satisfaisant à cette condition pour chaque demi-révolution , le courant induit total sera donné par la formule (3), dans laquelle on aura du poser y' =r 0°, ^" = r8o®. Donc, pour unedemi-révolution ,

(q) J = 2 «'MF sin («,/•) sine.

Pour obtenir le maximum d'effet, il faut que c = 90®, c'est-à-dire que Taxe de rotation soit situé dans le plan même du conducteur.

Cette condition étant satisfaite, si Taxe de rotation est horizontal, et dirigé suivant

i64 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

]a li{^nc esk-ouest magnétique , on a (a , r) =: 90°,

(5) J = 2e«'MF.

Si Taxe toujours horuontal est dirigé suivant la méridienne magnétique , j étant TincHnaison , on a (a , r) r=:y,

(6) J = 2«e'MFsiny. Dans le cas de Taxe vertical , on aurait

(7) J = 2ee'MFcosy.

On peut consulter à ce sujet le Mémoire de Weber sur Tlnclinatoire d'induction.

II. Lorsque Ton veut faire usage des formules (14)9 (iS), (16) ou (17) du paragraphe précédent , il faut connaître la forme de la fonction x , qni représente ia distribution du magnétisme à la surface de Taimant. Gomme cette distribution n*est connue qu'approximativement, je me bornerai à examiner le cas d*un aimant cylindrique ou prismatique, et je supposerai qu*il n*y ait de fluide que sur les deux bases, le fluide austral étant uniformément répandu sur celle des deux bases qui, libre, se dirigerait vers le nord, et le fluide boréal sur la face opposée [*]. Je nommerai ^Tun des éléments de Ta surface de ces bases, et je supposerai que les dimensions de ces bases soient assez petites pour que les valeurs de K correspondant à chaque élément £(/* soient sensiblement égales entre elles. Je nommerai Ko la valeur de R appartenant à chacun des points de la base supérieure , et K., celle qui appartient à chacun des points de la base inférieure.

Ceci posé, soit un conducteur circulaire de rayon R situé dans un plan normal à Taxe de Taimant, et dont le centre est situé sur cet axe ou sur son prolongement. Le courant induit dû à Taimantation subite du cylindre magnétique sera , d'après la formule (i 7) du § Xn , égal à

(8) J = - m'S. xKi//=: — ef'x/(Ko — K„).

Si les deux bases de l'aimant sont au-dessous du plan du conducteur, on aura

Si Tune est au-dessus, et l'autre au-dessous,

Ko-K„=4ir-(Ko)-(K„).

Enfin , si Taimant est en entier au-dessus du plan ,

[«] Cela revient à supposer que Paimant eat formé par un faisceau de solénoïdrs juxtaposés, ayaat tous la longueur de Paimant, pour base inférieure Pun des cléments df de la base », et pour base supérieure Pélémen t correspondant dans la base o.

PURES ET APPLIQUÉES. i65

Ces trois valeurs se ramènent à une seule expression analytique ; car, h étant la longueur de l'aimant , et or la distance du centre du conducteur à la base supérieure de l'aimant^

i66 JOURNAL DE MATHEMATIQUES

Si le rayon R des spires est petit comparativement à la longueur h de Taimant, la quantité entre parenthèses devient sensiblement égale à L , et Ton a à fort peu près [*]

En faisant dans Téquation (12) a = o et L= /i, on tombe sur le cas d'un aimant entièrement recouvert des spires du conducteur, et Ton trouve alors

Si R est beaucoup plus petit que L, on retoml>e sur l'équation (i4j •' ainsi la force électromotrice ne dépend alors encore que du nombre des tours; mais il faut que les dimensions des bases / soient petites par rapport au rayon R. On peut comparer ces résultats avec les recherches faites sur ce sujet par Lenz, ei publiées dans les Annales de Poggendorff, tomes XXXIV et XLVII.

Considérons toujours le même aimant que ci-dessus; mais supposons-le fixe et prenons un conducteur annulaire que nous transporterons de la position w' à la position »'. On aura pour le courant induit, résultat de ce mouvement,

J =r — «'xF [Ko — K„— (K^- k1)].

