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pression

Avant de substituer ces valeurs dans Tcquation (5), nous écrirons

L'équation (5) devient alors

Supposons maintenant que Tare s soit une courbe fermée ; je dis que l'on a

£n effet, chacune des expressions K, L, M représente la surface apparente de s prise du point (Ç, >î, Ç), c'est-à-dire l'aire sphérique interceptée, sur la sphère de rayon i dont le centre est en (C,.u , Q , par le cône qui a ce centre pour sommet et s pour base [* ].

En choisissant la lettre K pour désigner cette surface apparente, Téquation (8) se. change en

Ainsi « le potentiel du très-petit circuit plan et fermé \ sur le circuit fermé s, les » deux circuits étant parcourus par des courants égaux à Tunité , est égal au produit

r'] Car [y — v}) Dx — (x — {) Dr csl la double aire de la projection sur le plan des xjr du triangle

ayant (Ç, 17, Ç) pour sommet t't Dj pour base, ainsi — i— -5 j -^ — est Tangle formé entre

li>s deux plans passant par la parallèle à Taxe des s menée par |, >}, Ç et par chacune des extrémités de Vs. Soit (Di) ee que devient Ds nimonée par ses rayons vecteurs sur la sphère de rayon 1 : si du point de rencontre de cette sphère avec la parallèle aux s menée par son centre , on mène deux arcs tie grand cercle aux extrémités de (Di) , la projection de cette portion de fuseau sur cette parallèle

nura pour longueur i ^j et Ton sait qu'en la mullipliont par Tangle compris entre les deux

arcs de grands cercles, on aura Paire de cette portion de -fuseau. LUntégrale de toutes ces aires sera Taire apparente de la courbe s] ce sera la valeur de M. On le démontrerait de la môme manière pour les quantités Retli. A. B*

PURES ET APPLIQUÉES. iSg

» de 7 X par le coefficient difTérentiel de la surface apparente de s vue du centre de a , » ce coefficient différentiel étant pris par rapport à la normale au circuit >. »

Supposons que le circuit a soit la section d'un canal cylindrique, ayant la normale N pour axe, et considérons une série de sections équidistantes toutes égales à >, et toutes perpendiculaires à cet axe : a étant le nombre des circuits contenus dans Tunité de longueur de la normale, le nombre des circuits contenus dans la longueur ^N sera a^N , et le potentiel d!un tel système de circuits sera

Or ce système n'est autre chose qu'un solénoïde infiniment petit. Si ce solénoide s'étend depuis N = N' jusqu'à N = N", en nommant K' et K" les valeurs de K correspondant aux deux extrémités du solénoïde , le potentiel de ce solénoïde fini sera

(lO) ■^a>(K"-K').

Si l'extrémité N' est située à Tinfini, le solénoide devient illimité et unipolaire , et son potentiel aura pour valeur générale

(il) ^aXK.

Concevons donc qu'au lieu d'être égal à i, le courant des spires du solénoïde air une intensitéy ; le potentiel du pôle de ce solénoide unipolaire sera

or, comme dans la théorie des fluides magnétiques, on substitue à un pôle de solénoïde (a, \y j) un pôle d'aimant dont la quantité x' de fluide libre est égale à \ aîk] ^ on voit que le potentiel d'un tel pôle d'aimant aura pour valeur

Le potentiel d'un aimant bipolaire serait de même

K" et K.' étant les surfaces apparentes du circuit s prises de chacun des deux pôles de l'aimant, et le circuit s étant toujours supposé parcouru par un courant égal à i .

On déduit de là facilement la valeur du potentiel d'un aimant quelconque sur un circuit fermé s ; car, quelle que soit la distribution interne du fluide , on peut toujours supposer, quant à ses effets extérieurs, que cette distribution est toute superficielle. Si donc on nomme xDca la quantité de finide positif accumulé sur l'élément Dm de la surface, K. étant la surface apparente de s prise du centre de cet élément Dm, le potentiel de tout l'aimant sera représenté par l'intégrale

(i4) s.xKDm,

étendue à toute la surface de l'aimant.

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Kn tr.insportant ces valeurs du potentiel dans Féquation (i) du § IX , où xV, y.V étaient les valeurs du potentiel aux deux extrémités de la route parcourue, on aura, pour le courant induit produit dans l'arc s par le déplacement de l'aimant ,

(i5) J = E«'S.x(K'— K")Da),

K' et K'' étant les valeurs des surfaces apparentes aux deux extrémités de la route.

