Tome XIII- Mai
de languettes métaHiques qui pressent sur leurs jantes, de sorte que le cireuit est fermé par les roues et par la portion intermédiaire de Taxe. L*induction produite dans un tel circuit par une rotation complète de l'aimant sera
Supposons R' = o, c*est-à-dii*e que l'un des deux contacts ait lieu dans Taxe même, et que, de plus , on ait
x = --ih;
on aura alors la meilleure disposition pour obtenir Tinductiou unipolaire de M. Weber, et son expression sera
inog^Mi
i8o JOURNAI. DE MATOÉMATIQUES
occupe le /i'^'"' rang dans cette série. Considémns aussi le système des courbes dérivées de ihjrperbole conjuguée
d'après la même construction, et appelons 1„ la longueur du quadrant de la «'^'^ courbe dans cette nouwlle suite. Je dis qu'une combinaison quelconque des quadrants dont il s'agit, telle que
S exprimera par des Jonctions elliptiques de la première et de la seconde espèce, de la manière suii^ante :
où
k^ = 77-— r, COS X = ~T
et ou a, j3, 7 sont des Jonctions algébriques de h et c.
En se reportant au tome X de ce Journal, page 1 85, on y trouvera , pour le quadrant S^, les deux expressions suivantes (dans lesquelles on suppose b^ -h c^ = i):
Je
Jr * [ n — 1) 6'g'p' + «(^'g^p^-h g^— b") df
Faisons dans la première de ces formules
bc
n = ^q -h i et r = , . - 9 ce qui nous donnera
PURES ET APPLIQUÉES. i8i
i8si JOURNAL DE MATI^MATIQUES
on s'apercevra 9 en examinant sa formation avec un peu de soin, qu'il peut être résolu dans une suite de termes dont chacun sera de la forme Ajul*'" v**" {^i^" — v*'^, A étant un coefficient fonction de h et c. Or ce terme se compose d*une suite d'autres dont le type général sera (jUL* — v'*)jx""v^'"(/jl"''-i- v*") (abstraction faite du coefficient), et en exprimant fx*" -f- v*" au moyen de fi* -f- v* et de fJi'* v*, ce dernier terme sera resolvable encprç dans une suite d'expressions dont une quelconque aura la forme (jx* — v*) ^i^'^v^"* (|x* -+- v*)". Donc la fonction
sera exprimable par une série finie de termes, dont voici le type général :
^'^^ 1 Jo [c* - (c«- b^) ,.^^^' [c* - (c^ - ^•-•) v'r • ^( , „ ^.) (^. __T^(Y37'[(?^ -T V') ■ (..ela posé , considérons un ellipsoïde ayant pour équation
et soient, comme de coutume, |Ji et v les coordonnées elliptiques d'un point quelconque appartenant à cette surface. On aura, en désignant par R le rayon vecteur central, par P la perpendiculaire abaissée du centre sur un plan tangent, et par d(ù l'élément superficiel correspondant , et en prenant h^ -h c^ pour unité,
n — fx -f- V H -prrf7 — '
, djidv (fi» — y') ^[c* ~ (c^ — b^) yL*] [c' — ic"— b^) v^] "" ^'— ^' V^( I — fx») I fi= — c^) ( I — y-') (c» — v')
[voir la Lettre de M. Liou ville à M. Blanchet, tome XI, pages 218a2o)-, d'où il suit que le calcu4 du terme (2) dépendra de l'évaluation de l'intégrale double définie [à cause dex = -j==\^
(3) //R»«P^^»ar^'«rfw,
que l'on doit étendre à la huitième partie de l'ellipsoïde entier.
11 est évident donc que
est composé d'une suite finie de termes ayant pour type l'expression (5), et, par conséquent, que cette fonction elle-même pourra se présenter sous une forme pareille.
On doit observer que nous avons supposé p < q dans la démonstration précédente; mais des changements très-légers suffiront pour établir la proposition dont il s'agit dans le cas opposé.
Il existe une autre combinaison des périmètres de nos courbes, qui conduit à un résultat tout à fait semblable à celui qu'on vient d'obtenir, savoir,
Cette fonction conserve aussi le type (5), comme on pourra s'en assurer sans difficulté en suivant la marche indiquée ci-dessus.
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