Dans cette équation , K^ et Ku sont les surfaces apparentes du circuit prises de la position t\' pour chacun des deux pôles; R», R» sont les surfaces apparentes relatives à la position w\ Si la position w' est k l'infini, on retombe sur le cas précédemment examiné; et si 2r et x -H A sont les distances du centre du conducteur aux bases o ei n, le courant induit sera donné par Féquation (10) , et sera un maximum pour x = — 7//. Si Ton remplace en outre le conducteur annulaire par une spirale de N tours et de hauteur L, les distances du premier et du dernier tour à la base o étant — a et — (a +L) romme ci-dessus, on retombera sur Téquation (12) et sur les équations (i 3), (i4), (i5) qui en dérivent. Ainsi^ dans ce cas encore , Taimant venant de très-loin se loger dans Taxe de la spirale, le courant produit sera à fort peu près indépendant du rayon des toui-s, de la hauteur des spires et de la position finale de Taimant, mais simplement proportionnel au nombre des tours ; toutefois , cela n'est vrai que sous les mêmes restrictions déjà indiquées.

Désii^nons maintenant par w'^ le point iiiilieu de Taxe de Taimant, cv' un point pris sur le prolon^ment de cet axe, et faisans mouvoir le conducteur, son plan restant perpendiculaire à Taxe, de telle sorte que son centre aille alternativement de (v" en w' et de «*' en w". En nommant Ro, Ru les surfaces apparentes relatives à la

I * J M. Neumann déduit de là que, ei le diamètre de la spirale est tcès-petit comparativement à son éloignement des bases de Taimant, la force électromotrice engendrée est indépendante du diamètre de cette spirale. Si R est petit comparât! vcmeot aux quatre distances —a, — L — a, — a + fc, — (^ ^ a-i-A, TexpressioD ji) se réduit aussi à Texpression (ii\ et \e courant ne dôpcnd plus de la posliîon des pAles par rnpport à la spirale. A. B,

PURES ET APPLIQUÉES. ib-

position iv", le courant induit, dans le mouvement de w" en tv', sera

j = - .,'x/[k;- Kl- (k:,- k:,)];

et dans le retour, en employant le commutateur pour renverser le sens du courant , on aura la même valeur de J, ce qui donnera pour n allées et n retours,

(i6) J„ = — 2/iff'x/[Ko — Kl — (Ko- k')]-

Si au lieu d'employer le commutateur, c'est le conducteur qui, arrivé en w', se renverse en tournant de i8o degrés autour d'un de ses diamètres, cette rotation fera naître en ce conducteur un courant induit analogue à celui de l'induction terrestre, et qui aura pour expression

(le sorte qu'au bout de /i répétitions de ce mouvement alternativement rotaloire ei retJiligne, le courant total induit sera

j'„= 2/I«e'x/(Ko— k".).

Celte suite de mouvements produit donc le même résultat que si le point tv' était situé à l'infini, et cette conséquence doit être étendue à tous les autres cas pareils , par exemple au cas déjà examiné d'une spirale de N tours. On peut consulter à ce sujet le Mémoire de M. Weber sur l'appareil inducteur de M. Gauss, dans les ResuUaw pour i838.

IIL Courbons maintenant notre aimant en fer à cheval; soit 2 a la distance ((iii sépare le pôle o du pôle «, et soit nommé m le point qui occupe le milieu de cette longueur. En m est un axe de rotation perpendiculaire sur la ligne ou, et autour de (et axe tourne un conducteur circulaire entraîné par le mouvement d'une droite qui joint le point m au centre de ce conducteur : cette droite est à la fois perpendiculaire à Taxe de rotation et au plan du conducteur. Si x est la grandeur de cette droite, R le demidiamètre du conducteur, il est évident que la rotation ne pourra s'elfecluer que sous la condition x' 4- R' <^ a^

Soit 7 Tangle de position du système rotatif, compte à partir de lune des i\t\\\ positions dans lesi]uelles le conducteur est perpendiculaire sur la ligne om u. L'indnrtion produite par la rotation , depuis ^ = o" jusqu'à ^ = f , sera

J =r — «e'x/[Ko - K„ — (k'o — K'u)]-

Les valeurs Ko » K„ correspondent à y == 0°, les valeurs Ko, Ku à (p = <p.