Si le conducteur induit, n'étant pas fermé, a parcouru une route qui le ramène à son point de départ, la même formule sera applicable; mais alors K' et K" représentent les surfaces apparentes des circuits fermés décrits par chacune des deux extrémités de s.

£nfin , si Ton écrit

(i5 bis) J=r «f'S.xKDw,

cette formule s'appliquera au cas où le conducteur s aura décrit un chemin quelconque, ses extrémités ayant parcouru les arcs </j e", lesquels, avec les positions initiale et finale a\ s", complètent le quadrilatère curviligne s'e's"e" , Il faudra concevoir que dans l'équation (i5 ^/^), K est la surface apparente de ce quadrilatère curviligne /e'/V, vu du centre de rélément D&).

Si l'aimant, sans changer de place, éprouvait une variation dans son aimantation , l'effet de cette variation serait de substituer à la fonction x' une nouvelle fonction r!' : alors le counint induit serait, d'après Téqualion (4) du § IX , égal à

( l6) J <!'■) = 5c'S.(x' — y." ) KDew.

Si laimant, d'abord désaimanté, arrivait à un état magnétique définitif représente par la fonction x, le courant induit, résultat de ce changement, serait

(17) • y^'*>=— es'S.xKDù).

D'après la définition que nous avons donnée de* la quantité K, le cône dont l'intersection avec la surface sphérique de rayon i doit déterminer la surface apparente K partage cette surface en deux segments complémentaires l'un de l'autre; ces deux surfaces apparentes complémentaires sont telles, que l'une étant égale à K , l'autre est égale à 4^^ — K.» H est utile de posséder une règle générale qui permette de savoir laquelle de ces deux valeurs doit être préférée , et quel est le signe qui doit lui être attribué.

Pour cela, je reprends l'expression

K = s.(.-i=iiV-^'"-:ri"-

Kn nommant 6 l'angle formé par le rayon vecteur r mené du pôle il, », Ç) au point -''> y'j 2) itv^^c une parallèle aux z menée par ce pôle, le premier facteur sous le signe S ]>rend la forme i — cos 9. En nommant f l'angle formé par le plan de l'angle 6 avec un

PURES ET APPLIQUÉES. i6i

plan fixe passant par Taxe des z, le second facteur est égal à d^ [voyez la note de la page i58). On a donc

(18) K=S.(i — co$e)i/y,

l'intégrale devant s^étendre à tous les éléments de la courbe s. Pour simplifier, je supposerai celle-ci plane et convexe sur tout son pourtour.

Si la parallèle aux z menée par le pôle (Ç, tI) () rencontre le plan de la courbe s dans la partie interne à la courbe , les limites de Tintégration par rapport à f sont o et 2ir^ alors, en nommant ô' et 9'^ les deux valeurs de 6 correspondant à ^ et à iSo** -h f » on peut écrire

(19) K = SÔ(2 — cos5 — cosÔ')É^(p.

Si, au contraire, cette parallèle est extérieure à la courbe j, on a deux valeurs de d ^ savoir Ô et d', correspondant à la même valeur de <p, et Ton peut écrire

(20) K = Sj^ (cos e — cos ô' ) rfç ,

f ' et f^" étant les deux valeurs de 7 pour lesquelles 9 = 6', c'est-à-dire pour lesquelles \v plan des angles 6 et O' devient tangent à la courbe.

Je nommerai coté positif du plan de la courbe Sy la partie de l'espace située d'un même côté de ce plan et qui renferme le demi-axe des z positives; côté négatif, Pautre moitié qui contient le demi-axe desz négatives. Je considérerai le pôle (Ç, u, Ç) comme mobile, et je nommerai (R) la plus petite des deux valeurs que l'on peut adopter pour la surface apparente de s. Alors, tant que le pôle reste situé d\m même côté du plan de la courber, il n'existe pas d'ambiguïté relativement aux valeurs initiale et finale de K. Mais jl peut arriver que le pôle mobile traverse ce plan : si le pôle, au moment de ce passage, est intérieur au circuit ^ , K devient égal à 2 7r; tandis que si ce passage se fait en dehors du circuit, K passe par la valeur R = o.

Soient donc w* un point situé dans la partie positive de l'espace, w" un point situé dans la partie négative.

Si le pôle va de w* à iv" «n traversant le circuit, on aura

S'il va àe w^ hw** sans traverser le circuit, on aura

Si le pôle va de c*'" à cv' en traversant le circuit, on aura

R'' = - (R") , R' = - 4 ir -f (R').

S'il va de MP»" à cv' sans le traverser, on aura