Le terme Ko — Ku, seul variable, atteint ses maxima et minima chaque fois que l'on a çp = i8o", 9 = 36o", etc. : c'est dans ces positions que le courant momentané change de signe ; c'est donc aux époques correspondant à ces positions que le commutateur doit agir pour renverser le sens du courant. D'après cela , cherchons la valeur de T, entre les limites y = 0°, y = 180".

Le conducteur étant dans la position f = o", considérons comme côté positif du pian du conducteur celui. qui regarde vers la base o\ on aura, conformément aux notations du % XII ,

ic=h-(k;).

Maintenant il est important de remarquer que Taxe courbe de Taimant coupe le plan du conducteur en dehors de Taire de ce conducteur^ en un point pour lequel on a K = o ; ainsi 9 dans le passage du premier pôle o au deuxième pôle «, la valeur de K doit changer de signe , de sorte que l'on doit écrire

Dans une rotation de i8o degrés, le mouvement relatif des pôles leur fait travei*ser le plan du conducteur en dehors de Taire de ce dernier î ainsi on a, pour <j» = i8o**,

K-o = — (K-o/, Ku=:(K«); \

(Tailleurs

k„=(k:), (kj=(k1;.

On aura donc, pour la valeur de J ,

et comme

On déduirait de là facilement les formules relatives au cas d'un conducteur tourné en hélice ,. ainsi que la meilleure disposition à donner au système : on peut consulter à ce sujet le Mémoire de M. Weber sur la machine inductive par rotation.

IV. En conservant la disposition précédente, couchons le plan du conducteur, jusqu'à ce qu'il devienne perpendiculaire à Taxe de rotation , et fixons-le de manière que son centre soit éloigné de Taxe d'une longueur a égale à la demi-valeur de Tintervalle OH, Soit alors x la distance qui sépare les pôles o et u du plan du conducteur. Les maxima et minima de l'action momentanée du courant induit se produiront lorsque le centre du conducteur sera situé précisément en face des pôles o, ou «, par conséquent à une distance x de ces pôles. Faisons faire au conducteur une demi- révolution, depuis la position qui donne le minimum de distance à o , jusqu^à celle qui donne le minimum de distance à u ; nous aurons

(i8) J = - «'x/[Ko - K„ — (Ko - K.;.)].

K„ les surfaces apparentes du second disque prises des mêmes pôles. Or on a évidem-

ment

K^ = 2ir(l . "^M ) > Ko=:27r('— .. ^ , ) >

et la valeur de J devient

J = - «'x/[K« — K„ — (Ka— K'u)] ,

V(A-f-ar)'-f.R»"^V'(A-f-x'V4-R'M

Si Ton suppose R' = o, c'est-à-dire si le fil du galvanomètre vient presser le fond d'un cône creux dont le sommet est dans le prolpngement de Taxe ou^ Texpr^ssion précédente se simplifie, et Ton a

\\Jx^ + R» ^(A + 0?)' -H RV

C'est cette disposition qui a été adoptée par M. Weber, dans ses expériences sur Tindnction unipolaire. La valeur maximum de J» a lieu pour x = — | A. On a alors

4wm'x/'

^Fm

pour l'action totale du courant d'induction développé par une rotation complète de l'aimant autour de son axe.

M. Neumann résume ainsi les principales conséquences de son travail :

§ I. — Si Ton tient compte de la loi suivante de Lenz , que « dans le cas où l'induction est produite par un déplacement du conducteur induit en présence d'un courant inducteur ou d'un aimant , l'action électrodynamique exercée par l'inducteur sur l'induit tend toujours à relardér le moarenieiit de ce dernier; » et si l'on observe que

" l'induction instantanée est proportionnelle à la vitesse avec laquelle le mouvement s'effectue , » on arrive à la loi exprimée par la formule

Dans cette formule, D^ est un élément du fil induit, et ED^ la force électromotrice développée dans cet élément : v est la vitesse de Dj ; C est la composante suivant le mouvement de D5, de la force électrodynamique que Tinducteur exerce sur l'élément T>5 supposé parcouru par un courant d'intensité i . La quantité i peut être regardée comme constante, au moment même où Tinduction s'exerce; considérée comme fonction du temps, c'est une quantité qui décroît avec une rapi<]ité extrême dans les instants qui suivent l'induction.

§ II. — Lorsque la force électromotrice ED5 est développée dans l'élément D3' de l'arc s, non-seulement E est une fonction de ^, mais aussi une fonction du temps; toutefois, en supposant que les variations de E avec le temps soient incomparablement moins rapides que la propagation du courant électrique dans l'arc s, on pourra applii|uer au courant induit la loi générale de Ohm 9 savoir que « Tintensité du courant induit est égale à la somme des forces electro motrices divisée par la résistance du • ircuit. »

§ III. — L'intensité du courant induit dans Parc s sera donc

2' étant le quotient de l'unité par la résistance de l'arc j, et le signe S indiquant que l'on doit intégrer l'expression pCD^ dans toute l'étendue de cet arc.

Le produit de cette expression par dt servira de mesure à Vaction momentanée du murant induit; et si Fon intégre par rapport an temps, entre deux époques données , on aura la mesure de Vaction totale du courant induit.

I^ valeur de cette dernière action dépendra seulement du chemin parcouru par W conducteur, et nullement de la vitesse avec laquelle ce chemin aura été parcouru.

La force électromotrice du courant instantané est, au signe prés, le moment virtuel [*] de la force électrodynamique exercée par l'inducteur sur Tinduit, ce dernier étant supposé parcouru par un courant égal à c

La force él^tromotrice du courant total engendré par le déplacement du conducteur, depuis sa poskion initiale w^ jusqu'À sa position finale <v, , est égale à ta perte de force vive que l'inducteur fixe aurait ooeasionnée dans le mouvement du circuit induit parcouru par le courant e , entre les limites tv© et t*',.

La perte effective de force vive de ce circtiit , supposé ma uniquement en vertu des

[*] Produit d''une force motrice par le chemin du mohile estimé suivant la direction de celle force .

aa..

17a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

vitesses acquises , sera , par suite de Taction électrodynamique exercée sur lui par Tinducteur, représentée par

dt{S.vCDsy,

Concevons que les trois composantes rectangulaires de l'action de Finducteur sur rélément D^ de Tinduit supposé parcouru par le courant c puissent s*exprinrier par les dérivées partielles d'une fonction des coordonnées x , j, z de Télément , et construisons les surfaces de nipeau de cette fonction , c*est«.Vdire celles dont tous les points ont des coordonnées donnant à la fonction une même valeur, que Ton pourra considérer comme une pression normale à la surface correspondante ; la force électromotrice du courant total engendré dans l'élément induit par un déplacement de translation (sans rotation) de (v, à Wt sera égale à la différence des pressions qu*ont à supporter les deux surfaces de niveau correspondant aux positions initiale et finale , et cela quelles que soient les positions intermédiaires, pourvu que les positions initiale et finale restent les mêmes.

§ IV. — Si îe conducteur A est en mouvement par rapport à B, on peut, par un mouvement commun des conducteurs, ramener A à l'immobilité; ce mouvement commun sera dit l'opposé du mouvement primitif de A.

La force électromotrice qui développe le courant induit reste la même , quel que soit celui des deux circuits dans lequel on fait circuler un courant d'intensité donnée, quel que soit celui des deux qui est en mouvement , pourvu que le mouvement relatif reste le même.

§ V. — Tout mouvement d'un circuit par rapport à un pôle de solénoide ou d'aimant peut être considéré comme résultant de la superposition de deux mouvements distincts , Tun de translation commun à tous les points du circuit et au pôle supposé lié avec le circuit , l'autre de rotation qui s'effectue autour de ce pôle pendant que celui-ci est entraîné dans le mouvement commun.

Le courant instantané dû à la translation est égal à

Il est sous-entendu que c'est le pôle qui se meut par rapport au conducteur immobile , et que d(v est l'élément de la route parcourue daas le temps di; y! est la quantité de fluide magnétique libre accumulée en ce pôle ; r est la composante suivant dw de l'action électrodynamique que le conducteur parcouru par un courant 1 exercerait sur l'unité de fluide accumulée au pôle.

Le courant instantané dû à la rotation est représenté par

— f e'x' (cos [a ^ e") — cos [a , e* )] d^ ;

dans cette formule d^ est la rotation infiniment petite autour du pôle ; (a, e") et (fl, c' ) sont les angles que forme Taxe de rotation avec les droites menées du pôle aux deux

extrémités du conducteur. Ce courant ne dépend donc pas de la forme de ce dernier, mais seulement de la situation et du mouvement de ses deux extrémités ; ce courant est nul si le conducteur forme un circuit fermé.

Donc y si un conducteur fermé tourne autour d'un axe contenant un ou plusieui*s pôles magnétiques, il ne se produira pas d*induction.

$ VI. — L*induction développée dans un conducteur en repos par le mouvement d'un solcnoîde dépend seulement du mouvement des deux pôles de ce solénoide.

L'effet d*un pôle se décompose en deux parties ; Tune dépend du mouvement de translation du pôle , Tautre de son mouvement de rotation ; les deux courants instantanés, qui correspondent à ces mouvements , sont

et

— m'x' [cos (fl , ^) — cos (a , e')] d-^.

Si le circuit est fermé , l'induction de rotation est nulle.

Un pôle magnétique peut, sans changer de place, mais par sa rotation autour de lui-même, induire un courant dans un circuit non fermé. De cette loi découle la théorie de Tinduction unipolaire.

$ VII. — Un aimant peut être considéré comme un assemblage d*un très-grand nombre de très- petits solénoides (ou atomes magnétiques). Ce système' de solénoïdes peut, comme l'a démontré M. Gauss, être remplacé, quant à ses effets extérieurs, par un certain système de pôles répartis sur la surface de l'aimant; ainsi Tinduction engendrée par un aimant peut toujours être considérée comme provenant d'une certaine distribution de magnétisme libre à la surface de cet aimant.

L'induction ne dépend pas seulement de la translation de cette surface magnétique , mais elle dépend aussi de sa rotation : le courant engendré par cette rotation est uniquement déterminé par la position des deax extrémités du conducteur ; il devient nul si le circuit est fermé.

En nommant xDu le magnétisme Tibre de Télément de surface Did, le courant momentané provenant du mouvement de translation est égal à

dans cette formule, dtv est l'arc très-petit décrit par Dtt>; f est la composante de l'action électrodynamique exercée par l'unité de courant supposée en mouvement dans le conducteur induit, sur l'unité de fluide magnétique en D&>, cette action étant estimée suivant la direction de l'arc dof; l'intégration 1 doit s'étendre à la surface entière de l'aimant.

Le courant d'induction dû à la rotation est

— ie'2.x[cos(a, e'^) — cos(a, e')]Dfl»</4'>

formule oi^ {a , e** ) et {a^. e' ) sont les angles formés par Taxe de rotation* avec les droites^

menées du centre de Dw aux deux extrémités du conducteur, d-^ étant toujours la va- IfMir angulaire et très-petite de la rotation.

§ VIII. — L'aimantation et la désaimantation consistent, suivant les idées anciennes, en une séparation ou réunion des fluides magnétiques dans Tintérieur de chaque atome magnétique. I^ courant induit résultant de ce déplacement des fluides est égal à

— «s'S.(x"— y/) VDw;

y/ Do) et Y." Dw sont les quantités de fluide libre de l'élément de surface D«, avant et après le changement de distribution du magnétisme intérieur; V est le potentiel du circuit induit considéré comme parcouru par un courant égal à i, et agissant sur Tunité (le fluide en Dw. L'intégration doit embrasser toute la surface de Taimant.

§ IX. — Si Ton étend à tout Taimant le potentiel du conducteur parcouru par le courant i, et si Ton multiplie ce potentiel intégral par u\ la différence des deux valeurs de cette quantité, au commencement et à la fin du mouvement de Taimant, donnera le courant induit engendré par le déplacement de Taimant ; toutes les circonstances (jui laissent intacte la valeur de ce potentiel sont impropres à produire aucune inductipn; mais si une cause quelconque modifie ce potentiel, Tinduclion se produit. TiC changement de Tétat magnétique d*un aimant immobile est une des causes qui peuvent produire cet effet.

§ X. — De même, lorsque deux circuits sont en mouvement, le courant induit resultant (le ce mouvement s'obtiendra en multipliant par — lee'y la différence des valeurs initiale et finale du potentiel intégral de Vun des circuits parcouru par le courant I, sur le deuxième circuit |)arcouru par le même courant : ici j est l'intensité du courant inducteur. Pour obtenir le potentiel indiqué, faisons passer par chaque circuit une surface d'ailleurs arbitraire, mais à laquelle le circuit servira de limite : soient Do et Dw deux éléments considérés, l'un sur une des deux surfaces, l'autre sur l'autre; r' et / ' la distance initiale et la distance finale xles deux éléments; convenons de re-

pn'5(»nter par - — - ( -77 7 | la dérivée du second ordre de ,j lorsqu'on

* r/ndy \ r r ) r r *

passe du centre de Do à un point situé sur la normale à Do à une distance dn ^ et du

centre de Dw à un point situé sur la normale à Dw à une distance d^,.

L'expression du courant induit sera alors

Les intégrales S et 2 s'étendent aux deux surfaces dont Do, Dw sont les éléments.

Dans ce cas encore, il n'y a d'induction produite que par l'effet des causes qui font changer la valeur de ce potentiel.

Supposons que le courant inducteur, sans se déplacer, change brusquement d'inten-

site, et que celle-ci passe de la valeary' à la valeur^"; l« courant induit aura pour expression

K'^ et K' étant les surfaces apparentes de la courbe s, prises de chacun des deux pôles.

I^ potentiel d*un aimant relativement à un courant fermé d'intensité i a pour valeur

S.xKDbi,

expression dans laquelle xDu est la quantité de magnétisme libre que l'on peut concevoir répandu sur Télément D» de la surface de Taimant , et R la surface apparente du circuit prise du centre de cet élément.

Si Taimant passe de la position tv' à la position w\ le courant induit provenant de ce déplacement sera

K' et K" étant les valeurs des surfaces apparentes du circuit prises du centre de Dw dans la première et dans la seconde position.

Dans le cas où le conducteur n*estpas fermé , la formule du courant induit sera

— fii'S.xKDw,

K étant la surface ap|>arente du quadrilatère curviligne qui termine la surface décrite par le conducteur, Torigine du cône étant toujours au centre de Do>>.

Si la distribution magnétique change de telle sorte que le magnétisme répandu sur Do) devienne x^Db», au lieu de xDw , le courant induit engendré par ce changement dans un circuit fermé sera

„'S.(x"-x')KDw,

K étant toujours la surface apparente du circuit prise de I>o>.

II existe certaines règles d'après lesquelles on devra déterminer le signe de K , et prendre pour K la plus grande ou la plus {)etite de ses deux valeurs possibles, valeurs dont la somme est toujours égale à 4^- (Renvoi au Mémoire pour la discussion de ces règles.)

§ XIII. — Application des formules du § XII à des cas particuliers.

1. Induction produite par le magnétisme terrestre dans un circuit plan qui tourne autour d^un axe. — Soit F Taire plane du conducteur; soient c Tangle formé par la normale au plan du conducteur avec Taxe de rotation , et (a , r) Tangle de cet axe avec la ligne de Tinclinaison magnétique; convenons de compter Tangle de rotation 9 de la normale, à partir du plan qui contient à la fois Taxe et la ligne d'inclinaison : le courant toul d'induction produit par la rotation, depuis 7 = 7' jusqu'à f = ^", sera, M étant Tintensité magnétique terrestre,

— ee'MF sin (a, r) sin c (cos <p" — cos y').

2. Dans les exemples suivants, on considère un aimant prismatique, dont le magnétisme libre est supposé uniformément réparti sur ses deux bases, avec une densité

égale à X ; les dimensions de ces bases sont supposées petites par rapport aux distances qui les séparent des éléments du conducteur induit.

Induction produite par un aimant placé à Tintérieur d'une électrohélice. — On nomme /Taire de Tune des bases de l'aimant, L la longueur de Télectrohélice, R son demi-diamètre, et N le nombre de ses tours; le courant induit par l'aimantation subite du barreau sera